File a 8a TOÁN THỰC tế ỨNG DỤNG đạo hàm

Một sợi dây có chiều dài 28 m là được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một hình tròn.. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích 2 hình thu

Trang 1

8A Bài toán vận dụng về ứng dụng đạo hàm

8A BÀI TOÁN VẬN DỤNG VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

 Dạng 118 Bài toán vận dụng về diện tích

Câu 01 Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi 40 cm Hình chữ nhật có diện tích lớn

nhất có diện tích S là bao nhiêu?

A S100cm 2 B. S400cm 2 C. S49cm 2 D. S40cm 2

Lời giải tham khảo Chọn đáp án A.

2 2

20

100

    

     

   

a b

Câu 02. Ông A muốn mua một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 384 m để xây nhà. 2

Nhưng vợ ông muốn có khuôn viên sân vườn đẹp nên ông mua thêm về hai phía chiều

dài mỗi chiều 3 m và về hai phía chiều rộng mỗi chiều 2 m Hỏi, để ông A mua được

mảnh đất có diện tích nhỏ nhất (tiết kiệm chi phí) thì mảnh đất đó chu vi là bao nhiêu?

Lời giải tham khảo Chọn đáp án A

Gọi x y, là chiều dài, chiều rộng phần đất xây nhà

Ta có

384

( 6)( 4)







x y

y x

Áp dụng BĐT AM-GM : 4  2304408 192 408   600

Dấu ‘‘=” xảy ra khi 4x 2304 x24y16

Vậy mảnh đất cần mua có chiều dài là: 24 6 30  m

Chiều rộng là: 16 4 20  m

Khi đó chu vi mảnh đất là 100 m

Câu 03. Từ một bờ tường có sẵn, người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật

liệu cho trước là 100 m thẳng hàng rào . Vậy làm thế nào để rào khu đất ấy theo hình

chữ nhật sao cho có diện tích lớn nhất. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

A. 50 và 25. B. 35 và 35. C. 75 và 25. D. 50 và 50.

Trang 2

Nên diện tích của hình chữ nhật là x100 2 x 2x2 100x

Gọi f x  2x2 100x với điều kiện 0x100

  4 100



 f x   x Cho f x 0 4x1000x25

Bảng biến thiên:

x 0 25 50

 



 

0

1250

0 Dựa vào bảng biến thiên ta có

0;50  25 1250

max f x f Vậy: Để rào khu đất ấy có diện tích lớn nhất theo hình chữ nhật có chiều rộng bằng

25 và chiều dài bằng 50.

Câu 04. Một sợi dây có chiều dài 28 m là được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình

vuông và một hình tròn. Tính chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra

sao cho tổng diện của hình vuông và hình tròn là tối thiểu.

A. 14. B. 196

4  C. 112

4  D. 28

4 



Câu 05 Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được

uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh

hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất?

A. 18

9 4 3  m B. 36 3

4 3  m C. 12

4 3  m D. 18 3

4 3  m

Trang 3

 Dạng 119 Bài toán vận dụng về chuyển động

của chất điểm

Câu 06. Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình S t t3 3t2 24t, trong

đó t tính bằng giây  s và S tính bằng mét  m Tinh gia tốc của chuyển động tại thời

điểm vận tốc triệt.

A. 18m s / 2 B. 18m s / 2 C. 6m s / 2 D. 6m s / 2

Ta có vận tốc v t S t 3t2 6t24. Vận tốc triệt tiêu khi  

 

4 0

2

 

  

 



t

v t

Gia tốc a t v t 6t6. Vậy gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là

4 6.4 6 18 /

Câu 07. Một viên đá được bắn thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu là 40 m/s từ một

điểm cao 5 m cách mặt đất. Vận tốc của viên đá sau t giây được cho bởi công thức

 40 10

v t t m s Tính độ cao lớn nhất viên đá có thể lên tới so với mặt đất. /

A. 85 m B. 80 m C. 90 m D. 75 m

Gọi h là quãng đường lên cao của viên đá.

Tại thời điểm t0 thì h5. Suy ra c5.

Vậy   2

h t  lớn nhất khi v t 040 10 t0 t 4. Khi đó h 4 85 m

Câu 08. Một đoàn tàu đang chuyển động với vận tốc v0 72 km h/ thì hãm phanh

chuyển động chậm dần đều, sau 10 giây đạt vận tốc v1 54 km h/ Tính thời gian tàu

đạt vận tốc v36km h kể từ lúc hãm phanh. /

A. 30 s B. 20 s

C. 40 s D. 50 s

Lời giải tham khảo Chọn đáp án B

Đổi đơn vị: 72km h/ 20m s 54/ ; km h/ 15 / ;m s 36 km h/ 10m s /

2

1 0 15 20

0, 5 / ; 10



v v

t

2 0

10 20

20

0, 5



o

v v

Trang 4

Câu 09 Một chất điểm chuyển động theo qui luật s6t2 t (trong đó 3 t là khoảng thời

gian tính bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động ). Tính thời điểm t (giây) mà tại

đó vận tốc m s/  của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

A. t2. B. t4. C. t1. D. t3.

Câu 10. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình   1 4 2

4



trong đó t tính bằng giây  s và S tính bằng mét  m Tại thời điểm nào, vận tốc của

chuyển động đạt giá trị lớn nhất?

A. t 2. B. t1. C. t 3. D. t2.

Câu 11. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km Vận tốc của

dòng nước là 6km h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là / v km h / thì năng

lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: E v cv t3

Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước

đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

A. 6 km h B. / 9 km h C. / 12 km h D. / 15 km h /

Câu 12 Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được quãng đường s t 

km là hàm phụ thuộc theo biến t (giây) theo quy tắc sau:   2  3 2 3 1   

 t  t

s t e t e km Hỏi

vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu? Biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm của

hàm biểu thị quãng đường theo thời gian.

A. 5e (km/s). 4 B. 3e (km/s). 4 C. 9e (km/s). 4 D. 10e (km/s).4

Trang 5

 Dạng 120 Bài toán vận dụng liên quan đến thể

tích

Câu 13. Ta có một miếng tôn phẳng hình vuông với kích thước a (cm), ta muốn cắt đi ở

4 góc 4 hình vuông cạnh bằng x cm để uốn thành một hình hộp chữ nhật không có ( )

nắp. Hỏi, phải cắt như thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhất?

4

 a

5

 a

6

 a

7

 a

Lời giải tham khảo Chọn đáp án C

Gọi cạnh của hình vuông bị cắt là x, (0xa )

Ta có thể tích hình hộp là: 2 1 2

( 2 ) 4 ( 2 )

4

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số: 4 ,x a2 ,x a2x0

Ta có :

     

x a x a x a a

V lớn nhất khi và chỉ khi: 4 2

6

Vậy để thể tích hộp lớn nhất, cần cắt bốn góc bốn hình vuông có cạnh

6

a

Câu 14 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm

nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gập tấm

nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận

được có thể tích lớn nhất

A. x6. B. x3. C. x2. D. x4.

Thể tích của hộp là

3

2 1 2 1 (4 12 2 12 2 ) (12 2 ) 4 (12 2 ) 128

   

Dấu bằng xảy ra khi4x12 2 x x2

Vậy x2 thì thể tích hộp lớn nhất.

x

2



Trang 6

Câu 15. Một tấm thiếc hình chữ nhật dài 45 cm , rộng 24 cm được làm thành một cái

hộp không nắp bằng cách cắt bốn hình vuông bằng nhau từ mỗi góc và gấp mép lên.

Hỏi các hình vuông được cắt ra có cạnh là bao nhiêu để hộp nhận được có thể tích lớn

nhất?

A. x18. B. x5. C. x12. D. Đáp án khác.

Lời giải tham khảo Chọn đáp án B

Gọi x cm 0x12 là cạnh của các hình vuông bị cắt rời ra. Khi đó, chiều cao của

hộp là x , chiều dài là 45 2 x, và chiều rộng là 24 2 x.

Thể tích V x x45 2 x24 2 x4x3 138x2 1080x.

Suy ra V x' 12x2 276x1080

Cho V x' 0, suy ra được giá trị x cần tìm là x5.

V'' x 24x276V'' 5  1560. Do đó x5 là điểm cực đại.

Câu 16. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 18 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm

nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gập tấm

nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận

được có thể tích lớn nhất.

Lời giải tham khảo

Chọn đáp án A

Điều kiện: 0x9

2

Vh.Bx.(18 2x) f (x)

Bấm mod 7 và tìm được x3

Cách khác: Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm 4 ; 18 2 ; 18 2x  x  x

3

2 1 1 4 (18 2 ) (18 2 ) (18 2 ) 4 (12 2 ).(12 2 )

     

Dấu “ ” xảy ra khi 4x18 2 xx3

Vậy x3 thì thể tích lớn nhất

Câu 17 Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12 m 3

để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp

chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng)

của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của

thành bể). Tính kích thước (dài; rộng – tính theo đơn vị m , làm tròn đến 1 chữ số thập

phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu.

A. Dài 2, 42 m và rộng 1, 82 m B. Dài 2,74 m và rộng 1,71m

C. Dài 2, 26 m và rộng 1, 88 m D. Dài 2,19 m và rộng 1, 91m

Trang 7

Gọi chiều sâu và chiều rộng của bể lần lượt là 3x và 2x  m

Chiều dài của bể là 12 22  

2 3x x  x m

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của bể phải nhỏ nhất. Ta có

 

2

2 2

2 2 3 2 2 6

5 5

tp

xq

x

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 5 3 5

6

  

Khi đó chiều rộng và chiều dài của bể lần lượt là 2x1, 88 ;m 22 2, 26 m

Câu 18 Cho một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 50 cm Người ta cắt ở bốn

góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng

 

x cm để khi gập lại được một chiếc hộp không nắp. Hỏi. để chiếc hộp có thể tích lớn

nhất thì x bằng bao nhiêu?

A x12. B. x11. C. x10. D. x9.

Câu 19. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông như hình bên dưới. Hộp có

đáy là một hình vuông cạnh x  cm , đường cao là h cm và có thể tích là 500  3

cm Tìm giá trị của x sao diện tích của mảnh các tông là nhỏ nhất.

A. x5. B. x10. C. x15. D. x20.

Câu 20 Từ một tấm tôn hình tròn có đường kính

bằng 60 cm. Người ta cắt bỏ đi một hình quạt S của

tấm tôn đó, rồi gắn các mép vừa cắt lại với nhau để

được một cái nón không có nắp (như hình vẽ). Hỏi

bằng cách làm đó người ta có thể tạo ra cái nón có thể

tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

A. 1800 3 ( cm3) B. 2480 3 ( cm3).

C. 2000 3 ( cm3). D. 1125 3 ( cm3).

Câu 21 Người ta muốn làm một cái bình thủy tinh hình lăng trụ đứng có nắp đậy, đáy là

tam giác đều để đựng 16 lít nước. Để tiết kiệm chi phí nhất (xem tấm thủy tinh làm vỏ

bình là rất mỏng) thì cạnh đáy của bình là bao nhiêu?

A. 4 m B. 4 dm C. 2 2 dm 3 D. 2 4 m 3

Câu 22 Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD60cm Ta gập tấm nhôm theo

2 cạnh MNvà PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây

để được một hình lăng trụ khuyết 2 đáy.

S

Trang 8

Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?

A. x20. B. x18. C. x25. D. x4.

Câu 23 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1m như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt

phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

 

x m , sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Tính giá trị

của x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất.

5



x B. 1

2



4



x D. 2

3



x

Câu 24 Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh hình trụ với đáy cốc dày 1, 5 cm , thành

xung quanh cốc dày 0, 2 cm và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là 480 cm 3 thì

người ta cần ít nhất bao nhiêu cm thủy tinh? 3

A 75, 66 cm 3. B. 71,16 cm3. C. 85, 41 cm 3. D. 84, 64 cm 3.

Trang 9

 Dạng 121 Bài toán vận dụng về tính khoảng cách

Câu 25 Một màn ảnh hình chử nhật cao 1, 4 m được đặt ở độ cao 1, 8 m so với tầm mắt

(tính đầu mép dưới của màn ảnh). Hỏi, để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao

cho góc nhìn lớn nhất thì vị trí đứng cách màn ảnh là bao nhiêu?

A. x2, 4 m B. x  2, 4 m C. x 2, 4m D. x1, 8m

Với bài toán này ta cần xác định OA

để góc BOC

lớn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi tan BOC lớn nhất.

Đặt OAx m  với x0, ta có



2

1, 4 5,76 1





AC AB

x

OA OA

AC AB x OA

.

Xét hàm số   21, 4

5,76





x

f x

x . Bài toán trở thành tìm x0 để f x  đạt giá trị lớn nhất.

Ta có  

2

1, 4 1, 4.5,76

5,76



x

Ta có bảng biến thiên

Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2, 4 m

Câu 26. Có hai chiếc cọc cao 12 m và 28 m , đặt cách nhau 30 m (xem hình minh họa

dưới đây). Chúng được buộc bởi hai sợi dây từ một cái chốt trên mặt đất nằm giữa

hai chân cột tới đỉnh của mỗi cột. Gọi x m  là khoảng cách từ chốt đến chân cọc

ngắn. Tìm x để tổng độ dài hai dây ngắn nhất.

A x9. B. x10. C x11. D. x12

+

0

f(x)

f'(x)

193 84

0

O

A

C

B

1,

4 1,

8

Trang 10

Kí hiệu x là khoảng cách từ chân cột thấp tới chốt buộc; y z, là độ dài hai sợi dây

như hình vẽ.

Khi đó khoảng cách từ chốt buộc tối chân cột thứ hai là 30  x.

Điều kiện 0x30; ,y z0. Gọi d là tổng độ dài hai sợi dây. Khi đó d yz

Theo Pitago, ta có 2 2 2 2

2 144 2 60 1684 0 30

y x   x  x x

Ta có

30 '

144 30 1684



d

2

' 0 60 1684 30 144

60 1684 30 144

 

640 8640 129600 0

22, 5 0; 30

 



x

Lập BBT ta có

0;30

mindd 9 50.

Câu 27. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 5km. Trên bờ

biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người canh hải đăng có thể

chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km h rồi đi bộ đến / C với vận tốc

6km h (xem hình vẽ dưới đây). Tính độ dài đoạn / BM để người đó đến kho nhanh nhất.

A. 74

4 . B.

29

Lời giải tham khảo

Chọn đáp án D

Trước tiên, ta xây dựng hàm số f x  là hàm số tính thời gian người canh hải đăng

phải đi.

C

A

M

5k

m

7k

m

B

Trang 11

Đặt BMx thì ta được: MC7x AM,  x2 25. Theo đề bài, Người canh hải

đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km h rồi đi bộ đến /

C với vận tốc 6km h , như vậy ta có hàm số / f x  được xác định như sau:

  2 25 7 3 2 25 2 14

 x  x  x x

f x với x 0; 7

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x  để có được thời gian ngắn nhất và từ đó xác

định được vị trí điểm M.

  1 23



x

2

2 2

3

25

2 25 3

5 100 2 5

2 5





x

Hàm số f x  liên tục trên đoạn 0; 7 và ta có:

 0 29 , 2 5 14 5 5 ,  7 74



Vậy giá trị nhỏ nhất của f x  là 14 5 5

12

 tại x2 5. Khi đó thời gian đi là ít nhất

và điểm M nằm cách B một đoạn BM x2 5.

Câu 28. Cho hai vị trí A B cách nhau , 615 m , cùng nằm về một phía bờ sông như hình

vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118 m và 487 m Một người đi từ

A đến bờ sông để lấy nước và mang về B. Tính độ dài đoạn đường ngắn nhất mà

người đó phải đi.

A. 569, 5 m B. 671, 4 m C. 779, 8 m D. 741, 2 m

Sông

487m 615m

118

m

A

B

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	485,92 KB