Phương pháp giải các dạng vecto

Dạng toán 2: Chứng minh một đẳng thức vectơ Ph-ơng pháp áp dụng Ta lựa chọn một trong các h-ớng biến đổi sau: H-ớng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại VT  VP hoặc VP  VT.. H-ớng 3:

Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan

Đ 1 Vectơ

Dạng toán 1: Mở đầu về vectơ

Thí dụ 1 Cho OAB vuông cân với OA = OB = a Hãy dựng các vectơ sau đây và tính độ dài của chúng:

OA + OB, OA  OB, 3OA + 4OB 21

4 OA  3

7 OB

 Giải

a Với C là đỉnh thứ t- của hình vuông OACD, ta có ngay:

OA + OB = OC, theo quy tắc hình bình hành

Từ đó, suy ra:

OA + OB = OC = OC = a 2

b Ta có ngay:

OA  OB = BA, quy tắc hiệu hai vectơ cùng gốc

OA  OB = BA = BA = a 2

c Để dựng vectơ 3OA + 4OB ta lần l-ợt thực hiện:

 Trên tia OA lấy điểm A1 sao cho OA1 = 3OA

 Trên tia OB lấy điểm B1 sao cho OB1 = 4OB

 Dựng hình chữ nhật OA1C1B1

Từ đó, ta có:

3OA + 4OB = OA1 + OB1 = OC1

3OA + 4OB = OC1 = OC1 = 2 2

1 1 1

OA C A = 5a

d Thực hiện t-ơng tự câu c), ta dựng đ-ợc vectơ 21

4 OA + 2.5OB và

21

4 OA + 2.5OB = a 541

4

e Thực hiện t-ơng tự câu c), ta dựng đ-ợc vectơ 14

4 OA  3

7 OB và

14

4 OA  3

7 OB = a 6073

28

Thí dụ 2 Cho ABC đều có cạnh bằng a Tính độ dài vectơ tổng AB + AC

 Giải

Gọi M là trung điểm BC, lấy điểm A1 đối xứng với A qua M, ta có ngay ABA1C

là hình bình hành, suy ra:

AB + AC = AA1

AB + AC = AA1 = 2AM = 2.a 3

2 = a 3

A

O

A

B

M

 Chú ý: Với các em học sinh ch-a nắm vững kiến thức về tổng của hai vectơ thì th-ờng kết luận ngay

rằng:

AB + AC = AB + AC = a + a = 2a

Dạng toán 2: Chứng minh một đẳng thức vectơ

Ph-ơng pháp áp dụng

Ta lựa chọn một trong các h-ớng biến đổi sau:

H-ớng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (VT  VP hoặc VP  VT) Khi đó:

 Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức

 Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ

H-ớng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng

H-ớng 3: Biến đổi một đẳng thức vectơ đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh

H-ớng 4: Tạo dựng các hình phụ

Khi thực hiện các phép biến đổi ta sử dụng:

 Quy tắc ba điểm:

AB = AC + CB

 Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD luôn có:

AC = AB + AD

 Hiệu hai vectơ cùng gốc

ABAC = CB

 Tính chất trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB luôn có:

MI = 1

2(MA + MB)

 Tính chất trọng tâm tam giác: Với ABC có trọng tâm G ta có:

GA + GB + GC = 0

MA + MB + MC = 3MG, với M tuỳ ý

 Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân một số với một vectơ

Thí dụ 1 Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng AB + CD + BC = AD

 Giải

Ta có thể trình bày theo ba cách sau:

Cách 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:

VT = (AB + BC) + CD = AC + CD = AD, đpcm

Cách 2: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:

VT = AB + (BC + CD) = AB + BD = AD, đpcm

Cách 3: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:

AD = AC + CD = AB + BC + CD, đpcm

Cách 4: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:

AD = AB + BD = AB + BC + CD, đpcm

sau:

1 Với cách 1 và cách 2, chúng ta gom hai vectơ có "điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng

với điểm đầu của vectơ thứ hai" từ đó sử dụng chiều thuận của quy tắc ba điểm

2 Với cách 3 và cách 4, chúng ta sử dụng chiều ng-ợc lại của quy tắc ba điểm, cụ thể "với

một vectơ AB bất kì chúng ta đều có thể xen thêm vào giữa một điểm tuỳ ý để từ đó phân

tích đ-ợc vectơ AB thành tổng của hai vectơ"

Thí dụ 2 Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh rằng AB + CD = AD + CB

Giải

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Ta có:

VT = (AD + DB) + CD = AD + CD + DB = AD + CB = VP

Cách 2: Ta có:

VT = (AC + CB) + CD = AC + CD + CB = AD + CB = VP

Cách 3: Biến đổi t-ơng đ-ơng biểu thức về dạng:

AB  AD = CB  CD DBDB, đúng  Điều phải chứng minh

Cách 4: Biến đổi t-ơng đ-ơng đẳng thức về dạng:

ABCB = ADCD AB + BC = AD + DC AC = AC, luôn đúng

VT thành VP và hai cách giải trên đều có chung một ý t-ởng, cụ thể bằng việc lựa chọn vectơ xuất phát là AB ta có:

 Trong cách 1, ta ý thức đ-ợc rằng cần tạo ra sự xuất hiện của vectơ AD do đó ta xen vào điểm D

 Trong cách 2, ta ý thức đ-ợc rằng cần tạo ra sự xuất hiện của vectơ CB do đó ta xen vào điểm C

2 Từ nhận xét trên hẳn các em học sinh thấy đ-ợc thêm rằng còn có 4 cách khác để giải bài toán, cụ thể:

 Hai cách với việc lựa chọn vectơ xuất phát là CD

 Hai cách theo h-ớng biến đổi VP thành VT

Thí dụ 3 Cho M và N lần l-ợt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD Chứng minh rằng:

2MN = AC + BD = AD + BC

 Giải

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Ta có phân tích:

AC = AM + MN + NC, (1)

BD = BM + MN + ND (2)

Cộng theo vế (1) và (2) với l-u ý AM + BM = 0 và NC + ND = 0 (vì M và N lần l-ợt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD), ta đ-ợc:

Cách 2: Ta có phân tích:

A

B

C

M

Cộng theo vế (3) và (4) với l-u ý MAMB0 và NCND0 (vì M và N lần l-ợt là trung điểm các

đoạn thẳng AB và CD), ta đ-ợc:

2MN = AC + BD, đpcm

b Ta có:

AC + BD = AD + DC + BC + CD = AD + BC, đpcm (**)

Từ (*) và (**) ta đ-ợc đẳng thức cần chứng minh

Thí dụ 4 Cho O là tâm của hình bình hành ABCD Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có:

MO = 1

4(MA + MB + MC + MD)

 Giải

Ta có:

MA + MB + MC + MD

= MO + OA + MO + OB + MO + OC + MO + OD

= 4MO + (OA + OC) + (OB + OD) = 4MO

4(MA + MB + MC + MD) = MO, đpcm

Thí dụ 5 Cho ABC Gọi M, N, P lần l-ợt là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng:

AM + BN + CP = 0

 Giải

Sử dụng quy tắc trung điểm ta biến đổi:

VT = 1

2 (ABAC) + 1

2 (BABC) + 1

2 (CACB)

= 1

2 (ABBAACCABCCB), đpcm

Thí dụ 6 Cho A1B1C1 và A2B2C2 lần l-ợt có trọng tâm là G1, G2 Chứng minh rằng:

1 2

A A + B B1 2 + C C1 2 = 3G G1 2

 Giải

Với G1, G2 là trong tâm các A1B1C1 và A2B2C2, ta có:

1 1

G A + G B1 1 + G C1 1 = 0 (1)

2 2

G A + G B2 2 + G C2 2 = 0 (2)

Mặt khác, ta có:

1 2

A A = A G1 1 + G G1 2 + G A2 2 (3)

1 2

B B = B G1 1 + G G1 2 + G B2 2 (4)

1 2

C C = C G1 1 + G G1 2 + G C2 2 (5)

Cộng theo vế (3), (4), (5) và sử dụng các kết quả trong (1) và (2), ta đ-ợc:

1 2

A A + B B1 2 + C C1 2 = 3G G1 2, đpcm

Thí dụ 7 Cho ABC Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC, sao cho NC = 2NA

Gọi K là trung điểm của MN

4 AB + 1

6 AC

b Gọi D là trung điểm của BC Chứng minh rằng KD = 1

4 AB + 1

3 AC

 Giải

a Từ giả thiết ta nhận thấy:

AB 2AM

AB AM









  AB = 2AM;

AC 3AN

AC AN









  AC = 3AN

Vì K là trung điểm MN nên:

AK = 1

2(AM + AN) = 1

2(1

2 AB + 1

3 AC) = 1

4 AB + 1

6 AC, đpcm

b Vì D là trung điểm BC nên:

AD = 1

2(AB + AC)

từ đó, suy ra:

KD = ADAK = 1

2(AB + AC)(1

4 AB + 1

6 AC) = 1

4 AB + 1

3 AC, đpcm

Dạng toán 3: Xác định điểm M thoả một đẳng thức vectơ cho tr-ớc

Ph-ơng pháp áp dụng

Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho tr-ớc về dạng:

OM = v, trong đó điểm O cố định và vectơ v đã biết

Thí dụ 1 Cho ABC đều nội tiếp đ-ờng tròn tâm O

a Chứng minh rằng OAOB OC 0

b Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

OM = OAOB; ON = OB OC ; OP = OC OA

 Giải

a Vì ABC đều nên O chính là trọng tâm ABC, do đó ta có ngay:

OAOB OC 0.

b Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB

 Dựng hình bình hành AOBM bằng việc lấy điểm M đối xứng với O qua C1,

ta có đ-ợc OM = OAOB

 Các điểm N, P đ-ợc xác định t-ơng tự

Thí dụ 2 Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện:

M

O

A

C 1

MA  MB + MC = 0 (*)

 Giải

Biến đổi (*) về dạng:

BA + MC = 0  MC = AB

 ABCM là hình bình hành

Từ đó, để xác định điểm M ta thực hiện:

 Kẻ Ax // BC

 Kẻ Cy // AB

 Giao của Ax và Cy chính là điểm M cần tìm

Thí dụ 3 Cho ABC đều, nội tiếp đ-ờng tròn tâm O

a Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

OM = OA + OB, ON = OB + OC, OP = OC + OA

b Chứng minh rằng OA + OB + OC = 0

 Giải

a Dựa theo quy tắc hình bình hành, ta lần l-ợt có:

 Với điểm M thoả mãn:

OM = OA + OB

 M là đỉnh thứ t- của hình bình hành AOBM

 CM là đ-ờng kính của (O), vì ABC đều

 Với điểm N thoả mãn:

ON = OB + OC  N là đỉnh thứ t- của hình bình hành BOCN

 AN là đ-ờng kính của (O), vì ABC đều

 Với điểm P thoả mãn:

OP = OC + OA  P là đỉnh thứ t- của hình bình hành AOCP

 BP là đ-ờng kính của (O), vì ABC đều

Vậy, các điểm M, N, P nằm trên đ-ờng tròn (O) sao cho CM, AN, BP là các đ-ờng kính của đ-ờng tròn (O)

b Dựa vào kết quả câu a) và OC = MO, ta có ngay:

OA + OB + OC = OM + MO = MO + OM = MM = 0

Thí dụ 4 Cho ABC

a Tìm điểm I sao cho IA + 2IB = 0

b Tìm điểm K sao cho KA + 2KB = CB

 Giải

a Ta biến đổi:

0 = IA + 2(IAAB) = 3IA + 2AB

A

B

C

O

M

N

P

 IA =  2AB

3 , suy ra điểm I đ-ợc hoàn toàn xác định

b Ta biến đổi:

0 = KA + KB + (KB + BC) = KA + KB + KC

 K là trọng tâm ABC

c Gọi E, F, N là trung điểm AB, BC, EF, ta có:

0 = (MA + MC) + (MB + MC) = 2ME + 2MF = 4MN  M  N

Thí dụ 5 Cho tr-ớc hai điểm A, B và hai số thực ,  thoả mãn  +  0

a Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn IA + IB = 0

b Từ đó, suy ra với điểm bất kỳ M, ta luôn có:

MA + MB = ( + )MI

 Giải

a Ta có:

IA + IB = 0 IA + (IA + AB) = 0  ( + )IA + AB = 0

 ( + )AI = ABAI = 

   AB

Vì A, B cố định nên vectơ 

   AB không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn điều kiện đầu

bài

b Ta có:

MA + MB = (MI + IA) + (MI + IB) = ( + )MI + (IA + IB)

= ( + )MI, đpcm

1 Nếu  =  = 1 thì điểm I chính là trung điểm của AB

2 Bài toán trên đ-ợc mở rộng tự nhiên cho ba điểm A, B, C và bộ ba số thực , ,  cho tr-ớc thoả mãn 

+  +  0, tức là:

a Tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn:

IA + IB + IC = 0

b Từ đó suy ra với điểm bất kỳ M, ta luôn có

MA + MB + IC = ( +  + )MI

và khi  =  =  = 1 thì I là trọng tâm ABC

3 Việc mở rộng cho n điểm Ai, i = 1, n và bộ n số thực i, i = 1, n thoả mãn

n

i

i 1 



  0, xin dành cho bạn đọc

4 Kết quả trên đ-ợc sử dụng để giải bài toán:

“ Cho n điểm A i , i = 1, n và bộ n số thực i , 1, n thoả mãn

n

i

i 1 



  0 Tìm số thực k và điểm cố định I sao cho đẳng thức vectơ

n

i i

i 1

MA





thoả mãn với mọi điểm M ”

Ph-ơng pháp giải

Vì (1) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M  I, khi đó:

n

i i

i 1

IA





 = kII = 0 (2)

 Xác định đ-ợc điểm I từ (2)

 Từ (2), suy ra

n

i i

i 1

MA





 =

n

i

i 1 



Từ (1) và (3), suy ra:

n

i

i 1 



 MI = kMI  k =

n

i

i 1 





Thí dụ 6 Cho tứ giác ABCD, M là điểm tuỳ ý Trong mỗi tr-ờng hợp hãy tìm số k và điểm cố định I, J,

K sao cho các đẳng thức vectơ sau thoả mãn với mọi điểm M

a 2MA + MB = kMI

b MA + MB + 2MC = kMJ

 Giải

a Vì (1) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M  I, khi đó:

 Từ (1.1), ta đ-ợc:

2IA + (IA + AB) = 0  IA = 1

3 AB  xác định đ-ợc điểm I

 Từ (1.1), ta đ-ợc:

Từ (1) và (1.2), suy ra:

3MI = kMI  k = 3

b Vì (2) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M  J, khi đó:

 Gọi E là trung điểm AB, từ (2.1), ta đ-ợc:

2JE + 2JC = 0  J là trung điểm của CE

 Từ (2.1), ta đ-ợc:

MA + MB + 2MC = (1 + 1 + 2)MJ = 4MJ (2.2)

Từ (2) và (2.2), suy ra:

4MJ = kMJ  k = 4

c Vì (3) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M  K, khi đó:

 Gọi G là trọng tâm ABC, từ (3.1), ta đ-ợc:

3KG + 3KD = 0  K là trung điểm của GD

 Từ (3.1), ta đ-ợc:

Từ (3) và (3.2), suy ra:

6MK = kMK  k = 6

bài toán quĩ tích ta cần nhớ rằng:

1 Nếu |MA| = |MB|, với A, B cho tr-ớc thì M thuộc đ-ờng trung trực của đoạn AB

2 |MC| = k|AB|, với A, B, C cho tr-ớc thì M thuộc đ-ờng tròn tâm C, bán kính bằng k.AB

3 Nếu MA = kBC, với A, B, C cho tr-ớc thì

a Với k  điểm M thuộc đ-ờng thẳng qua A song song với BC

b Với k  +

điểm M thuộc nửa đ-ờng thẳng qua A song song với BC theo h-ớng BC

c Với k  điểm M thuộc nửa đ-ờng thẳng qua A song song với BC ng-ợc h-ớng BC

Thí dụ 7 Cho ABC, tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:

 Giải

a Ta biến đổi (1) về dạng:

MA = k(MCMB)  MA = kBC

 M thuộc đ-ờng thẳng qua A song song với BC

b Ta biến đổi (2) về dạng:

MA + MBk(MA + MC) = 0 (3)

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta đ-ợc:

(3)  2ME2kMF = 0  ME = kMF

 M thuộc đ-ờng trung bình EF của ABC

Dạng toán 4: Biểu diễn một vectơ thành tổ hợp vectơ

Ph-ơng pháp áp dụng

Ta lựa chọn một trong hai h-ớng:

H-ớng 1: Từ giả thiết xác định đ-ợc tính chất hình học, rồi từ đó khai triển vectơ cần biểu diễn bằng

ph-ơng pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc

H-ớng 2: Từ giả thiết thiết lập đ-ợc mối liên hệ vectơ giữa các đối t-ợng, rồi từ đó khai triển biểu thức

này bằng ph-ơng pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc

Thí dụ 1 Cho đoạn thẳng AB và điểm I sao cho 2IA + 3IB = 0

a Tìm số k sao cho AI = kAB

5 MA + 3

5 MB

 Giải

a Biến đổi giả thiết:

0 = 2IA + 3IB = 5IA + 3(IB  IA) = 5AI + 3AB  AI = 3

5 AB

Vậy, với k = 3

5 thoả mãn điều kiện đầu bài

b Biến đổi giả thiết:

0 = 2IA + 3IB = 2(MA  MI) + 3(MB  MI)

 5MI = 2MA + 3MB  MI = 2

5 MA + 3

5 MB, đpcm

Thí dụ 2 Cho OAB Gọi M, N lần l-ợt là trung điểm hai cạnh OA và OB Hãy tìm các số m và n thích

hợp trong mỗi đẳng thức sau đây:

OM = mOA + nOB; MN = mOA + nOB;

AN = mOA + nOB; MB = mOA + nOB;

 Giải

a Ta có ngay OM = 1

2 OA

do đó đẳng thức OM = mOA + nOB sẽ có m = 1

2 và n = 0

b Ta có:

MN = 1

2 AB = 1

2(OB  OA) = 1

2 OA + 1

2 OB

do đó đẳng thức MN = mOA + nOB sẽ có m = 1

2 và n = 1

2

c Ta có:

AN = AO + ON = OA + 1

2 OB

do đó đẳng thức AN = mOA + nOB sẽ có m = 1 và n = 1

2

d Ta có:

MB = MO + OB = 1

2 OA + OB

do đó đẳng thức MB = mOA + nOB sẽ có m = 1

2 và n = 1

Thí dụ 3 Gọi G là trọng tâm ABC Đặt a = GA và b = GB Hãy biểu thị mỗi vectơ AB, GC, BC, CA

qua các vectơ a và b

 Giải

a Sử dụng quy tắc hiệu của hai vectơ cùng gốc, ta có ngay:

AB = GB  GA = b  a

b Vì G là trọng tâm ABC nên:

GA + GB + GC = 0  GC = GA  GB = a  b

c Sử dụng quy tắc hiệu của hai vectơ cùng gốc và kết quả trong b), ta có:

BC = GC  GB = a  b  b = a  2b

d Sử dụng quy tắc hiệu của hai vectơ cùng gốc và kết quả trong b), ta có:

O

CA = GA  GC = a  (a  b) = 2a + b

Thí dụ 4 Cho ABC Gọi M, N, P lần l-ợt là trung điểm của BC, CA, AB Tính các vectơ AB, BC,

CA theo các vectơ BN và CP

 Giải

Ta lần l-ợt có:

AB = AMMB = 3GM(GB GM) = 2GMGB

= 21(GB GC) GB

2   = 2GB GC = 2 BN2 2CP

= 4BN 2CP

BC = GC GB = 2CP 2BN

Vectơ CA đ-ợc biểu diễn t-ơng tự AB

Thí dụ 5 Cho ABC

a Tìm các điểm M và N sao cho:

MA  MB + MC = 0, 2NA + NB + NC = 0

b Với các điểm M và N ở câu a), tìm các số p và q sao cho:

MN = pAB + qAC

 Giải

a Ta lần l-ợt thực hiện:

0 = MA  MB + MC = BA + MC = AB + MC  MC = AB

 M là đỉnh thứ t- của hình bình hành ABCM

0 = 2NA + NB + NC = 2NA + 2NE, với E là trung điểm BC

 NA + NE = 0  N là trung điểm của AE

b Ta có biểu diễn:

MN = MA + AN = CB + 1

2 AE

= (AB  AC) + 1

4(AB + AC) = 5

4 AB  3

4 AC

Thí dụ 6 Cho ABC trọng tâm G Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC

kéo dài sao cho 5JB = 2JC

a Tính AI, AJ theo AB và AC

b Tính AG theo AI và AJ

 Giải

a Ta có:

2CI 3BI

IC IB









  2IC = 3IB

 2(ACAI) = 3(ABAI)  5AI = 3AB + 2AC

A

C

B

G

I

J

N

M

A

P G