Chuyên đề số phức 12

Bài 3: Vận dụngXác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i... Điểm nào dưới đây là điể

DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC

z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0)

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

• Chia hai số phức: a + bi aa' - bb' ab ' a 'b2 2 2 2

i a'+ b'i a ' b ' a ' b '

Biến đổi số phức về dạng đại số, áp dụng công thức tính.

Thực hiện các phép toán trên tập số phức

Phần thực: -5, phần ảo : 4, số phức liên hợp z= − −5 4i, mô đun: z = 41

Bài 2: Tìm số phức liên hợp của: (1 )(3 2 ) 1

x y

Bài 9: Tính số phức sau: a) z = (1+i)15 b) z =

a) Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i ⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i

b) Ta có: 1 (1 )(1 ) 2

i i

* Tìm số phức dựa vào dạng đại số của số phức.

Nếu trong hệ thức tìm số phức z xuất hiện 2 hay nhiều đại lượng sau: z z z, , , ta sẽ sử dụng Dạngđại số của z là z= +x yi với x y R, ∈

Bài 13: (TH)Tính mô đun của số phức z biết rằng: (2z−1 1) ( + + +i) ( )z 1 1( − = −i) 2 2i

Giải: Gọi z= a+ bi (a, b∈R)

Ta có

Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i

Bài 16: (Vận dụng) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z

thỏa mãn điều kiện z− + + =2 z 2 10

Hướng dẫn giải

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức z x yi( ); = + , x y, ∈¡ .

Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2

Gọi B là điểm biểu diễn số phức −2

Bài 17: (Vận dụng)Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z+ −1 2i = + +z 3 4i và z 2i

z i

−+ là một

2w

Câu 3 (Đề thi chính thức THPT QG năm 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

x loai y

Câu 5. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017)Cho số phức z∈£ thỏa mãn z =4

Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w= +(3 4i z i) + là đường tròn I , bán kính R

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn I( )0;1 ,R=20

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z− +1 2i = 5 và w z= + +1 i có môđun lớn

Câu 7. Phần thực và phần ảo của số phứcz= +1 2i

13.17

=+ Số phức liên hợp của z là

i z

i

+

=+ .

Câu 21. Phần thực và phần ảo của số phức

Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R) Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểmM(x;y) Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M

B Kĩ năng cơ bản.

Tìm điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước:

+ Số phức z = a + bi (a, b ∈¡ ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức

+ Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo

+ Số phức z = a + bi (a, b ∈¡ ) cũng được biểu diễn bởi vectơ ur=( ; )a b , do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b ∈¡ ) cũng có nghĩa là OMuuuur biểu diễn số phức đó

x a

u vr r− biểu diễn số phức z - z',

ku kr ( ∈¡ ) biểu diễn số phức kz,

OMuuuur = =ur z , với M là điểm biểu diễn của z

C Bài tập luyện tập.

Bài 1: Tìm điểm biểu diễn của số phức z biết:

a) Điểm biểu diễn số phức z= − 2 3i có tọa độ là:: (2; 3− )

b) Điểm biểu diễn số phức z= −2i có tọa độ là: (0; 2− )

c) Cho số phức z= +6 7i Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là: (6; 7− )

d) Điểm biểu diễn của số phức z= 2 31 i

2016 2(1 2 )

i z

i

=+ là điểm nào?

i z

i

=+ là điểm

Bài 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i Hãy:

a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức

b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức

Giải:

a) Biểu diễn số phức z = 1 + 3i là điểm M(1;3)

Biểu diễn số phức z’ = 2 + i là điểm M’(2;1)

b) z + z’ = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi P(3;4

z’ – z = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi Q(1;-2)

Bài 3: (Vận dụng)Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một

lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh

biểu diễn số i

Giải: Gọi D là điểm biểu diễn số i ⇒ A biểu diễn số −i

Dễ thấy điểm E có tọa độ cos ;sin 3 1;

d) 1

z i− là số ảo ⇔ z – i là số ảo ⇔ x + (y – 1)i là số ảo

⇔ x = 0 và y ≠ 1

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn nằm trên trục Oy (trừ điểm có tung độ bằng 1)

Bài 5: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp các điểm M(z)

thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây:

Ta có F1F2 = 8 ⇒ Tập hợp tất cả các điểm M nằm trên (E) có hai tiêu điểm là F1 và F2 và có độ dàitrục lớn bằng 10.

Phương trình của (E) là:

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính 5 trừ điểm (0;1)

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

Ta có: u R∈ ⇔ − − =x y 4 0

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì môđun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất ⇔OM ⊥d Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i

Bài 10: (Vận dụng)Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện

Gọi M1, M2 là hai giao điểm của d và (C) 1 3 15

Câu 1 ( Đề thi chính thức THPT QG năm 2017) Cho số phức z= −1 2i Điểm nào dưới

đây là điểm biểu diễn của số phức w iz= trên mặt phẳng tọa độ ?

A Q(1; 2) B N(2;1) C M(1; 2)− D P( 2;1)−

Giải : w= =iz i(1 2 ) 2− i = +i Vậy điểm biểu diễn w có tọa độ là: (2;1)

Câu 2. (Vận dụng)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z− +3 4i ≤2 Trong mặt phẳng Oxy

tập hợp điểm biểu diễn số phức w= 2z+ − 1 i là hình tròn có diện tích A S = 9π

A Hai điểm A và Bđối xứng với nhau qua trục hoành

B Hai điểmA và Bđối xứng với nhau qua trục tung

C Hai điểmA và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O.

D Hai điểmA và Bđối xứng với nhau qua đường thẳng y x= .

Câu 5. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z= +2 5i và B là điểm biểu diễn của số phức

2 5

z′ = − + i Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành

B Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung

C Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O

D Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y x=

Câu 6. Điểm M biểu diễn số phức z 3 4i2019

Câu 8. Gọi z1và z2là các nghiệm phức của phương trình z2−4z+ =9 0 Gọi M N, là các

điểm biểu diễn của z1và z2trên mặt phẳng phức Khi đó độ dài của MN là:

Câu 9. Gọi z1và z2là các nghiệm của phương trình z2−4z+ =9 0 Gọi M N P, , lần lượt là

các điểm biểu diễn của z z1, 2và số phức k = +x yi trên mặt phẳng phức Khi đó tập hợp

điểm P trên mặt phẳng phức để tam giác MNP vuông tại P là:

A đường thẳng có phương trình y x= − 5

B là đường tròn có phương trình x2−2x y+ 2− =8 0

C là đường tròn có phương trình x2−2x y+ 2− =8 0,nhưng không chứa M N,

D là đường tròn có phương trình x2−4x y+ 2− =1 0nhưng không chứa M N,

Câu 10. Biết z i− = +(1 i z) , tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phương trinh

Câu 14. Gọi , ,A B C lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức

1 1 3 ; 2 3 2 ; 3 4

z = − + i z = − − i z = +i Chọn kết luận sai:

A Tam giác ABC vuông cân B Tam giác ABC cân.

C Tam giác ABC vuông D Tam giác ABC đều.

Câu 15. Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn z i− + + =z i 4 có dạng là

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn I(−1;2)

Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó R= ⇒ 5 5c= ⇒ = 5 c 1

Thử c= 1 vào phương trình (1) thì thỏa mãn

Câu 17. Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ:

Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức i

1

y

i i

Biết cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực.

Biết giải phương trình qui về phương trình bậc hai với hệ số thực

c) z = 4 8 4i z =8 4i

2 i = +5 5 ⇒ 5 5−

− d) z = −i, z = −3i, z = 2 + 3ie) z = ±2i

Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức

Bài 3: Giải các phương trình bậc hai sau:

a) z2 + 2z + 5 = 0

a) z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = 0 (tham khảo)

Giải:

a) Xét phương trình: z2 + 2z + 5 = 0

Ta có: ∆ = -4 = 4i2⇒ phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i và z2 = -1 – 2i

b) Ta có: ∆ = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i = (1+i)2

nên 1+i là một căn bậc hai của số phức 2i

⇒ Phương trình có hai nghiệm là: z1 = 3 1 1 2

Phương trình đã cho tương đương với 2 ( )

* Phương trình quy về bậc hai

Bài 9: Giải các phương trình: z3 – 27 = 0

Giải: z3 – 27 = 0 ⇔ (z – 1) (z2 + 3z + 9) = 0 ⇔ 2

2,3

11

3 3 3

2

z z

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

Bài 10: Giải phương trình trên tập hợp số phức: z4− +z3 6z2−6z− =16 0

Giải:

Nhận biết được hai nghiệm z=-1 và z=2

Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( 2 )

z− z+ z + =Giải ra ta được bốn nghiệm: z= −1; z=2; z= ±2 2i

Bài 11: (Đặt ẩn phụ) Giải phương trình sau trên tập số phức (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = 0

Giải:

Đặt t = z2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

t2 + 4t – 12 = 0 ⇔

2 2

1 232

12

i z

z

z z

Bài 12: Giải phương trình:(z2−z z)( +3)(z+ =2) 10,z∈C

Vậy phương trình có các nghiệm: z= − ±1 6;z= − ±1 i

Bài 13:Gọi z , z , z , z là bốn nghiệm của phương trình 1 2 3 4 z4− −z3 2z2+6z 4 0− = trên tập

Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của(1)là

1 2 3 4

Câu 16. Trong £ , biết z z là nghiệm của phương trình 1, 2 z2− 3z+ =1 0 Khi đó, tổng bình

phương của hai nghiệm có giá trị bằng:

i z

+ − + −+

A

17 7 34

11 9 34

11 9 34

a b

11 9 34

a b

A đường tròn tâm I(–1; 2) bán kính R = 2 B đường tròn tâm I(–1; -2) bán kính R = 2

C đường tròn tâm I(1; - 2) bán kính R = 2 D đường tròn tâm I(1; 2) bán kính R = 2

Câu 9:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn

A đường tròn tâm I(- 3; - 4), bán kính R = 2 B đường tròn tâm I(3; - 4), bán kính R = 4

C đường tròn tâm I(3; 4), bán kính R = 2 D.đường tròn tâm I(3; - 4), bán kính R = 2

Câu 11 : Tìm số phức z thỏa mãn phương trình: z2 − +2z | |z 2= +4 6i

Câu 12:Tìm số phức z thoả mãn hệ phương trình

( )2 2

52

x= + i

C 5

52

52

2 2

2 1

z z z

15 A (1) ⇔ x(2 – 3i) + y(1 + 6i – 12 – 8i) = 4 – 4i – 1

23

3112

y

x y

x

y x

191

2 1

i z

i

11

502

1992

191

502

1992

191

2 1 2

1

2 2

2 2

2

2 1

2 2

1

=+

⇒

=+

=

⇒+

z

z i i

z

z i i





=+

2

2 z z z

⇒ Hai nghiệm phức (khác số thực) của (1) là nghiệm phương trình:

z2 – 2z + 4 = 0

4

114)31)(

31(

31,31

2 1 2

1

2 1

=

⇒

=+

i z

z

i z

i z

2 Kĩ năng

Tìm được phần thực, phần ảo, môđun của số phức Điểm biểu diện của số phức

Thực hiện được các phép cộng, trừ, nhân, chia số phức

Giải được phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức

3 Thái độ

Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác Độc lập khi làm bài kiểm tra

II HÌNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA

Phương trình bậc hai với

hệ số thực Số câu: 3 Số điểm: 1,2 Số câu: 3 Số điểm: 1,2 Số câu: 4 Số điểm: 1,2 Số câu: 10 Số điểm: 4,0

Biểu diễn hình học của số

phức Số câu: 1 Số điểm:0,4 Số câu: 1 Số điểm: 0,4 Số câu: 3 Số điểm: 1,2 Số câu: 5 Số điểm: 2,0

Tổng Số câu: Số điểm: Số câu: Số điểm: Số câu: Số điểm: Số câu: Số điểm:

IV CÁC CHUẨN ĐÁNH GIÁ

Dạng đại số

các phép toán

trên tập số

phức

1 Biết xác định phần thực phần ảo của một số phức

3 Nhận biết được số phức liên hợp

5 Hiểu và tính được mođun của số phức

9 Biết cách tính tổng của hai số phức

10 Biết cách nhân hai số phức

11 Hiểu và tính được tích các số phức

12 Hiểu và tính được lũy thừa một số phức

13 Hiểu và thực hiện được phép chia số phức

14 Vận dung tìm được số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

15 Vận dung các phép toán về số phức tìm được phần ảo của số phức thỏa mãn biểu thức cho trước

Phương trình

bậc hai với hệ

số thực

16 Biết tính căn bậc hai của môt số âm cho trước

17 Biết công thức tính căn bậc hai của môt số thực âm

18 Nhận biết được công thức nghiệm của phương trình bậc hai với ∆ <0

19 Hiểu và giải được phương trình bậc hai với hệ số thực

20 Hiểu và giải được phương trình bậc hai với hệ số thực (dạng đặc biệt)

21 Hiểu và giải được phương trình chứa ẩn ở mẫu

22 Vận dụng giải được phương trình bậc hai để tính tổng bình phương hai nghiệm

23 Vận dụng giải được phương trình bậc hai để tính tổng bình phương môđun hai nghiệm

24 Vận dụng giải được phương trình bậc hai để tính được mođun của số phức thỏa mãn biểu thức cho trước

25 Vận dụng giải được phương trình bậc hai ; tính được khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn nghiệm của phương trình

Biểu diễn hình

học của số

phức

2 Nhận biết được điểm biểu diễn của một số phức

4 Hiểu và xác định được tâm và bán kính đường tròn biểu diễn số phức cho trước

6 Vận dụng và xác định được phương trình đường thẳng biểu diễn số phức cho trước

7 Vận dụng và xác định được phương trình đường thẳng biểu diễn số phức thỏa mãn biểu thức cho trước

8 Vận dụng kiến thức tổng hợp về số phức xác định được điều kiên để điểm biểu diễn số phức nằm trong đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Tập hợp các điểm biểu diễn số phứcz−1 là

A đường tròn tâm I(1;2), bán kính R=2

B đường tròn tâm I(2;2), bán kính R=2

C đường tròn tâm I(-3;-2), bán kính R=2

D đường tròn tâm I(2;-2), bán kính R=2

Câu 5: Cho số phức z = 3 + 4i, khi đó z bằng?

Câu 20: Trong C, phương trình z2 + 4 = 0 có nghiệm là: