Phương pháp giải các dạng vecto hình học

Dạng toán 2: Chứng minh một đẳng thức vectơ Phơng pháp áp dụng Ta lựa chọn một trong các hớng biến đổi sau: Hớng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại VT ⇒ VP hoặc VP ⇒ VT.. Hớng 2: Biến đ

O

A B

Phơng pháp giải các dạng toán liên quan

Đ1 V ectơ

Dạng toán 1: Mở đầu về vectơ

Thí dụ 1 Cho ∆OAB vuông cân với OA = OB = a Hãy dựng các vectơ sau đây

và tính độ dài của chúng:

OAuuur

+ OB

uuur

, OA

uuur

− OB

uuur

, 3OA

uuur

+ 4OB

uuur

21

4 OAuuur

+ 2.5OB

uuur

,

14

4 OAuuur

−

3

7 OBuuur

 Giải

a Với C là đỉnh thứ t của hình vuông OACD, ta có ngay:

OA

uuur

+ OB

uuur

= OC

uuur

, theo quy tắc hình bình hành

Từ đó, suy ra:

OA

uuur

+ OB

uuur

 = OC

uuur

 = OC = a 2

b Ta có ngay:

OA

uuur

− OB

uuur

= BA

uuur

, quy tắc hiệu hai vectơ cùng gốc

⇒ OA

uuur

− OB

uuur

 = BA

uuur

 = BA = a 2

c Để dựng vectơ 3OA

uuur

+ 4OB

uuur

ta lần lợt thực hiện:

 Trên tia OA lấy điểm A1 sao cho OA1 = 3OA

 Trên tia OB lấy điểm B1 sao cho OB1 = 4OB

 Dựng hình chữ nhật OA1C1B1

Từ đó, ta có:

3OA

uuur

+ 4OB

uuur

= 1

OA uuuur

+ 1

OB uuuur

= 1

OCuuuur

⇒ 3OA

uuur

+ 4OB

uuur

 = OC1

uuuur

 = OC1 =

1 1 1

= 5a

d Thực hiện tơng tự câu c), ta dựng đợc vectơ

21

4 OAuuur

+ 2.5OB

uuur

và



21

4 OAuuur

+ 2.5OB

uuur

 =

a 541 4

e Thực hiện tơng tự câu c), ta dựng đợc vectơ

14

4 OAuuur

−

3

7 OBuuur

và

A C

M

B

A1



14

4 OAuuur

−

3

7 OBuuur

 =

a 6073 28

Thí dụ 2 Cho ∆ABC đều có cạnh bằng a Tính độ dài vectơ tổng AB

uuur

+ AC

uuur

 Giải

Gọi M là trung điểm BC, lấy điểm A1 đối xứng với A qua M,

ta có ngay ABA1C là hình bình hành, suy ra:

AB

uuur

+ AC

uuur

= AA1

uuuur

⇒ AB

uuur

+ AC

uuur

 = AA1

uuuur

 = 2AM = 2

a 3 2

= a 3



Chú ý: Với các em học sinh cha nắm vững kiến thức về tổng của hai vectơ thì

thờng kết luận ngay rằng:

AB

uuur

+ AC

uuur

 = AB

uuur

 + AC

uuur

 = a + a = 2a

Dạng toán 2: Chứng minh một đẳng thức vectơ

Phơng pháp áp dụng

Ta lựa chọn một trong các hớng biến đổi sau:

Hớng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (VT ⇒ VP hoặc VP ⇒ VT) Khi đó:

 Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức

 Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ

Hớng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là

luôn đúng

Hớng 3: Biến đổi một đẳng thức vectơ đã biết là luôn đúng thành đẳng

thức cần chứng minh

Hớng 4: Tạo dựng các hình phụ

Khi thực hiện các phép biến đổi ta sử dụng:

 Quy tắc ba điểm:

AB

uuur

= AC

uuur

+ CB

uuur

 Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD luôn có:

AC

uuur

= AB

uuur

+ AD

uuur

 Hiệu hai vectơ cùng gốc

AB

uuur

− AC

uuur

= CB

uuur

 Tính chất trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB luôn có:

MI

uuur

=

1 2

(MA

uuuur

+ MB

uuur

)

 Tính chất trọng tâm tam giác: Với ∆ABC có trọng tâm G ta có:

GAuuur

+ GB

uuur

+ GC

uuur

= 0

r

MA

uuuur

+ MB

uuur

+ MC

uuuur

= 3MG

uuuur

, với M tuỳ ý

 Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân một số với một vectơ

Thí dụ 1 Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng AB

uuur

+ CD

uuur

+ BC

uuur

= AD

uuur

 Giải

Ta có thể trình bày theo ba cách sau:

Cách 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:

VT = (AB

uuur

+ BC

uuur

) + CD

uuur

= AC

uuur

+ CD

uuur

= AD

uuur

, đpcm

Cách 2: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:

VT = AB

uuur

+ (BC

uuur

+ CD

uuur

) = AB

uuur

+ BD

uuur

= AD

uuur

, đpcm

Cách 3: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:

AD

uuur

= AC

uuur

+ CD

uuur

= AB

uuur

+ BC

uuur

+ CD

uuur

, đpcm

Cách 4: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:

AD

uuur

= AB

uuur

+ BD

uuur

= AB

uuur

+ BC

uuur

+ CD

uuur

, đpcm



Nhận xét: Việc trình bày thí dụ trên theo bốn cách chỉ mang tính chất minh

hoạ cho những ý tởng sau:

1 Với cách 1 và cách 2, chúng ta gom hai vectơ có "điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai" từ đó sử

dụng chiều thuận của quy tắc ba điểm

2 Với cách 3 và cách 4, chúng ta sử dụng chiều ngợc lại của quy tắc ba

điểm, cụ thể "với một vectơ AB

uuur

bất kì chúng ta đều có thể xen thêm vào giữa một điểm tuỳ ý để từ đó phân tích đợc vectơ AB

uuur

thành tổng của hai vectơ".

B

C

M

Thí dụ 2 Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh rằng AB

uuur

+ CD

uuur

= AD

uuur

+ CB

uuur

Giải

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Ta có:

VT = (AD

uuur

+ DB

uuur

) + CD

uuur

= AD

uuur

+ CD

uuur

+ DB

uuur

= AD

uuur

+ CB

uuur

= VP

Cách 2: Ta có:

VT = (AC

uuur

+ CB

uuur

) + CD

uuur

= AC

uuur

+ CD

uuur

+ CB

uuur

= AD

uuur

+ CB

uuur

= VP

Cách 3: Biến đổi tơng đơng biểu thức về dạng:

AB

uuur

− AD

uuur

= CB

uuur

− CD

uuur

DB DB

⇔ uuur uuur=

, đúng ⇒ Điều phải chứng minh

Cách 4: Biến đổi tơng đơng đẳng thức về dạng:

AB

uuur

− CB

uuur

= AD

uuur

− CD

uuur

⇔ AB

uuur

+ BC

uuur

= AD

uuur

+ DC

uuur

⇔ AC

uuur

= AC

uuur

, luôn đúng



Nhận xét: 1 Để thực hiện chứng minh đẳng thức vectơ đã cho chúng ta lựa

chọn hớng biến đổi VT thành VP và hai cách giải trên đều có chung một ý tởng, cụ thể bằng việc lựa chọn vectơ xuất phát là

AB

ta có:

 Trong cách 1, ta ý thức đợc rằng cần tạo ra sự xuất hiện của vectơ AD do đó ta xen vào điểm D

 Trong cách 2, ta ý thức đợc rằng cần tạo ra sự xuất hiện của

vectơ CB do đó ta xen vào điểm C

2 Từ nhận xét trên hẳn các em học sinh thấy đợc thêm rằng còn có

4 cách khác để giải bài toán, cụ thể:

 Hai cách với việc lựa chọn vectơ xuất phát là CD

 Hai cách theo hớng biến đổi VP thành VT

Thí dụ 3 Cho M và N lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD Chứng

minh rằng:

2MN

uuuur

= AC

uuur

+ BD

uuur

= AD

uuur

+ BC

uuur

 Giải

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Ta có phân tích:

AC

uuur

= AM

uuuur

+ MN

uuuur

+ NC

uuur

uuur

= BM

uuuur

+ MN

uuuur

+ ND

uuur

Cộng theo vế (1) và (2) với lu ý AM

uuuur

+ BM

uuuur

= 0

r

và NC

uuur

+ ND

uuur

= 0

r

(vì M và N lần lợt

là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD), ta đợc:

AC

uuur

+ BD

uuur

= 2MN

uuuur

Cách 2: Ta có phân tích:

uuuur uuuur uuur uuur

uuuur uuur uuur uuur

Cộng theo vế (3) và (4) với lu ý MA MB 0uuuur uuur r+ =

và NC ND 0uuur uuur r+ =

(vì M và N lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD), ta đợc:

2MN

uuuur

= AC

uuur

+ BD

uuur

, đpcm

b Ta có:

AC

uuur

+ BD

uuur

= AD

uuur

+ DC

uuur

+ BC

uuur

+ CD

uuur

= AD

uuur

+ BC

uuur

, đpcm (**)

Từ (*) và (**) ta đợc đẳng thức cần chứng minh

Thí dụ 4 Cho O là tâm của hình bình hành ABCD Chứng minh rằng với

điểm M bất kì, ta có:

MO

uuuur

=

1 4

(MA

uuuur

+ MB

uuur

+ MC

uuuur

+ MD

uuuur

)

 Giải

Ta có:

MA

uuuur

+ MB

uuur

+ MC

uuuur

+ MD

uuuur

= MO

uuuur

+ OA

uuur

+ MO

uuuur

+ OB

uuur

+ MO

uuuur

+ OC

uuur

+ MO

uuuur

+ OD

uuur

= 4MO

uuuur

+ (OA

uuur

+ OC

uuur

) + (OB

uuur

+ OD

uuur

) = 4MO

uuuur

⇔

1

4

(MA

uuuur

+ MB

uuur

+ MC

uuuur

+ MD

uuuur

) = MO

uuuur

, đpcm



Chú ý: Các em học sinh hãy trình bày thêm cách biến đổi VT thành VP.

Thí dụ 5 Cho ∆ABC Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB Chứng

minh rằng:

AM

uuuur

+ BN

uuur

+ CP

uuur

= 0

r

 Giải

Sử dụng quy tắc trung điểm ta biến đổi:

VT =

1

2 (AB AC)uuur uuur+

+

1

2 (BA BC)uuur uuur+

+

1

2 (CA CB)uuur uuur+

=

1

2 (AB BA AC CA BC CB)uuur uuur uuur uuur uuur uuur+ + + + +

, đpcm

Thí dụ 6 Cho ∆A1B1C1 và ∆A2B2C2 lần lợt có trọng tâm là G1, G2 Chứng minh rằng:

1 2

A A uuuuur

+ B B1 2

uuuuur

+ C C1 2

uuuuur

= 3G G1 2

uuuuur

 Giải

Với G1, G2 là trong tâm các ∆A1B1C1 và ∆A2B2C2, ta có:

1 1

G Auuuuur

+ 1 1

G Buuuuur

+ 1 1

G C uuuuur

= 0

r

2 2

G A

uuuuuur

+ 2 2

G Buuuuur

+ 2 2

G Cuuuuur

= 0

r

Mặt khác, ta có:

1 2

A A

uuuuur

= A G1 1

uuuuur

+ G G1 2

uuuuur

+ G A2 2

uuuuuur

1 2

B B

uuuuur

= 1 1

B Guuuuur

+ 1 2

G G uuuuur

+ 2 2

G Buuuuur

1 2

C C

uuuuur

= 1 1

C Guuuuur

+ 1 2

G G uuuuur

+ 2 2

G Cuuuuur

Cộng theo vế (3), (4), (5) và sử dụng các kết quả trong (1) và (2), ta đợc:

1 2

A A

uuuuur

+ B B1 2

uuuuur

+ C C1 2

uuuuur

= 3G G1 2

uuuuur

, đpcm

Thí dụ 7 Cho ∆ABC Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh

AC, sao cho NC = 2NA Gọi K là trung điểm của MN.

a Chứng minh rằng AK

uuur

=

1

4 ABuuur

+

1

6 ACuuur

b Gọi D là trung điểm của BC Chứng minh rằng KD =

1

4 ABuuur

+

1

3 ACuuur

 Giải

a Từ giả thiết ta nhận thấy:

AB 2AM

=





↑↑

uuur uuuur

⇔ AB

uuur

= 2AM

uuuur

;

AC 3AN

=





↑↑

uuur uuur

⇔ AC

uuur

= 3AN

uuur

B C

M

O

A

C1

A M

Vì K là trung điểm MN nên:

AK

uuur

=

1 2

(AM

uuuur

+ AN

uuur

) =

1 2

(

1

2 ABuuur

+

1

3 ACuuur

) =

1

4 ABuuur

+

1

6 ACuuur

, đpcm

b Vì D là trung điểm BC nên:

AD

uuur

=

1 2

(AB

uuur

+ AC

uuur

)

từ đó, suy ra:

KD

= AD

uuur

− AK

uuur

=

1 2

(AB

uuur

+ AC

uuur

) − (

1

4 ABuuur

+

1

6 ACuuur

) =

1

4 ABuuur

+

1

3 ACuuur

, đpcm

Dạng toán 3: Xác định điểm M thoả một đẳng thức vectơ cho trớc

Phơng pháp áp dụng

Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trớc về dạng:

OMuuuur

= v

r

, trong đó điểm O cố định và vectơ v

r

đã biết

Thí dụ 1 Cho ∆ABC đều nội tiếp đờng tròn tâm O.

a Chứng minh rằng OA OB OC 0uuur uuur uuur r+ + =

b Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

OMuuuur

= OA OBuuur uuur+

; ON

uuur

= OB OCuuur uuur+

; OP

uuur

= OC OAuuur uuur+

 Giải

a Vì ∆ABC đều nên O chính là trọng tâm ∆ABC, do đó ta có ngay:

OA OB OC 0uuur uuur uuur r+ + =

.

b Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB

 Dựng hình bình hành AOBM bằng việc lấy điểm M đối

xứng với O qua C1, ta có đợc OM

uuuur

= OA OBuuur uuur+

 Các điểm N, P đợc xác định tơng tự

Thí dụ 2 Cho ∆ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện:

MA

uuuur

− MB

uuur

+ MC

uuuur

= 0

r

 Giải

Biến đổi (*) về dạng:

B

M

N

P

BA

uuur

+ MC

uuuur

= 0

r

⇔ MC

uuuur

= AB

uuur

⇔ ABCM là hình bình hành

Từ đó, để xác định điểm M ta thực hiện:

 Kẻ Ax // BC

 Kẻ Cy // AB

 Giao của Ax và Cy chính là điểm M cần tìm

Thí dụ 3 Cho ∆ABC đều, nội tiếp đờng tròn tâm O

a Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

OMuuuur

= OA

uuur

+ OB

uuur

, ON

uuur

= OB

uuur

+ OC

uuur

, OP

uuur

= OC

uuur

+ OA

uuur

b Chứng minh rằng OA

uuur

+ OB

uuur

+ OC

uuur

= 0

r

 Giải

a Dựa theo quy tắc hình bình hành, ta lần lợt có:

 Với điểm M thoả mãn:

OMuuuur

= OA

uuur

+ OB

uuur

⇒ M là đỉnh thứ t của hình bình hành AOBM

⇒ CM là đờng kính của (O), vì ∆ABC đều

 Với điểm N thoả mãn:

ON

uuur

= OB

uuur

+ OC

uuur

⇒ N là đỉnh thứ t của hình bình hành BOCN

⇒ AN là đờng kính của (O), vì ∆ABC đều

 Với điểm P thoả mãn:

OP

uuur

= OC

uuur

+ OA

uuur

⇒ P là đỉnh thứ t của hình bình hành AOCP

⇒ BP là đờng kính của (O), vì ∆ABC đều

Vậy, các điểm M, N, P nằm trên đờng tròn (O) sao cho CM, AN, BP là các đờng kính của đờng tròn (O)

b Dựa vào kết quả câu a) và OC

uuur

= MO

uuuur

, ta có ngay:

OA

uuur

+ OB

uuur

+ OC

uuur

= OM

uuuur

+ MO

uuuur

= MO

uuuur

+ OM

uuuur

= MM

uuuur

= 0

r

Thí dụ 4 Cho ∆ABC

a Tìm điểm I sao cho IA

uur

+ 2IB

uur

= 0

r

b Tìm điểm K sao cho KA

uuur

+ 2KB

uuur

= CB

uuur

c Tìm điểm M sao cho MA

uuuur

+ MB

uuur

+ 2MC

uuuur

= 0

r

 Giải

a Ta biến đổi:

0

r

= IA

uur

+ 2(IA AB)uur uuur+

= 3IA

uur

+ 2AB

uuur

⇔ IA

uur

= −

2 AB 3

uuur

, suy ra điểm I đợc hoàn toàn xác định

b Ta biến đổi:

0

r

= KA

uuur

+ KB

uuur

+ (KB

uuur

+ BC

uuur

) = KA

uuur

+ KB

uuur

+ KC

uuur

⇔ K là trọng tâm ∆ABC

c Gọi E, F, N là trung điểm AB, BC, EF, ta có:

0

r

= (MA

uuuur

+ MC

uuuur

) + (MB

uuur

+ MC

uuuur

) = 2ME

uuur

+ 2MF

uuur

= 4MN

uuuur

⇔ M ≡ N

Thí dụ 5 Cho trớc hai điểm A, B và hai số thực α, β thoả mãn α + β≠ 0

a Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn αIA

uur

+ βIB

uur

= 0

r

b Từ đó, suy ra với điểm bất kỳ M, ta luôn có:

αMA

uuuur

+ βMB

uuur

= (α + β)MI

uuur

 Giải

a Ta có:

αIA

uur

+ βIB

uur

= 0

r

⇔αIA

uur

+ β(IA

uur

+ AB

uuur

) = 0

r

⇔ (α + β)IA

uur

+ βAB

uuur

= 0

r

⇔ (α + β)AI

uur

= βAB

uuur

⇔AI

uur

=

β

α + β ABuuur

Vì A, B cố định nên vectơ

β

α + β ABuuur

không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn điều kiện đầu bài

b Ta có:

αMA

uuuur

+ βMB

uuur

= α(MI

uuur

+ IA

uur

) + β(MI

uuur

+ IB

uur

) = (α + β)MI

uuur

+ (αIA

uur

+ βIB

uur

) = (α + β)MI

uuur

, đpcm



Nhận xét quan trọng:

1 Nếu α = β = 1 thì điểm I chính là trung điểm của AB

2 Bài toán trên đợc mở rộng tự nhiên cho ba điểm A, B, C và bộ ba số thực α, β, γ cho trớc thoả mãn α + β + γ ≠ 0, tức là:

a Tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn:

αIA

uur

+ βIB

uur

+ γIC

uur

= 0

r

b Từ đó suy ra với điểm bất kỳ M, ta luôn có

αMA

uuuur

+ βMB

uuur

+ γIC

uur

= (α + β + γ)MI

uuur

và khi α = β = γ = 1 thì I là trọng tâm ∆ABC

3 Việc mở rộng cho n điểm Ai, i = 1,n và bộ n số thực αi, i = 1,n thoả mãn

n i

i 1 = α

∑

≠ 0, xin dành cho bạn đọc

4 Kết quả trên đợc sử dụng để giải bài toán:

“ Cho n điểm A i , i = 1,n và bộ n số thực α i , 1,n thoả mãn

n i

i 1 = α

∑

≠ 0 Tìm số thực k

và điểm cố định I sao cho đẳng thức vectơ

n

i i

i 1

MA

= α

= kMI

uuur

thoả mãn với mọi điểm M ”

Phơng pháp giải

Vì (1) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M ≡ I, khi đó:

n

i i

i 1

IA

=

α

∑ uuur

= kII

ur

= 0

r

 Xác định đợc điểm I từ (2)

 Từ (2), suy ra

n

i i

i 1

MA

=

α

=

n i

i 1 = α

∑ MIuuur

Từ (1) và (3), suy ra:

n

i

i 1 =

α

∑

MI

uuur

= kMI

uuur

⇔ k =

n i

i 1 = α

∑

Thí dụ 6 Cho tứ giác ABCD, M là điểm tuỳ ý Trong mỗi trờng hợp hãy tìm số k

và điểm cố định I, J, K sao cho các đẳng thức vectơ sau thoả mãn với mọi điểm M.

a 2MA

uuuur

+ MB

uuur

= kMI

uuur

b MA

uuuur

+ MB

uuur

+ 2MC

uuuur

= kMJ

uuur

c MA

uuuur

+ MB

uuur

+ MC

uuuur

+ 3MD

uuuur

= kMK

uuuur

 Giải

a Vì (1) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M ≡ I, khi đó:

2IA

uur

+ IB

uur

= kII

ur

= 0

r

 Từ (1.1), ta đợc:

2IA

uur

+ (IA

uur

+ AB

uuur

) = 0

r

⇔ IA

uur

= −

1

3 ABuuur

⇒ xác định đợc điểm I

 Từ (1.1), ta đợc:

2MA

uuuur

+ MB

uuur

= (2 + 1)MI

uuur

= 3MI

uuur

Từ (1) và (1.2), suy ra:

3MI

uuur

= kMI

uuur

⇔ k = 3

b Vì (2) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M ≡ J, khi đó:

JA

uur

+ JB

uur

+ 2JC

uur

= kJJ

uur

= 0

r

 Gọi E là trung điểm AB, từ (2.1), ta đợc:

2JE

uur

+ 2JC

uur

= 0

r

⇔ J là trung điểm của CE

 Từ (2.1), ta đợc:

MA

uuuur

+ MB

uuur

+ 2MC

uuuur

= (1 + 1 + 2)MJ

uuur

= 4MJ

uuur

Từ (2) và (2.2), suy ra:

4MJ

uuur

= kMJ

uuur

⇔ k = 4

c Vì (3) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M ≡ K, khi đó:

KA

uuur

+ KB

uuur

+ KC

uuur

+ 3KD

uuur

= kKK

uuur

= 0

r

 Gọi G là trọng tâm ∆ABC, từ (3.1), ta đợc:

3KG

uuur

+ 3KD

uuur

= 0

r

⇔ K là trung điểm của GD

 Từ (3.1), ta đợc:

MA

uuuur

+ MB

uuur

+ MC

uuuur

+ 3MD

uuuur

= 6MK

uuuur

Từ (3) và (3.2), suy ra:

6MK

uuuur

= kMK

uuuur

⇔ k = 6



Chú ý: Bài toán tìm điểm có thể đợc mở rộng thành bài toán tìm tập hợp

điểm (quĩ tích) Với các bài toán quĩ tích ta cần nhớ rằng:

1 Nếu |MA

uuuur

| = |MB

uuur

|, với A, B cho trớc thì M thuộc đờng trung trực của

đoạn AB

2 |MC

uuuur

| = k|AB

uuur

|, với A, B, C cho trớc thì M thuộc đờng tròn tâm C, bán kính bằng k.AB

3 Nếu MA

uuuur

= kBC

uuur

, với A, B, C cho trớc thì

a Với k ∈ Ă điểm M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC

b Với k ∈ Ă + điểm M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC theo hớng BC

uuur

c Với k ∈ Ă −điểm M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC ngợc hớng BC

uuur

Thí dụ 7 Cho ∆ABC, tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:

a MA

uuuur

+ kMB

uuur

− kMC

uuuur

= 0

r

b (1 − k)MA

uuuur

+ MB

uuur

− kMC

uuuur

= 0

r

 Giải

a Ta biến đổi (1) về dạng:

MA

uuuur

= k(MC

uuuur

− MB

uuur

) ⇔ MA

uuuur

= kBC

uuur

⇔ M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC

b Ta biến đổi (2) về dạng:

MA

uuuur

+ MB

uuur

− k(MA

uuuur

+ MC

uuuur

) = 0

r

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta đợc:

(3) ⇔ 2ME

uuur

− 2kMF

uuur

= 0

r

⇔ ME

uuur

= kMF

uuur

⇔ M thuộc đờng trung bình EF của ∆ABC

Dạng toán 4: Biểu diễn một vectơ thành tổ hợp vectơ

Phơng pháp áp dụng

Ta lựa chọn một trong hai hớng: