phương pháp giải nhanh hình không gian

Ví d :Cho hình chóp S.ABCD có các m t bên SAB và SAC cùng vuông góc đáy.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a... Nh ng vì các bài toán này th ng đi chung câu tính th tích nê

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 1

L i nói đ u

Chào các Em h c sinh thân m n !

Câu hình h c không gian là m t n i dung quan tr ng trong đ thi c a B Giáo D c và ào T o.Câu

này không quá khó Tuy nhiên nhi u Em h c sinh c ng lúng túng khi g p ph n này c bi t là khi

các Em tính kho ng cách hay ý sau c a bài toán Qua nhi u n m tham gia ch m thi Th y nh n ra

đ c r ng đa ph n các Em hay b m t đi 0,5 đi m ý sau c a câu này V i m c tiêu có th giúp Em

c m th y nh nhàn v i hình h c không gian và có th l y đ c tr n đi m câu này Th y biên so n

m t quy n tài li u ắPH NG PHÁP GI I NHANH HÌNH KHÔNG GIAN” g i đ n các Em

V i cách h th ng lý thuy t và các ví d đ c xây d ng t cái góc c a v n đ , nâng d n đ n gi i

quy t các v n đ t ng quát Th y tin r ng có th mang đ n cho các Em m t cái nhìn h t s c r ràng

v hình không gian và có đ c s t tin v hình h c không gian thu n l i cho vi c đ c tài li u

Th y chia ra thành 3 ch ng:

Ch ng 1 Tóm t t lý thuy t quan tr ng

Ch ng 2 Phơn d ng các bài toán kho ng cách

Ch ng 3 Th tích và các bài toán liên quan

Cu i cùng, Th y c ng không quên nói r ng dù đã c g ng nh ng tài li u ch c ch n s không tránh

kh i sai sót nh t đ nh Hi v ng nh n đ c ph n h i t phía các B n đ c l n ch nh s a sau s

mang đ n cho chúng ta m t tài li u hoàn ch nh h n n a đ vi c h c t p c a các Em h c sinh hi u

Trong ph n này Th y ch đi m qua nh ng lý thuy t hay s d ng nh t khi gi i bài toán hình không

gian Nh ng ph n lý thuy t khác n u có s d ng Th y s nh c l i trong các bài t p m u

A B Trong đó R là bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC

II Các h th c l ng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông t i A, có đ ng cao AH và đ ng trung tuy n AM.Ta có:

a A

a B

A

C

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 3

IV Di n đa giác

1 Di n tích tam giác vuông

Di n tích tam giác vuông b ng ½ tích hai c nh góc vuông

ABC  aS

2

 a

+ Di n tích tam giác đ u b ng c nh bình ph ng nhân 3chia 4

+ ng cao b ng c nh nhân 3 chia 2

d Q

a

P d

P1

d P2

P

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 5

4 Góc gi a hai m t ph ng

a nh ngh a

Góc gi a hai m t ph ng là góc gi a hai đ ng th ng thu c hai m t

ph ng cùng vuông góc giao tuy n c a hai m t ph ng đó

Hình chóp tam giác đ u đáy là tam giác đ u, các c nh bên b ng

nhau và chân đ ng cao c a hình chóp là tr ng tâm c a tam giác.Cho

hình chóp đ u S.ABC, khi đó:

+Tam giác ABC đ u;chân đ ng cao c a hình chóp là tr ng tâm G c a

ABC

+Các m t bên là tam giác cân tai S và b ng nhau

+Góc gi a các c nh bên và m t đáy b ng nhau

Chú ý:

Hình chóp tam giác đ u khác v i t di n đ u

+ T di n đ u các c nh bên b ng c nh đáy và các m t bên các tam giác đ u Hình chóp tam giác đ u

đáy là tam giác đ u và các c nh bên b ng nhau

+ hình chóp tam giác đ u các c nh bên ch a ch c đã b ng c nh đáy

b) Hình chóp t giác đ u

Hình chóp t giác đ u đáy là hình vuông, các c nh bên b ng nhau và chân

đ ng cao c a hình chóp là tâm c a hình vuông.Cho hình chóp đ u S.ABCD,

khi đó:

+ABCD là hình vuông;chân đ ng cao c a hình chóp là I hình vuông ABCD

+Các m t bên là tam giác cân tai S và b ng nhau

+Góc gi a các c nh bên và m t đáy b ng nhau

IV Xác đ nh đ ng cao c a hình chóp

1 Hình chóp có m t bên vuông góc đáy

ng cao c a hình chóp là đ ng cao c a m t bên ch a trong m t ph ng vuông góc đáy

Ví d :Cho hình chóp S.ABCD có m t bên SAB vuông góc đáy Ta k SH vuông góc AB thì SH là

đ ng cao c a hình chóp

2 Hình chóp có hai m t bên vuông góc đáy

ng cao c a hình chóp là giao tuy n c a hai m t bên

Ví d :Cho hình chóp S.ABCD có các m t bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc đáy Khi đó đ ng

cao là SA

V Kho ng cách

1 Kho ng cách t m t đi m đ n m t ph ng

tính kho ng cách t m t đi m đ n m t ph ng ta ph i d ng đo n th ng vuông góc k t đi m đó

đ n m t ph ng Cho đi m M và (P) đ d ng đo n th ng vuông góc k t M đ n (P) ta th ng dùng

m t trong hai cách sau:

H M

P H

M

S

I A

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 7

+ (Q)/ / P d(Q); P  d A P;( ) ,  A (Q)

4 Kho ng gi a hai hai đ ng th ng

Cho hai đ ng th ng  1; 2khi đó:

Kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau

Cho hai đ ng th ng  1; 2chéo nhau Khi đó đo n th ng MN đ ng th i vuông góc v i 1và 2

(M thu c1;N thu c 2) đ c g i là đo n th ng vuông góc chung c a 1và 2 MN chính là kho ng cách gi a1và 2

Ph ng pháp:

Cách 1:D ng m t ph ng (P) ch a 1 và song song 2 Khi đó: d  1; 2 d 2;( )P 

Cách 2:D ng đo n th ng vuông góc chung và tính đ dài c a đo n th ng đó

Ph n này ta s tìm hi u k h n và s đ c gi i quy t nhanh g n ch ng 2

C S

C A

S

B

A' B' C'

C'

B'

H B

C A

A'

+ Xác đ nh giao tuy n d gi a m t ph ng bên và m t ph ng đáy

+ T chân đ ng cao H d ng đo n HMd K HK SM, khi

đó HK là kho ng cách c n tính tính đ c HK ta nh là ph i tính đ ng cao c a hình chóp tr c

nhé

Chú ý:

Trong khi tính kho ng cách ta nên v thêm m t ph ng đáy ra cho d phát hi n các tính ch t vuông

góc, song song, c ng nh đ thu n ti n cho vi c tính đ dài T c là n u đáy là hình vuông thì ta v

Tính kho ng cách t chân đ ng cao t i các m t bên là khá d , nh ng h u nh khi tính kho ng cách

đ u quy v kho ng cách c a chân đ ng cao Do v y các Em ph i làm th t v ng ph n này n u

mu n tính đ c các kho ng cách ph n sau

B i vì trong lúc tính kho ng cách ta s d ng thêm các đ ng vuông góc trong m t ph ng đáy nên

t t nh t là ta v m t đáy ra có th d đoán đ c chân đ ng vuông góc c ng nh đ tính chúng

Trong m t s bài toán thì đ ng vuông góc t chân đ ng cao k đ n m t bên có s n nên ta không

c n k thêm Ví d nh bài này đ tính d A SBC thì ta c n k AE vuông góc BC vì  ;  

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 9

6

2

a AK

13

a

Ví d 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a SA vuông góc m t ph ng đáy

SC h p v i đáy 1 góc 60 G i M là trung đi m BC Tính d A SMD  ;  

Phân tích:

Giao tuy n gi a SMD  ABCDMD Do đó ta c n k AH vuông góc MD

ví d 1 thì ta không v m t ph ng đáy ra vì vi c xác đ nh hình chi u vuông góc t A đ n các giao

tuy n có s n Nh ng ví d này ta v thêm m t ph ng đáy ra cho vi c xác đ nh hình chi u t A đ n

MD và c ng nh tính đ dài AH

Gi i

Ta có CSCABCD và A là hình chi u c a S trên (ABCD) Suy ra AC là hình chi u c a SC 

trên (ABCD) Do đó:SC ABCD;( SCA60

60 I

Tam giác SAC vuông t i A nên tanSCA SA SA a 2.tan60 a 6

a

a

a H

B

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 11

3

a

Ví d 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh a Hình chi u vuông góc c a S trên m t

ph ng (ABC) là đi m H thu c c nh AB sao cho HA=2HB Góc gi a SC và (ABC) b ng 60

a) Tính d H SAC ;   b) Tính d H SBC  ;  

Gi i

a) Ta có CSCABC và H là hình chi u c a S trên 

(ABC) Suy ra HC là hình chi u c a SC trên (ABC) Do đó:

B H

A

60

B H

S

M N

E K

N H

a M H

D A

T (1) và (2) suy raHESBCHEdH;SBC Tam giác HBM vuông t i M, có  

12

a

Ví d 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông t i A; ABC 30 ; SBC là tam giác đ u

c nh a và n m trong m t ph ng vuông góc đáy

a) Xác đ nh chân đ ng cao H c a hình chóp S.ABC và tính đ dài đ ng cao này

b) Tính: d H SAC ;   và d H SAB  ;  

Phân tích: xác đ nh chân đ ng cao c a hình chóp các Em xem l i m c 1 c a IV Do m t ph ng

(SBC) vuông góc v i (ABC) và có chung đ ng th ng BC nên ta ch c n k SH vuông góc BC; SH

s là đ ng cao c a hình chóp ý, do tam giác SBC đ u nên H là trung đi m c a BC

B

S

K E

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 13

26

a

Ví d 6 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân t i B; AB BC  2a; hai m t ph ng

(SAB) và (SAC) cùng vuông góc m t ph ng (ABC) Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC)

K

Bình lu n: Trong ví d 6 đ tính AK, các Em c ng có th xét tam giác ABK vuông t i K và áp d ng

đ nh lý cosin cho tam giác vuông T c là: AK AB.sin30 a Khi đó các Em không c n tính SA

Nh ng vì các bài toán này th ng đi chung câu tính th tích nên đây Th y rèn luy n cho các Em

cách tính đ ng cao luôn

Ví d 7 Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đ u c nh a Hình chi u vuông góc c a

A’ trên m t ph ng (ABC) là trung đi m H c a AB Góc gi a đ ng th ng A’C và m t đáy b ng 60

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 15

thang ABCD ra, khi đó Em s th y r ng H trùng C T c là ACDC?? Th v l i cho đúng t l ta

tin r ng đi u này có th V y ta s ch ng minhACDC.Ti p theo thì đã bi t r i nhé.!

Ta s đ a bài toán tr v kho ng cách t chân đ ng cao đ n m t bên(d ng này ta đã bi t)

Gi s cho hình chóp có đ nh là S và chân đ ng cao H và c n tính kho ng cách t đi m M thu c

m t ph ng đáy đ n m t bên (SAB) ta th c hi n các b c sau:

B c 1: Ta d ng đ ng th ng d đi qua H và M Khi đó:

+ Tr ng h p1: N u d/ /SAB thì  d M SAB ;  d H SAB  ;  

Tr ng h p 2 A

S

H D

B C

E

F

K M

(SAB)

N

M

K F H

b Bài t p m u

Ví d 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi c nh a; BAC 60 ; m t bên SAB là tam giác

cân và n m trong m t ph ng vuông góc đáy M t ph ng (SCD) t o v i m t ph ng (ABCD) m t góc

Ta có HM // AD  HM // (SAD) d M SAD ;  d H SAD ;  

K HNBC HK; SNHKd H SAD ( Các Em xem l i  ;   ch ng2 I.1 nhé!)

60°

N

M E

D

H B

K

N

M H

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 17

Ví d 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông t i A và AB2 ;a AC2 3a Hình

chi u vuông góc S trên m t ph ng (ABC) là trung đi m H c a AB M t ph ng (SBC) t o v i m t

ph ng (ABC) m t góc 30 Tính:

a) dB;SAC c)   dM;SAC , v  i M là trung đi m c a BC

Gi i

a) Tính dB;SAC  

K HEBC, mà SHBCBCSHESEBC SBC ; ABCD SEH30

Ta có: tanABC AC  3ABC60

Ví d 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông t i A và AB3 ;a CB5a M t bên

(SAC) vuông góc v i (ABC) Bi t SA 2 3a và SAC 30 Tính d A SBC  ;  

Gi i

K SHACt i H, do SAC  ABCSH ABC 

30° M H

Ta có SHSA.sinSACa 3 và AHSA.cosSAC3aHCa

7

a

Ví d 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a; hình chi u vuông góc c a S trên

m t ph ng (ABCD) là tr ng tâm c a tam giác ABD C nh SD t o v i m t ph ng đáy m t góc b ng

60 G i M là trung đi m c a AB

4a

E B

N

E

I M

E G

M

D A

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 19

Ví d 13 Cho hình chóp đ u S.ABC có c nh đáy b ng a, SA 2a i m M là trung đi m c a BC

K GKSN t i K (Ta s ch ng minh đ c GKSAB Th y đ các Em làm nhé! Xem nh bài

t p nh ) Khi đó GKd G SAB Ta có:  ;   12  12  12   165

45

a GK

2a

G

M N

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 21

K HKSB t i K(Ta s ch ng minh đ c HKSBC Th y đ các Em làm nhé! Xem nh bài

t p nh ) Khi đó HKd H SBC Tam giác SHB vuông t ;   i H, có đ ng cao HK suy ra:

nhé! Xem nh bài t p nh ) Khi đó HFd H SBD  ;  

Xét tam giác HBE vuông t i B, ta có:  sin 45  2  2

I H

a

I E

H

D A

Tam giác SHE vuông t i H, có đ ng cao HF suy ra:

3a

Ví d 15 Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đ u c nh a Hình chi u vuông góc c a

A’ trên m t ph ng (ABC) là trung đi m c a c nh AB; đ ng th ng A’C t o v i m t ph ng (ABC)

G i H là trung đi m c a AC, ta có A H' ABC và  A'CH 60 Tam giácABC đ u c nh a và H

là trung đi m c a AB nên  3

K HEAC t i E vàHFSE t i F(Ta s ch ng minh đ c HFSAC Th y đ các Em làm

nhé! Xem nh bài t p nh ) Khi đó HFd H SAC  ;  

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 23

Do đó :  ;    ;   3 13

26

a

Ví d 16 Cho hình chóp S.ABC có c nh đáy tam giác vuông t i B, AB a AC , 2a C nh bên SA

vuông góc đáy M t ph ng (SBC) h p v i đáy m t góc b ng 60 Tính kho ng t tr ng tâm G c a

tam giác SAB đ n m t ph ng (SBC)

Ta d ng đ ng th ng d đi qua đi m đó và song song m t bên Sau đó tìm giao đi m gi a d và

m t đáy Khi đó ta đ a bài toán tr v kho ng cách t m t đi m thu c m t đáy đ n m t bên Ti p

theo đ a v kho ng cách t chân đ ng cao đ n m t bên(t i đây không ph i là đã bi t n a, mà

ph i bi t)

Gi s cho hình chóp S.ABCD cóSH ABCD i m M

thu c SA, c n tính d M SBC Ta th c hi ;   n các b c sau:

B c 1: Ta d ng đ ng th ng d đi qua M và song song SB Xác

đ nh E là giao đi m AB và d

ME//SB d(M;(SBC) =d(E;(SBC)

E A

S

H D

B C

K

B c 2: Tính d M SAB ;  d E SAB  ;   (đã bi t ph n tr c)

b Bài t p m u

Ví d 17 Cho hình chóp đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a; c nh bên SA = 2a G i M là trung đi m

c a SA Tính kho ng cách t M đ n m t ph ng (SBC)

Phân tích:Tr c tiên c n nh chân đ ng cao c a hình chóp t giác đ u là tâm I c a hình vuông

Nh đã phân tích trên, đ tính kho ng cách t M đ n m t ph ng (SBC); ta s d ng đ ng th ng d

đi qua M và song song v i m t c nh c a m t ph ng (SBC) Do M thu c SA; SA và SC đ ng ph ng;

SA và SB đ ng ph ng Do đó ta có th d ng đ ng th ng d qua M và d // SC ho c d // SB ó là lý

thuy t!

Trong tr ng h p này, do M là trung đi m c a SA; I là trung đi m c a AC, ta ph i th y đ c MI //

SC Khi đó nên d M SBC ;  d I SBC ;   Ch n qua đây là tr ng h p đ c bi t; trong tr ng

h p t ng quát ta c n nh đ nh lí Ta-let hay tam giác đ ng d ng

Gi i

G i I là tâm c a hình vuông ABCD ( tâm c a hình vuông là giao đi m hai đ ng chéo) Do S.ABCD là hình chóp đ u nên SI ABCD Ta có: 

IF SBC Th y đ các Em làm nhé! Xem nh bài t p nh nhé) Khi đó IFd I SBC  ;  

Tam giác SIK vuông t i I,có đ ng cao IF suy ra:

Ví d 18 Cho hình chóp S.ABCD có c nh đáy hình vuông c nh a; m t bên SAB là tam giác đ u và

n m trong m t ph ng vuông góc đáy G i M là đi m thu c đo n th ng SD sao cho SD=4SM

F

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 25

a) Tính kho ng cách t trung đi m c a đo n th ng AB đ n m t ph ng (SBC)

HK SBC Th y đ các Em làm nhé! Xem nh bài t p nh nhé) Khi đó d H SBC ;  HK Tam

giác SBH vuông t i H, có HK là đ ng cao suy ra:

BD SD N là trung đi m c a BI G i E là giao đi m c a HI và BC

thì E là trung đi m c a BC ( Do HI // AC và H là trung đi m c a AB thì E ph i là trung đi m c a

I H

C B

D A

Ví d 19 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh a Hình chi u vuông góc c a S

trên m t ph ng (ABC) là đi m H thu c c nh AB sao choHA 2HB Góc gi a SC và m t ph ng

(ABC) b ng 60 Tính d M SAC , v i M là tr ;   ung đi m c a SB

K HEAC t i ,k HFSEt i F (Ta s ch ng minh đ c HFSAC Th y đ các Em làm

nhé! Xem nh bài t p nh nhé) Khi đó HFd H SAC  ;  

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 27

c ng hi u qu trong m t s tr ng h p

Th ng áp d ng v i các bài d tính th tích Tuy nhiên nh c đi m trong khâu tính di n tích, đ

kh c ph c đi m y u này ta c s d ng công th c Heron và b m máy tính M i ph ng pháp đ u có

u và nh c đi m, tùy theo bài toán c th Do v y các Em c n m h t ph ng pháp Th y nh c l i

;hình chi u vuông góc c a S trên (ABCD) là trung đi m c a c nh AB Tính theo a th tích c a

kh i chóp S.ABCD và kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (SBD)

Ví d 21.(Trích KB -2014) Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đ u c nh a Hình

chi u vuông góc c a A’ trên m t ph ng (ABC) là trung đi m c a c nh AB; đ ng th ng A’C t o v i

m t ph ng (ABC) m t góc60 Tính theo a th tích c a kh i l ng tr ABC.A’B’C’ và kho ng cách

A Tam giácABC đ u c nh a và H là trung

22

Ví d 22 (Trích KA -2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông t i A; ABC 30

m t bên SBC là tam giác đ u c nh a và m t ph ng (SBC) vuông góc đáy Tính theo a th tích

c a kh i chóp S.ABC và kho ng cách t C đ n m t ph ng (SAB)

Gi i

+ Tính V S ABCD. .

G i H là trung đi m c a BC, do tam giác SBC đ u nên ta có SHBC MàSBC  ABC và 

SBC  ABCBC ,do đó SH ABC 

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 29

Tam giác SBC đ u c nh a nên  3

Bình lu n:

Ta s không dành quá nhi u gi y m c cho ph ng pháp này nhé!Vì v i các ph ng pháp đã cung

c p phía tr c ta hoàn toàn có th gi i nhanh các bài toán kho ng cách đây, Th y ch c ng

c p thêm đ các Em cùng tham kh o thôi

II Kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau

B2: Khi đó ta đ a bài toán kho ng cách gi a hai đ ng th ng a và b v

bài toán kho ng cách t m t đi m tùy ý thu c đ ng th ng b đ n m t

H

b

a (P)

A

Cách ch n m t ph ng (P): Ta th ng g p yêu c u tính kho ng cách gi a đáy và c nh bên c a hình

chóp hay hình l ng tr Khi đó:

+ Ta ch n m t ph ng (P) là m t ph ng ch a c nh bên và song song c nh đáy Vì khi đó s đ a bài

toán v tính kho ng cách t đi m thu c m t ph ng đáy đ n m t ph ng bên( đã

biêt)

+ C th : Cho hình chóp S.ABCD có đáy H là chân đ ng cao c a hình chóp

Gi s c n tính kho ng cách gi a SA và BD Ta th c hi n:

B1: D ng đ ng th ng d qua A và d // BD Khi đó m t ph ng (P) ch a SA và d

B2: Ta chuy n v bài toán kho ng cách t m t đi m t ý thu c BD đ n mp(P)

Th ng thì đi m đó s là B ho c D luôn T i đây Em cân nh l i cách tính

kho ng cách t m t đi m thu c m t đáy đ n m t bên

Cách 2: c bi t khi đ ng th ng a và b vuông góc nhau

Khi đó th ng bài toán có s n m t m t (P) ch a đ ng th ng a và (P)

vuông góc b (n u không thì ta d ng thêm)

B1: Xác đ nh giao đi m A c a đ ng th ng b và (P)

B2: T A k AK vuông góc đ ng th ng a Khi đó đo n th ng AK là

kho ng cách c n tính

Chú ý:

Ngoài cách tính kho ng cách tr c ti p Th y có biên so n ắ Chuyên đ ph ng pháp t a đ hóa

hình không gian’’ Các Em tìm đ c nhé n u th y ph n này h i ph c t p Ta đ ng b n tâm vi c

ph ng pháp nào nhanh hay ch m, dài hay ng n, đ p hay không đ p i u ta nên b n tâm là ph i

tích l y đ c nhi u ph ng pháp cho nh ng yêu c u c a bài toán Trong t ng bài toán c th m i

ph ng pháp s th hi n đ c đi m m nh và y u c a nó Quan tr ng là các Em ph i m nh d n t

duy, đánh giá bài toán Xem bài toán đó có hai đ ng th ng đó có quan h vuông góc hay d m t

ph ng song song và đ a ra ph ng án phù h p

b Bài t p m u

Ví d 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân t i A; m t bên SBC là tam giác

đ u c nh a và m t ph ng (SBC) vuông góc đáy.Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA;BC

Phân tích: Tr c h t ta cân xác đ nh đ c chân đ ng cao c a hình chóp G i H là trung đi m c a

BC, thì SHBCSHABC ý tí ta s th y BCSAH  và có đi m chung v i m t ph ng

S

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 31

K HKSA t i K, BCSAHBCHK HK là đo n th ng vuông góc chung c a SA và BC

suy ra: HKd SA BC ;  Tam giác SAH vuông tai H, có đ ng cao HK, suy ra:

Bình lu n: Câu h i đ t ra là n u ta không phát hi n ra BCSAH li u có gi i  đ c bài toán

không? Câu tr l i hoàn toàn có th gi i theo cách t ng quát, m c dù h i dài h n tí Nh ng v i cách

t duy này thì t ng h n C th :

K đ ng th ng d đi qua A và d // BC Em d hình dung m t ph ng (P) Ta l y đi m E thu c

đ ng th ng d, thì AE//BC BC // (SAE)d SA BC ; d H SAE Qua v bài toán kho ng  ;  

cách t chân đ ng cao t i m t bên Ti p theo k HFAE t i F, tuy nhiên nh r ng

C

E

 ; / /  

AH BC AE BC AH AE t i A, ch c n k HKSAHKd H SAE  ;  

Ví d 24 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh a Hình chi u vuông góc c a S

trên m t ph ng (ABC) là đi m H thu c c nh AB sao choHA 2HB Góc gi a SC và m t ph ng

(ABC) b ng 60 Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA và BC

Mà HKSE,do đó HK vuông góc v i m t ph ng (SAE)

Suy ra HKd H SAE Do BC // AE  ;   BC // (SAE) d SA BC ; d B SAE  ;  

A

C S

E

K

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 33

Ví d 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi c nh a; BAC 60 ; m t bên SAB là tam giác

cân và n m trong m t ph ng vuông góc đáy M t ph ng (SCD) t o v i m t ph ng (ABCD) m t góc

Bài toán này d ch đã có s n m t ph ng (SBC) // AD Khi làm bài t p ta nh chú ý, đánh giá bài

toán Có m t s hình v ta ph i n m luôn k t qu T c là khi v hình ra thì Em ph i nh ngay trong

60°

E

D

H B

hình v đó có nh ng tính ch t song song, vuông góc hay t l nào… Em làm nhi u bài t p và tích l y

d n nh ng d ng hình v , khi đã có k n ng thì v n đ s đ n gi n

Ví d 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a; hình chi u vuông góc c a S trên

m t ph ng (ABCD) là tr ng tâm c a tam giác ABD C nh SD t o v i m t ph ng đáy m t góc b ng

60 Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SC và AD

D A

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 35

Ví d 27 (Trích KB -2007) Cho hình chóp đ u S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a G i E

là đi m đ i x ng c a D qua trung đi m c a SA; M là trung đi m c a AE;N là trung đi m c a

BC Ch ng minh MN vuông góc v i BD và tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng MN

G i P là trung đi m c a SA, mà M là trung đi m c a AE nên

MP là đ ng trung bình c a tam giác ADE

Khi đ bài cho hình chóp đ u S.ABCD thì các ngoài tính ch t c a hình chóp đ u thì các Em ph i

nh thêm vài k t qu nh BD vuông góc (SAC) và AC vuông góc (SBD) V i m c tiêu giúp cho t t

c các h c sinh có th hi u r chuyên đ Th y c g ng trình bày chi ti t nh t và n u là bài thi thì

Th y khuyên các Em c ng nên theo nguyên t t trình bày chi ti t là t t

M

E

P

N I

D

B

A

C S

Ví d 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông t i A và B;

CD SAC CD SC T (1) và (2) suy ra SCA chính là góc gi a hai m t ph ng (SCD) và

(ABCD) suy ra SCA 45 Suy ra tam giác SAC vuông cân t i A SAACa 2.G i N là

trung đi m c a AB trung đi m c a AB, ta có:

Xét tam giác giác SAK vuông tai A có đ ng cao AH suy ra: 12  12  12   22

11

a AH

Ví d 29 Cho hình l ng tr đ ng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông t i A; BC2 ;a AB a 

Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AA’ và BC’

K N

C B

ThS Tr n Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 N i nào có ý chí n i đó có con đ ng! 37

Ví d 30 Cho hình l ng tr đ ng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân t i A; M là trung đi m

c a BC;BCa 6 M t ph ng (A’BC) t o v i m t ph ng (ABC) m t góc b ng 60 Tính kho ng

cách gi a hai đ ng th ng A’M và AB

K

A

a 6 45°

N M B

B'

60° N M

A'

B C'

H

G i N là trung đi m c a AC, ta có AB // MN  AB // (A’MN) d A M AB ' ; d A A MN ; '  

K AH 'A Mt i H ( ta s ch ng minh đ c AH A MN Th'  y đ các Em ch ng minh xem nh

bài t p nh nhé!) Khi đó AHd A A MN ; '   Xét tam A’AN vuông tai A có đ ng cao AH suy

Ví d 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a;I là trung đi m c a AB; H là

giao đi m gi a BD và CI SH vuông góc v i m t ph ng đáy và  3

G i M là trung đi m c a DC, khi đó t giác AICM là hình bình hành suy ra CI // AM  CI //

(SAM) d SA CI ; d H SAM G ;   i N là giao đi m c a DC và AM; K và E l n l t là hình

chi u vuông góc c a H và D trên AM Do M là trung đi m c a DC và MN // CI suy ra N là trung

H

A

C D