File a 8b TOÁN THỰC tế lũy THỪA mũ LOGARIT

Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm nữa thì dân số Việt Nam vượt quá 100 triệu người với giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi?. Một người gửi số tiền là M với lãi suất r thì sau N kì số

Trang 1

8B BÀI TOÁN VẬN DỤNG

VỀ HÀM SỐ LŨY THỪA–MŨ–LÔGARIT

 Dạng 123 Bài toán vận dụng về tốc độ tăng

trưởng

Câu 01. Dân số thế giới được ước tính theo công thứcS A e , trong đó n i. A là dân số

của năm lấy làm mốc, S là số dân sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết năm

2016 dân số Việt Nam là 94000000 người, tỉ lệ tăng dân số là i1, 06% . Hỏi sau ít nhất

bao nhiêu năm nữa thì dân số Việt Nam vượt quá 100 triệu người với giả sử tỉ lệ tăng

dân số hàng năm không đổi?

Lời giải tham khảo Chọn đáp án A.

Giả sử sau ít nhất n năm nữa thì dân số Việt Nam vượt quá 100 triệu người, áp dụng

công thức trên ta có: 94000000.e n.0,0106 100000000. Giải bất phương trình ẩn n suy ra

6



n

Câu 02. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của nước Nhật là 0, 2% Năm 1998, dân số của

Nhật là 125 932 000. Hỏi vào năm nào dân số của Nhật là 140 000 000?

Lời giải tham khảo Chọn đáp án C

0, 2

100

n

n Đáp án C Năm 2051.

Câu 03 Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm 2013 dân số Việt Nam là 90triệu người,

tốc độ tăng dân số là 1,1% / năm Hỏi nếu mức tăng dân số ổn định ở mức như vậy thì

dân số Việt Nam sẽ gấp đôi (đạt ngưỡng 180 triệu) vào năm nào?

Lời giải tham khảo Chọn đáp án B

- Phương pháp: Dân số một quốc gia ban đầu là N0, tốc độ tăng dân số là % /r năm

thì sau n năm, dân số của quốc gia đó được tính theo công thức 0 1

100

n n

r

- Cách giải: Gọi n là số năm kể từ năm 2013 để dân số Việt Nam tăng gấp dôi, có có

phương trình: 180 90 1 1,1 1, 011 2 log1,0112 63, 4

100

n

(số nguyên nhỏ nhất lớn hơn 63, 4 )

Vậy đến năm 2013 64 2077 thì dân số Việt Nam sẽ tăng gấp đôi.

Trang 2

8B Bài toán vận dụng về hàm số lũy thừa – mũ – lôgarit

Câu 04. Theo số liệu từ Tổng cục thống kê, dân số Việt Nam năm 2015 là 91,7 triệu người.

Giả sử tỉ lệ gia tăng dân số hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn 2015 – 2030 ở mức

không đổi là 1,1% Hỏi đến năm nào dân số Việt Nam đạt mức 113 triệu người?

Lời giải tham khảo Chọn đáp án A

Gọi M là dân số của năm lấy làm mốc tính, r là tỉ lệ tăng dân số hẳng năm. Khi đó

dân số sau N năm là Me Từ đó theo giả thuyết đầu bài ta có Nr 11391,70 ,011N.

Câu 05 Năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 người. Tỷ lệ tăng dân số năm đó là

1,7% Biết rằng sự sự tăng dân số ước tính theo thức r

e

S A , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S: dân số sau N năm, :r tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Hỏi với tỉ

lệ tăng dân số như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người?

Lấy năm 2001 làm mốc tính, ta có: A78685800,r0, 017,S120.106

Từ bài toán: 120.106 78685800.e N.0,017 N 24, 82525

Tương ứng với năm: 2001 25 2026.

Câu 06 Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.10 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các 5

cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Tính số mét khối gỗ khu rừng đó sẽ có sau 5 năm.

A. 4.10 (1 0, 04)5  15. B. 4.10 (1 0, 4)5  5. C. 4.10 (1 0, 04)5  5. D. 4.10 (1 0, 04)5  5.

Lời giải tham khảo Chọn đáp án D

Gọi trữ lượng gỗ ban đầu là V0, tốc độ sinh trưởng hằng năm của rừng là i phần

trăm. Ta có:

- Sau 1 năm, trữ lượng gỗ là: V1 V0 iV0 (1i V) 0

2  1  1 (1 ) 1 (1 ) 0

………

- Sau 5 năm, trữ lượng gỗ là: 5

5 (1 ) 0

- Thay V0 4.10 (5 m3),i4%0, 04V5 4.10 (1 0, 04) 5  5

Câu 07 Một khu rừng có trữ lượng gỗ 7.10 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các 5

cây ở khu rừng đó là 5% mỗi năm. Tính số mét khối gỗ khu rừng đó sẽ có sau 5 năm.

A. 7.10 1 0, 055  5. B. 7.10 0, 05 5 5 C. 7.10 1 0, 055  5. D. 7.10 2 0, 055  5.

Sau n năm, khu rừng có số mét khối gỗ là: a1i%n

Trang 3

Câu 08. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km Vận tốc

của dòng nước là 6km h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là / v km h /  thì

năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: E v cv t3

Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước

đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

A. 6 km/h. B. 9 km/h. C. 12 km/h. D. 15 km/h.

Vận tốc của cá bơi khi ngược dòng là: v6  km h/ .

Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300 km là 300

6





t

v

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là:

v

 

2

'

9 600

6 0

9







 





v

E v cv

v

v loai

E v

v

Câu 09. Nhà bạn Linh có một trang trại nuôi gà. Tỉ lệ tăng đàn hàng năm là 20% . Tính

xem sau 10 năm đàn gà nhà bạn Linh có bao nhiêu con, biết rằng lúc đầu trang trại có

1.200 con gà.

A. 7430con. B. 7000con. C. 7600con. D. 7800con.

Gọi S0 là số lượng gà ban đầu, q là tỉ lệ tăng hàng năm

S i i  1 10 là số lượng gà sau i năm

Số lượng gà sau 1 năm là: S1 S0 S q0 S01q.

Số lượng gà sau 2 năm là: S2 S1S q1 S01qS01q q S01q 2

…

Vậy sau 10 năm ta được S10 S01q10 1200 1 0, 2  10 7430.

Câu 10 Sự tăng trưởng của loại vi khuẩn tuân theo công thức SAe , trong đó r t. A là

số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng r 0, t là thời gian tăng trưởng.

Biết số vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi thời gian để vi khuẩn

tăng gấp đôi số ban đầu gần đúng nhất với kết quả nào trong các kết quả sau?

A. 3 giờ 9 phút. B. 4giờ 10 phút. C. 3 giờ 40 phút. D. 2 giờ 5 phút.

Sau 5h có 300 con, suy ra 5 ln 3

5

Vi khuẩn tăng số lượng gấp đôi sau thời gian ln 200 ln 100 3,15 3 15'

0, 2197



Trang 4

Câu 11. Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức SA e , trong đó rt

A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng r0, t là thời gian tăng

trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ tăng lên 300 con.

Hỏi sau 10 giờ thì có bao nhiêu con vi khuẩn?

Theo đề ta có:

1

ln 3 10

Câu 12. Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ

cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây nào đóbị chết thì

hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó không nhận thêm cacbo 14 nữa. Lượng

cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành Nitơ 14.

Biết rằng nếu gọi P t  là số phần trăm cacbon 14còn lại trong một bộ phận của một cái

cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P t  được tính theo công thức

 100 0.5 5750 %

t

Phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn

lại trong mẫu gỗ đó là 65%. Hãy tính niên đại của công trình kiến trúc đó.

Ta có: P t 65. Nên ta có phương trình: 5750 ln 0.65

ln 0.5

t

Câu 13 Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. Giả sử sau 9 giờ, bèo sẽ sinh sôi kín

cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và

tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín 1

3 cái hồ?

9

10

3 . C. 9 log 3 . D.

9 log 3.

Sau 9 giờ có 10 lá bèo (đầy hồ). 9

Sau n giờ có 10 n là bèo (1

3 hồ).

Suy ra: 10 1109 9 log 3

3

n

Trang 5

Câu 14. Khi nuôi một loại virus trong một dưỡng chất đặc biệt sau một khoảng thời

gian, người ta nhận thấy số lượng virus có thể được ước lượng theo công thức

m t m , trong đó m0 là số lượng virus (đơn vị “con”) được nuôi tại thời điểm

ban đầu; k là hệ số đặc trưng của dưỡng chất đã sử dụng để nuôi virus; t là khoảng

thời gian nuôi virus (tính bằng phút). Biết rằng sau 2 phút, từ một lượng virus nhất

định đã sinh sôi thành đàn 112 con, và sau 5 phút ta có tổng cộng 7168 con virus. Hỏi

sau 10 phút nuôi trong dưỡng chất này, tổng số virus có được là bao nhiêu?

C. 2.007.040 con. D. 4.014.080 con.

Theo công thức m t m02kt ta có:

 

5 0

2









k k

k

Vậy sau 10 phút, tổng số virus có được là suy ra   2 10

Trang 6

 Dạng 124 Bài toán vận dụng về lãi suất ngân

hàng

Câu 15. Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6%/năm và lãi hàng năm được nhập vào

vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm, người đó thu được số tiền gấp ba số tiền ban đầu?

Gọi số tiền gửi ban đầu là P. Sau n năm, số tiền thu được là:

1 0, 06 1, 06

n

Để P n 3P thì phải có 1, 06n 3. Do đó nlog1,063 18, 85

Vì n là số tự nhiên nên ta chọn n19.Chọn đáp án C

Câu 16. Một người gởi tiết kiệm với lãi suất 7, 5% một năm và lãi hàng năm được nhập

vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu lại được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu?

A. 4 năm. B. 6 năm. C. 10 năm. D. 8 năm.

Một người gửi số tiền là M với lãi suất r thì sau N kì số tiền người đó thu được cả

vốn lẫn lãi là M1 rN.

Câu 17. Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8, 40 /năm và lãi hàng năm được nhập vào

vốn. Hỏi để nhận được số tiền gấp 3 lần số tiền ban đầu thì người đó cần gửi số tiền trên

tối thiểu trong bao nhiêu năm?

Gọi P là tiền vốn ban đầu. P n P(1 0.084) n 3Pnlog1.0843 13.62

Câu 18. Một nguời gửi tiết kiệm với lãi suất 8, 4% năm và lãi hàng năm đuợc nhập vào

vốn, hỏi sau bao nhiêu năm ngưòi đó thu đuợc gấp đôi số tiền ban đầu?

1,084

n

Câu 19. Ông An gửi 100 triệu vào tiết kiệm trong một thời gian khá lâu mà không rút ra

với lãi suất ổn định trong mấy chục năm qua là 10%/ 1 năm. Tết năm nay do ông kẹt

tiền nên rút hết ra để gia đình đón Tết. Sau khi rút cả vốn lẫn lãi, ông trích ra gần 10

triệu để sắm sửa đồ Tết trong nhà thì ông còn 250 triệu. Hỏi ông đã gửi tiết kiệm bao

nhiêu lâu?

Trang 7

100 1 0,1 n 100.1,1n triệu.

Theo giả thiết ta có: 250 100.1,1 n 260 hay log 2, 51,1 nlog 2, 61,1 nên n10.

Câu 20 Một người gữi tiết kiệm với số tiền ban đầu là 100 triệu đồng với lải suất

8,4%/năm và lải hằng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu

200 triệu đồng?

Gọi số tiền ban đầu là m Sau n năm số tiền thu được P n m1 0, 084 n m1, 084n

Để số tiền gấp đôi thu được ta có 2mm1, 084n. Tìm được n 8, 59.

Vì n là số tự nhiên nên ta dược n9.

Câu 21 Một người gửi vào ngân hàng 100.000.000, kì hạn 1 năm thể thức lãi suất kép,

với lãi suất 7,5% / năm Hỏi nếu để nguyên người gửi không rút tiền ra , và lãi suất

không thay đổi thì tối thiểu sau bao nhiêu năm người gửi có được 165.000.000 vnđ?

Lời giải tham khảo

có đủ số tiền như ý

Câu 22. Ông Minh đến siêu thị điện máy để mua một cái máy giặt với giá 12 triệu đồng

theo hình thức trả góp với lãi suất 2, 5% / tháng. Để mua trả góp ông Minh phải trả

trước 40% số tiền, số tiền còn lại ông sẽ trả dần trong thời gian 6 tháng kể từ ngày mua,

mỗi lần trả cách nhau 1 tháng. Số tiền mỗi tháng ông Minh phải trả là như nhau và tiền

lãi được tính theo nợ gốc còn lại ở cuối mỗi tháng. Hỏi, nếu ông Minh mua theo hình

thức trả góp như trên thì số tiền phải trả nhiều hơn so với giá niêm yết là bao nhiêu?

Biết rằng lãi suất không đổi trong thời gian ông Minh hoàn nợ. (làm tròn đến chữ số

hàng nghìn)

Số tiền ông Minh vay trả góp là: A12.106 12.10 0, 46 7.200.000 đồng

Gọi a là số tiền ông Minh phải trả góp hàng tháng.

Hết tháng thứ nhất, số tiền còn nợ là: N1  A1ra

Hết tháng thứ 2, số tiền còn nợ là: N2 N11ra A1r2 a1ra

Hết tháng thứ 3, số tiền còn nợ là: N3  A1r3 a1r2 a1ra

……

Cuối tháng thứ n , số tiền còn nợ là:

 1   1  1 1  2    1   1  1

n

r

Để trả hết nợ sau n tháng thì:  

1 0



n

Ar r

r

Trang 8

6 6

6

7, 2.10 0, 025 1, 025

1.307.000



Vậy số tiền ông B phải trả nhiều hơn khi mua bằng hình thức trả góp là:

1.307.000 6 7.200.000  642.000đồng.

Câu 23 Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một khoảng tiền T theo hình thức lãi

kép với lãi suất 0, 6% mỗi tháng. Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng.

Hỏi số tiền người đó gửi hàng tháng là bao nhiêu?

Sau 1 tháng người đó có số tiền: T1 1r T

Sau 2 tháng người đó có số tiền:

Theo quy luật đo sau 15 tháng người đó có số tiền

15

r

Thay các giá trị T15 10, r0.006, suy ra T 635.000.

Câu 24 Anh Sơn vay tiền ngân hàng mua nhà trị giá 1 tỉ đồng theo phương thức trả

góp. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh trả 12 triệu và chịu lãi số tiền

chưa trả là 0,5% tháng thì sau bao lâu anh trả hết nợ?

Gọi n là số tháng anh cần trả với n tự nhiên

Sau tháng thứ nhất anh còn nợ

1

0, 5

10 1 30.10 10 1, 005 30.10

100

Sau tháng thứ hai anh còn nợ

2  1.1, 005 12.10  10 1, 005 30.10 1, 005 30.10 

2

10 1, 005 30.10

0, 005



Tiếp tục quá trình trên thì số tiền anh Sơn còn nợ sau n tháng sẽ là

10 1, 005 30.10 0

0, 005



n n

n

1,005

1, 005 1, 2 log 1, 2 36, 555

Do đó sau 37 tháng sẽ trả hết nợ tức 3 năm 1 tháng.

Câu 25 Số tiền 58 000 000đ gửi tiết kiệm trong 9 tháng thì lãnh về được 61758000đ. Hỏi

lãi suất ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu ?

Trang 9

Ta có gọi mức lãi suất hàng tháng là a%

Sau tháng thứ nhất số tiền trong tài khoản của người đó là: 58000000 1

100



a

Sau tháng thứ hai số tiền trong tài khoản của người đó là:

2

58000000 1

100



a

…

Sau tháng thứ chín số tiền trong tài khoản của người đó là:

9

58000000 1 61758000

100

a

.

9 61758000 : 58000000 1 100 0,7

Câu 26. Số tiền 58.000.000đ gửi tiết kiệm trong 8 tháng thì nhận về được 61.329.000đ.

Tìm lãi suất hàng tháng.

Lãi suất hàng tháng: 8 61329000

1

58000000 0,7%

Câu 27. Một gia đình có con vào lớp một, họ muốn để dành cho con một số tiền là

250.000.000 để sau này chi phí cho 4 năm học đại học của con mình. Hỏi bây giờ họ

phải gửi vào ngân hàng số tiền là bao nhiêu để sau 12 năm họ sẽ được số tiền trên

biết lãi suất của ngân hàng là 6,7% một năm và lãi suất này không đổi trong thời gian

trên?

A. 250.000.00012

(0, 067)



(1 6,7)





C. 250.000.00012

(1, 067)



(1, 67)



250.000.000

1, 067



Câu 28. Một người gửi gói tiết kiệm linh hoạt của ngân hàng cho con với số tiền là

500000000 VNĐ, lãi suất 7%/năm. Biết rằng người ấy không lấy lãi hàng năm theo

định kỳ sổ tiết kiệm. Hỏi sau 18 năm, số tiền người ấy nhận về là bao nhiêu?

(Biết rằng, theo định kì rút tiền hằng năm, nếu không lấy lãi thì số tiền sẽ được nhập

vào thành tiền gốc và sổ tiết kiệm sẽ chuyển thành kì hạn 1 năm tiếp theo).

A. 4.689.966.000 VNĐ. B. 3.689.966.000 VNĐ.

C. 2.689.966.000 VNĐ. D. 1.689.966.000 VNĐ.

Áp dụng công thức T A.(1r)n với A là tiền gốc ban đầu, r là lãi suất, n là số năm

18

500000000(1 0, 07) 1.689966000

Trang 10

Câu 29 Bạn An muốn mua một chiếc máy tính xách tay trị giá 15 triệu đồng. Để có tiền

mua máy, hàng tháng bạn An tiết kiệm và gửi vào ngân hàng một số tiền như nhau theo

chính sách lãi kép với lãi suất 5% /năm, kỳ hạn 1 tháng. Hỏi để sau một năm có 15 triệu

mua máy, bạn An cần gửi vào ngân hàng mỗi tháng số tiền là bao nhiêu?

A.

12

62500

(đồng ).

C. 62500

12 (đồng).

D. 62500 (đồng).

Gọi a là số tiền mà hàng tháng bạn An cần gửi vào ngân hàng và đặt

= 5

% 12

r /tháng là lãi suất theo kỳ hạn 1 tháng ta có:

- Cuối tháng thứ 1, nếu An nhận thì được số tiền: A1=a(1+r)

- Cuối tháng thứ 2, nếu An nhận thì được số tiền:

A2  A1 a1ra1r2 a1r 

- Cuối tháng thứ 3, nếu An nhận thì được số tiền:

A3 A2 a1ra 1r3 a1r2 a1r 

- … Cuối tháng thứ 12, số tiền An nhận được:

12  1 12  1 11  . 1  a(1r)[(1r)12 1]

Như vậy ta có:

12

5

% 12



a

12

62500

 

n n

T m a

m m .

Câu 30. Một người muốn sau 1 năm phải có số tiền là 20 triệu đồng để mua xe. Hỏi

người đó phải gửi vào ngân hàng 1 khoản tiền như nhau hàng tháng là bao nhiêu? Biết

lãi suất tiết kiệm là 0,27% / tháng.

Cuối tháng thứ I, người đó có số tiền là: T1 a a m a1m.

Đầu tháng thứ II, người đó có số tiền là:

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	463,66 KB