File a 8e TOÁN THỰC tế tọa độ KHÔNG GIAN

Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng CD’ và tạo với mặt phẳng B B D D’ ’  một góc lớn nhất?. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng 

8E BÀI TOÁN VẬN DỤNG

 Dạng 132 Bài toán vận dụng viết phương trình

mặt phẳng

Câu 01 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz  cho hình lập phương , ABCD A B C D ’ ’ ’ ’, 

biết  A0; 0; 0 , B1; 0; 0 ,  D0; 1; 0  và A’ 0; 0; 1 .  Phương trình nào dưới đây là phương 

trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng CD’ và tạo với mặt phẳng B B D D’ ’  một góc 

lớn nhất? 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án A.

Ta có:   B1; 0; 0 ,  ’ 1; 0; 1 , B   C1; 1; 0 , D’ 0; 1; 1   

 Do đó BB D D’ ’  có phương trình: x y  1 0            P  tạo với BB D D’ ’  một góc lớn nhất  

    P  vuông góc với BB D D’ ’ .  Vậy  P  chứa CD’ và vuông góc với BB D D’ ’   nên phương trình  P  là:  x y z0. 

2 1 2

 x  y  z

 và 

điểm M2; 5; 3.  Phương  trình  nào  dưới  đây  là  phương  trình  mặt  phẳng  P   chứa  

sao cho khoảng cách từ M đến mp P  lớn nhất? 

A. x4y z  1 0.  B. x4y z 30.   

C. x4y z 30.  D. x4y z  1 0. 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án C

Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng bất kỳ chứa  không vượt quá khoảng cách 

từ M đến đường thẳng  và khoảng cách đó sẽ đạt giá trị lớn nhất khi mặt phẳng 

này chứa  và nhận 



MH  làm vectơ pháp tuyến trong đó  H là hình chiếu của M lên 

  

Ta có H3; 1; 4 và  1; 4; 1  



File word liên hệ qua Facebook: www.facebook.com/VanLuc168 [ Nguyễn Văn Lực ] | 56

Câu 03 Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz   cho  hai  điểm , A1; 2; 1 ,  B0; 4; 0  và 

mặt phẳng  P : 2x y 2z2017 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt 

phẳng  Q  đi qua hai điểm A B  và tạo với mặt phẳng ,  P  một góc nhỏ nhất? 

A  Q : x y z  40.  B.  Q : x y z  40.   

C.  Q : 2x y 3z40.  D.  Q :2x y z  40. 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án B

Nhận xét: 00 ( ),( )P Q 900, nên góc ( ),( )P Q  nhỏ nhất khicos ( ),( ) P Q  lớn nhất

 Q :ax b y ( 4)cz0;A( )Q a2b c 

Ta có cos ( ),( )  2 2 2 2 2 2 2 2

3

 

   

P Q

Nếu b0cos ( ),( ) P Q 0( ),( )P Q 900

Nếu  0 cos ( ),( )  2 1 1 2 1

3

2 4 5 2 1 3

     

     

     

Dấu bằng xảy ra khi b c a;    c , nên phương trình mp Q là: x y z  40. 

2 1 1

  



y

 và 

mặt  phẳng   P : 2x y 2z 1 0.  Phương  trình  nào  dưới  đây  là  phương  trình  mặt 

phẳng  Q  chứa  và tạo với  P  một góc nhỏ nhất? 

A. 2x y 2z 1 0.  B. 10x7y13z30.   

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án B

Gọi A là giao điểm của d và  P , m  là giao tuyến của  P  và  Q   Lấy điểm I trên d. 

Gọi H là hình chiếu của I trên  P , dựng HE  vuông góc với  m , suy ra φIEH là góc 

giữa  P  và  Q  

  tan  IH  IH

  Dấu "" xảy ra khi EA.  

Khi đó đường thẳng m  vuông góc với  d, chọn    ; 

 

  

 

  

Câu 05 Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz  , cho  mặt  cầu 

: ( 1) ( 2) ( 3) 9

S x y z   và  đường  thẳng    : 6 2 2





y

.  Phương 

trình  nào  dưới  đây  là  phương  trình  mặt  phẳng  P   đi  qua  M4; 3; 4,  song  song  với 

đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu  S ? 

C. 2x2y z 180.  D. 2x y 2z100. 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án A

Gọi   ; ; 



n a b c  là vecto pháp tuyến của  P  

Ta có 3a2b2c0  

Điều kiện tiếp xúc ta có  3a b c  3 a2 b2 c   2

Từ đó suy ra 2 b c, b2c  

Suy ra hai mặt phẳng ở A và C.  

C loại vì chứa . 

File word liên hệ qua Facebook: www.facebook.com/VanLuc168 [ Nguyễn Văn Lực ] | 58

 Dạng 133 Bài toán vận dụng tổng hợp về tọa

độ không gian Oxyz

Câu 06 Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz   cho  bốn  điểm , A1; 2; 0 ,   B2; 1; 1 ,  

3; 1; 0

C  và D5; 1; 2 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai điểm A và B và cách 

đều C và D. 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án D

Kiểm tra  ta được AB song song với CD nên  có vô số mặt phẳng mặt phẳng đi qua 

hai điểm A và B và cách đều C và D. 

Câu 07.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz   Cho  các  điểm , A1; 0; 0 , B0; 1; 0 ,  

0; 0; 1 , 0; 0; 0 

C D   Hỏi  có  bao  nhiêu  điểm    cách  đều 4  mặt  phẳng ABC , BCD, 

CDA , DAB?  

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án A

3

  

   x y z

x y z , phương trình có 8 

nghiệm. 

Câu 08.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz   cho  bốn  điểm , A1; –2; 0 , B0; –1; 1 ,  

2; 1; –1

C  và D3; 1; 4.  Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng chia tứ diện ABCD thành 

2 phần có thể tích bằng nhau ? 

A. 4 mặt phẳng.  B. 6 mặt phẳng.   

C. 8 mặt phẳng.  D. Có vô số mặt phẳng. 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án D

Trên các cạnh AB AC AD  lấy lần lượt , , M N P  sao cho , , 1

2



MN AN AP

mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu. 

Câu 09 Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz   cho  bốn  điểm , A1; –2; 0 , B 0; –1; 1 ,  

2; 1; –1

C  và  D3; 1; 4. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó ? 

A. 1 mặt phẳng.  B. 4 mặt phẳng.   

C. 7 mặt phẳng.  D. Có vô số mặt phẳng. 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án C

Ta có:    1; 1; 1 ; 1; 3; 1 ;  2; 3; 4

  

Khi đó:  ;   240

  

AB AC AD  do vậy  , , ,A B C D  không đồng phẳng 

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và song song với mặt phẳng ABC 

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng ACD 

+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AC và song song với mặt phẳng ABD 

+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng BCD 

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và CD đồng thời song song với BC và AD 

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và BC đồng thời song song với AB và CD 

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AC và BD đồng thời song song với  BC và AD

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz  cho điểm , M1; 2; 3 và mặt phẳng  P  

qua  M

 cắt Ox, Oy ,  Oz tại  A a ; 0; 0, B0; ; 0b , B0; 0;c

   (với  , ,a b c 0).  Với  giá  trị  nào của a b c  thì thể tích khối tứ diện , , OABC (Olà gốc tọa độ) nhỏ nhất? 

A.

 a9, b6, c3.  B. a6, b3, c9.   

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án C

Phương trình mặt phẳng là  :x y  z 1

P

Vì đó mặt  P  đi qua M1; 2; 3 nên ta có: 12 3 1 1 

Nên thể tích khối tứ diện OABC  là :  1  2

6



Ta có:  1 2 3 3 6

6

Vậy a3;b6; c9. Phương trình là:  : 1 6 3 2 18 0

3 6 9      

y

Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz  cho mặt phẳng ,  P : 3x3y4z160, 

đường thẳng  : 1 3 5



 



y

d  và điểm M2 ; 3 ; 1. Gọi A là điểm thuộc đường  thẳng d B  là hình chiểu của , A trên mặt phẳng  P  Tìm tọa độ điểm A biết tam giác 

MAB cân tại M. 

A. A3 ; 1; 3.  B. A1 ; 3 ; 5 .  C. A2 ; 1 ; 4 .  D. A0; 5; 6 . 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm AB và A’ là điểm đối xứng của A qua M. 

Khi đó:  / / '  '   ' 





Vì M là trung điểm AA’ nên A   t 3; 2 t9;t3.  

Mà A’  P   t 2A3; 1; 3. 

File word liên hệ qua Facebook: www.facebook.com/VanLuc168 [ Nguyễn Văn Lực ] | 60

Câu 12 Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz  , cho  mặt  cầu 

  S : x12 y12 z12 1  và  mặt  phẳng  P :xyz50.  Điểm  M  thuộc 

mặt phẳng  P  sao cho qua M kẻ tiếp tiếp tuyến đến mặt cầu  S  tiếp xúc với mặt cầu 

 S  tại N thỏa mãn MN  nhỏ nhất. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

A. M  1; 3; 1.   

B. M1; 3; 1.   

D. Điểm M  thuộc một đường tròn có tâm  1; 2; 3 , bán kính bằng 1thuộc  P  

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án A

Tâm của  S  là I1; 1; 1  và bán kính của  S  là R1. 

Ta có: MN2 IM2 –R2 IH2 –R  2

Trong đó H là hình chiếu của I trên  P  

Vậy: MN nhỏ nhất    M là hình chiếu của I trên  P  Vậy M  1; 3; 1 

Câu 13 Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz   cho  đường  thẳng , : 4 5

1 2 3





 y 

mặt phẳng    chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ O đến    đạt giá trị lớn 

nhất. Tìm tọa độ giao điểm M của    và trục Ox. 

A M3; 0; 0    B. M6; 0; 0    C.  9; 0; 0

2

 

 

 

M   D. M9; 0; 0   

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án D

Gọi    là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán:    

Tọa độ hình chiếu của O trên đường thẳng là M. Ta có tọa độ M là: M3; 3; 3 

Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng cần lập ta có: d O ,  OHOM. 

Vậy khoảng các lớn nhất băng OM  :x y z  90

Vậy tọa độ giao điểm của    với Ox là N9; 0; 0   

Câu 14 Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz   cho  mặt  cầu ,  S   và  mặt  phẳng  P  

không có điểm chung. Có bao nhiêu điểm thuộc mặt phẳng  P  sao cho qua  điểm đó 

kể tiếp tiếp tuyến đến mặt cầu  S  thỏa mãn khoảng cách từ điểm đó đến tiếp điểm đạt 

giá trị nhỏ nhất? 

A. 1 điểm.  B. 2 điểm.   

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án A

Gọi điêm M thuộc mặt phẳng  P  kẻ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm).  

 

MA MI R (với I là tâm cố định, R không đổi) MA nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, 

khi M là hình chiếu của I trên  P  ( chú ý mặt cầu  S  và mặt phẳng  P  không có 

điểm chung). 

Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz  cho mặt phẳng ,  P :x2y2z50 và 

hai điểm A3; 0; 1 , B 1; 1; 3 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đi qua A 

và song song với  P , đồng thời khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất? 

31 12 4

 



y

3 12 11





 y 

.   

21 11 4

 

 



y

26 11 2

 



y

. 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án D

Đường thẳng d cần viết nằm trong mặt phẳng  Q  qua A và song song với  P  

Pt  Q  là: x2y2z 1 0. Để khoảng cách từ B đến d là nhỏ nhất thì d phải đi 

qua A và điểm H là hình chiếu vuông góc của B trên  Q  

Ta có  1 11 7; ;

9 9 9



Phương trình  d là phương trình đường thẳng qua AH.  

Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz  cho hai điểm , A1; 2; 2 ; B5; 4; 4 và mặt 

phẳng  P : 2xy z 60. Gọi  M là điểm thay đổi thuộc  P , tính giá trị nhỏ nhất 

của MA2 MB  2

3 .  D. 

2968

25 . 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án A

Ta có  2 2 2 2 2 2 2 ; ( ) 2 60

   AB   AB 

Câu 17 Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz   cho  bốn  điểm , A 1; 2; 1 ,  B 2; 1; 1 ,   

C 1; 1; 2  Tập hợp tất cả các điểm M trên mặt phẳng   : 3x6y6z 1 0 sao cho 

  0

     

MA MB MB MC MC MA   là hình nào trong các hình sau? 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án C

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có    0

     

3 0

3

     

Vì   ,( ) 1

3



d G    nên M là hình chiếu của G trên   : 3x6y6z 1 0.  

File word liên hệ qua Facebook: www.facebook.com/VanLuc168 [ Nguyễn Văn Lực ] | 62

Câu 18 Trong  không gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz   cho  hai  điểm , A1; 2; 2 ,  B3; 4; 4  và 

mặt  phẳng   P : 2xy z– 60.  Tìm  tọa  độ  điểm  M  nằm  trên   P   sao  cho 

MA MB   nhỏ nhất. 

A. M2; 1; 1.  B. M3; 1; 1.  C. M2; 1; 3.  D. M3; 1; 1 . 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án C

Áp dung công thức 2MA2 MB24MI2 AB  với 2  I là trung điểm của đoạn AB.       

Vậy để MA2 MB  đạt giá trị nhỏ  nhất khi 2 MI nhỏ nhất. Hay M là hình chiếu 

vuông góc của I trên  P  

2; 3; 1 ,

I ta tìm được M2; 1; 3   

Câu 19 Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz   cho  hai  điểm , A1; 2; 1 ,  B0; 4; 0  và 

mặt  phẳng  P : 2x y 2z20150.  Gọi    là  góc  nhỏ  nhất  giữa  mặt  phẳng  Q   đi 

qua hai điểm A B  và tạo với mặt phẳng ,  P . Tính giá trị của cos  

9



   B. cos 1

6



   C. cos 2

3



   D. cos 1

3



Lời giải tham khảo  Chọn đáp án D

Mặt phẳng  Q  đi qua điểm B nên có phương trình dạng 

      

Mà điểm A cũng thuộc  Q  nên a.1b2 4 c 1 0a2b c  1  

Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  : 2; 1; 2  



P

Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  :  ; ; 



Q

Gọi   là góc tạo bởi hai mặt phẳng    P , Q  Khi đó ta có 

  cos

2 2

2 3

 

 

 

 

 P Q

P Q

Thế a2b c  1  vào  2  ta được  

cos

3

3 5 4 2 5 4 2

+) Nếu b0cos =0 =900. 

+) Nếu  cos

0

3

         

         

         

b

