BTN 1 1 TINH DON DIEUI CUA HAM SO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chủ đề 1.1.. Định nghĩa: Cho hàm số y= f x xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn... Hàm số nghịch

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chủ đề 1.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( )xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn

• Hàm số y= f x( )đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x x1, 2∈K x, 1<x2 ⇒ f x( )1 < f x( )2

• Hàm số y= f x( )nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x x1, 2∈K x, 1<x2 ⇒ f x( )1 > f x( )2

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f x( )có đạo hàm trên khoảng K

• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f′( )x ≥0,∀ ∈x K

• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f′( )x ≤0,∀ ∈x K

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f x( )có đạo hàm trên khoảng K

• Nếu f′( )x >0,∀ ∈x Kthì hàm số đồng biến trên khoảng K

• Nếu f′( )x <0,∀ ∈x Kthì hàm số nghịch biến trên khoảng K

• Nếu f′( )x =0,∀ ∈x Kthì hàm số không đổi trên khoảng K

Chú ý

 Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y= f x( )liên tục trên đoạn [a b; ]và có đạo hàm f′( )x >0,∀ ∈x Ktrên khoảng (a b; )thì hàm số đồng biến trên đoạn [a b; ]

 Nếu f′( )x ≥0,∀ ∈x K( hoặc f′( )x ≤0,∀ ∈x K) và f′( )x =0chỉ tại một số điểm hữu hạn của

K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K)

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức ( ) P x

Bước 1 Tìm nghiệm của biểu thức ( )P x , hoặc giá trị của x làm biểu thức ( ) P x không xác định

Bước 2 Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn

Bước 3 Sử dụng máy tính tìm dấu của ( )P x trên từng khoảng của bảng xét dấu

2. Xét tính đơn điệu của hàm số y= f x( ) trên tập xác định

Bước 1 Tìm tập xác định D

Bước 2 Tính đạo hàm y′= f x′( )

Bước 3 Tìm nghiệm của ( )f x′ hoặc những giá trị x làm cho ( ) f x′ không xác định

Bước 4 Lập bảng biến thiên

Bước 5 Kết luận

3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y= f x( ) đồng biến, nghịch biến trên khoảng ((((a b; ))))

cho trước

Cho hàm số y= f x m( , ) có tập xác định D, khoảng ( ; ) ⊂ a b D:

 Hàm số nghịch biến trên ( ; )a b ⇔ y' 0,< ∀ ∈x ( ; )a b

 Hàm số đồng biến trên ( ; )a b ⇔ y' 0,> ∀ ∈x ( ; )a b

1

Chuyênđề

Chú ý: Riêng hàm số đa thức thì :

 Hàm số nghịch biến trên ( ; )a b ⇔ y' 0,≤ ∀ ∈x ( ; )a b

 Hàm số đồng biến trên ( ; )a b ⇔ y' 0,≥ ∀ ∈x ( ; )a b

* Nhắc lại một số kiến thức liên quan:

Cho tam thức g x( )=ax2+bx+c a( ≠0)

0

>



∆ ≤



0

<



> ∀ ∈ ⇔

∆ >



0

<



∆ ≤



0

<



< ∀ ∈ ⇔

∆ <



Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ; ) a b :

 Bước 1: Đưa bất phương trình f x′( ) 0> (hoặc f x′( ) 0< ), ∀ ∈x ( ; )a b về dạng ( )g x >h m( )

(hoặc ( )g x <h m( )), ∀ ∈x ( ; )a b

 Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) g x trên ( ; )a b

 Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham

số m

4. Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình:

Đưa phương trình, hoặc bất phương trình về dạng f x( ) =m hoặc f x( ) ≥g m( ), lập bảng biến thiên của f x( ), dựa vào BBT suy ra kết luận

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

−

1 1

x y

x Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) (∪ 1;+∞)

B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) (∪ 1;+∞)

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1),(1;+∞)

D Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;1),(1;+∞)

A Hàm số luôn nghịch biến trên ℝ

B Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1),(1;+∞)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;+∞)

D Hàm số luôn đồng biến trên ℝ

(I): (−∞ −; 2); (II): (− 2;0); (III): (0; 2 ; )

Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

A Chỉ (I) B (I) và (II) C (II) và (III) D (I) và (III)

4 2

x y

x

−

=

− + Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số nghịch biến trên ℝ

B Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

C Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 2),(2; +∞)

D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 2),(− +∞2; )

f x = − x + x −x D k x( )=x3+10x−cos2 x

2 3 5 1

y

x

= + nghịch biến trên các khoảng nào ?

A (−∞ −; 4), (2;+∞ ) B (−4;2)

3

x

y= − x + x− nghịch biến trên khoảng nào?

5

y= x − x + x − đồng biến trên khoảng nào?

A (−∞;0),(1;3) B (1;3) C ℝ D (−∞;1)

y=ax +bx +cx+ Hỏi hàm số đồng biến trênd ℝ khi nào?

= = >





= = >





= = >





a b c

= = =





< − <

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3;1)

B Hàm số đồng biến trên ℝ

C Hàm số đồng biến trên (− −9; 5)

D Hàm số đồng biến trên khoảng (5;+∞)

A Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

B Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0 ; 2;3) ( )

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;0 ; 2;3) ( )

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;3)

2

x

y x x Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

12 và 12

π

12 12

12 và 12 12

12 12 và 12

π

Câu 13. Cho hàm số y= +x cos2 x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số đồng biến trên ℝ

B Hàm số đồng biến trên ;

4 k

π π

 và nghịch biến trên khoảng ;

4 k

π π

C Hàm số nghịch biến trên ;

4 k

π π

 và đồng biến trên khoảng ;

4 k

π π

D Hàm số luôn nghịch biến trên ℝ

1

3

1

x y x

−

= + ; (III) :y= x2+ 4

3

(IV) :y=x +4x−sinx; (V) :y=x4+x2+ 2

Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?

(I) :y= −x +3x −3x+ ; 1 (II) :y=sinx−2x;

3

(IV) :

1

x y

x

−

=

− Hỏi hàm số nào nghịch biến trên ℝ?

C (I), (II) và (IV) D (II), (III)

(I) Hàm số y= −(x−1)3 nghịch biến trên ℝ

(II) Hàm số ln( 1)

1

x

x

− đồng biến trên tập xác định của nó

(III) Hàm số

2 1

x y

x

= + đồng biến trên ℝ Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

2

−

 

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ − ; 1)

C Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ − và ; 1) 1

; 2

+∞

 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

2

−

  và đồng biến trên khoảng 1;

2

+∞

 

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 2)và đồng biến trên khoảng (−2;2)

B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ −; 2)và nghịch biến trên khoảng (−2;2)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2)

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và đồng biến trên khoảng (1; 2)

2 2

  Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số giảm trên ;

2 2

π π

−

B Hàm số tăng trên ;

2 2

π π

−

C Hàm số không đổi trên ;

2 2

π π

−

D Hàm số giảm trên −π

2;0









1

x m y

x

= + giảm trên các khoảng

mà nó xác định ?

3 2

1

3

A − ≤3 m≤1 B m≤1 C − <3 m<1 D m≤ −3;m≥ 1

y

x m

=

từng khoảng xác định của nó?

biến trên ℝ?

2

m> C m ≥1 D 1

2

m<

nghịch biến trên ℝ?

3

1

m m







>

y= x − m+ x + m+ x− m+

3

x

y= +mx −mx m− luôn đồng biến trên

ℝ?

Câu 27. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y (m 3)x 2

x m

= + luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó?

A m= −1 B m= −2 C m= 0 D Không có m

+

4

mx y

x m giảm trên khoảng (−∞;1)?

A − <2 m<2 B − ≤2 m≤ −1 C − <2 m≤ −1 D − ≤2 m≤2

khoảng (0;+∞)?

trên khoảng (1;3) ?

A m∈ −[ 5;2) B m∈ −∞( ;2] C m∈(2,+∞) D m∈ −∞ −( ; 5)

nghịch biến trên một đoạn có độ dài đúng bằng 3?

−

tan 2 tan

x y

x m đồng biến trên khoảng

π

0; 

4 ?

3

mx

y= f x = + mx + x m− + giảm trên nửa khoảng [1;+∞ ? )

15

−∞ −

15

−∞ −

15

− −

15

− +∞ 

trên khoảng (1; 2) là ; p

q

−∞

 , trong đó phân số p

q tối giản và q> Hỏi tổng 0 p+q là?

x m

=

biến trên từng khoảng xác định của nó?

2

2x (1 m x) 1 m y

x m

=

− đồng biến trên khoảng (1;+∞ ? )

A 3 B 1 C 2 D 0

3

2

x

y= f x = − + α+ α x − x α α− β− luôn giảm trên ℝ?

+ ≤ ≤ + ∈ Z và β ≥ 2

+ ≤ ≤ + ∈ Z và β ≥ 2

π

α ≤ + π ∈ Z và β ≥ 2

12 k k

π

α ≥ + π ∈ Z và β ≥ 2

tăng trên ℝ?

a+b = B a+2b=2 3 C a2+b2 ≤ 4 D 2 1 2

3

nghiệm?

A −27≤m≤5 B m< −5 hoặc m>27

C m< −27 hoặc m>5 D − ≤5 m≤27

thực?

đúng 2 nghiệm dương?

A 1≤m≤3 B − <3 m< 5 C − 5<m< 3 D − ≤3 m<3

x − x+ ≤ cũng là nghiệm của bất phương trình mx2+(m+1)x+m+ ≥1 0?

7

7

m≥ − D m≥ −1

log x+ log x+ −1 2m− = có ít nhất một nghiệm trên đoạn 1 0 1;3 3 ?

nghiệm thực?

2

2

2

m≥ D ∀ ∈ ℝm

hai nghiệm thực?

A 1 1

3≤m< B

1 1

4

m

3

m

− < ≤ D 0 1

3

m

≤ <

2

(1 2 )(3+ x −x) >m+2x −5x−3 nghiệm đúng với mọi 1;3

2

∈ − ?

3 1+ +x 3−x −2 (1+x)(3−x)≥m nghiệm đúng với mọi x∈ −[ 1;3]?

A m≤6 B m≥6 C m≥6 2 4− D m≤6 2 4−

3+ +x 6− −x 18 3+ x−x ≤m −m+1 nghiệm đúng∀ ∈ −x [ 3, 6]?

C 0≤m≤2 D m≤ −1 hoặc m 2≥

m + m− + +m− > nghiệm đúng ∀ ∈ ℝx ?

3

1

x

− + − < −

nghiệm đúng ∀ ≥x 1 ?

3

3

2

− ≤ ≤

Câu 51. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho bất phương trình 2cos2x 3sin2x 3cos2x

m

nghiệm?

có giá trị là bao nhiêu?

b a− có giá trị là bao nhiêu?

D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D A D B C D D B A B B A A C A A B C C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

A B A A A C D C D B A B B C C D B C C B

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53

B C B C D D D D B A A C A

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

TXĐ: D= ℝ\ 1{ } Ta có ' 2 2 0, 1

(1 )

−

x

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;1)và (1;+∞ )

TXĐ: D= ℝ Ta có y'= −3x2+6x− = −3 3(x−1)2 ≤0 , ∀ ∈x ℝ

TXĐ: D= ℝ y'= −4x3+8x=4 (2x −x2) Giải ' 0 0

2

x y

x

=



= ⇔ 

= ±

Trên các khoảng (−∞ −; 2) và (0; 2 , ' 0) y > nên hàm số đồng biến

TXĐ: D= ℝ\ 2{ } Ta có ' 10 2 0,

( 4 2 )

x

Ta có: f '( )x = −4x4 +4x2− = −1 (2x2−1)2 ≤0,∀ ∈ ℝx

TXĐ: D=ℝ\{ }−1

2 2

' ( 1)

y

x

=

4

x

x

=



= −

'

y không xác định khi x= −1 Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− −4; 1) và (−1;2)

5

x

x

=



=



′

y

−∞

11

−

−∞

+∞

1

+∞

Trên khoảng( )1;5 , ' 0y < nên hàm số nghịch biến

TXĐ: D = ℝ y' 3= x4 −12x3+12x2 =3 (x x2 −2)2≥0 , ∀ ∈x ℝ

2

2

0, 0

= = >



 ℝ

TXĐ: D = ℝ Do y' 3= x2+6x− =9 3(x−1)(x+3) nên hàm số không đồng biến trên ℝ

HSXĐ:3x2−x3≥ ⇔ ≤ suy ra D ( ;3]0 x 3 = −∞ 2

'

2 3

x x y

x x

−

=

− , ∀ ∈ −∞x ( ;3)

2

x y

x

=



=

 'y không xác định khi x x=03

=

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến (−∞;0)và (2;3) Hàm số đồng biến (0;2)

TXĐ: D = ℝ ' 1 sin 2

2

7 2

12

π π π π



= − +





,(k∈ ℤ)

Vì x∈[0;π]nên có 2 giá trị 7

12

12

= thỏa mãn điều kiện

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến 0;7

12

π

 và 11 ;

12

π π

TXĐ: D= ℝ; y′ = −1 sin 2x≥0 ∀ ∈ ℝx suy ra hàm số luôn đồng biến trên ℝ

(I): y′ =x2−2x+ =3 (x−1)2+ >2 0,∀ ∈ ℝx

′

y +∞

0

2

0

12

12

π

π

′

y

(II): 1 2 2 0, 1

′

−

x

2

4

4

′

+

x

(IV): y′ =3x2 + −4 cosx>0,∀ ∈x ℝ (V): y′ =4x3+2x=2 (2x x2+1)

(I):y' (= −x3+3x2−3x+1)'= −3x2+6x− = −3 3(x−1)2 ≤0, ∀ ∈x ℝ;

(II): ' (siny = x−2 )' cosx = x− <2 0,∀ ∈ ℝx ;

3

3

′

+

x

x

;

(I) y′ = −( (x−1)3)′ = −3(x−1)2 ≤0,∀ ∈ ℝx

(II)

′

′ = − −  = > ∀ >

−

2

1

1

+

x

x y

1

0,



′ = 



x khi x y

2

′ = ⇔ =

TXĐ: D= −∞( ; 2] Ta có 2 1, ( ; 2)

2

− −

−

x

Giải y′ = ⇒0 2−x= ⇒1 x=1; 'y không xác định khi x=2

Bảng biến thiên:

′

y

′

y

−∞

6

5

Xét trên khoảng ;

2 2

π π

−

Ta có: cos 2 sin 2 tan cos 2 cos sin 2 sin 1 0

cos

+

′

x

Hàm số không đổi trên ;

2 2

π π

−

Tập xác định: D=ℝ\{ }−1 Ta có

1 1

−

′ = +

m y x

Để hàm số giảm trên các khoảng mà nó xác định ⇔ y′<0,∀ ≠ − ⇔x 1 m<1

Tập xác định: D= ℝ Ta có y′ = −x2−2mx+2m−3 Để hàm số nghịch biến trên ℝ thì

0 0,

0

′ <



′ ≤ ∀ ∈ ⇔

′

∆ ≤



hn

m

− <





Tập xác định: D= ℝ\{ }m Ta có

2

′ =

−

y

x m

Để hàm số tăng trên từng khoảng xác định của nó

′

⇔ y ≥ ∀ ∈x D⇔x − mx+m −m+ ≥ ∀ ∈x D 1 0( )

1

1 0

hn

m m

≥



− ≤



Tập xác định: D= ℝ Ta có y′ = −1 msinx

Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y' 0,≥ ∀ ∈x ℝ⇔msinx≤ ∀ ∈1, x ℝ

Trường hợp 1: m=0 ta có 0 1, x≤ ∀ ∈ ℝ Vậy hàm số luôn đồng biến trên ℝ

Trường hợp 2: m>0 ta có sinx 1 , x 1 1 m 1

Trường hợp 3: m<0 ta có sinx 1 , x 1 1 m 1

Vậy m ≤1

Tập xác định: D= ℝ Ta có: 'y =m− +3 (2m+1)sinx

Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ y' 0,≤ ∀ ∈x ℝ⇔(2m+1)sinx≤ −3 m,∀ ∈x ℝ

Trường hợp 1: 1

2

m= − ta có

0 ≤7

2,∀x ∈ℝ Vậy hàm số luôn nghịch biến trên ℝ Trường hợp 2: 1

2

Trường hợp 3: 1

2

m> − ta có:

3 3

3

4;

3

∈ −

m

Tính nhanh, ta có ( ) 0 6 2 6( 2) 6( 1) 0 1

1

x

x m

=



 Phương trình f x′( ) 0= có nghiệm kép khi m=0, suy ra hàm số luôn đồng biến trên ℝ

Trường hợp m≠0, phương trình f x′( ) 0= có hai nghiệm phân biệt (không thỏa yêu cầu bài toán)

Tập xác định: D= ℝ Ta có y′ =x2+2mx−m

0

>



′



Vậy giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đồng biến trên ℝ là m= −1

Tập xác định: D=ℝ\{−m} Ta có

2

2

′ =

+

y

x m

Yêu cầu đề bài⇔ y′<0,∀ ∈x D⇔m2 +3m+ < ⇔ − <2 0 2 m< −1

Vậy không có số nguyên m nào thuộc khoảng (− − 2; 1)

Tập xác định D=ℝ\{−m} Ta có

2 2

4

−

′ = +

m y

x m

Để hàm số giảm trên khoảng (−∞;1)

1

 − <

′

⇔ < ∀ ∈ −∞ ⇔

≤ −



m

m ⇔ − <2 m≤ −1

Cách 1:Tập xác định: D= ℝ Ta có y′ =3x2−12x+m

• Trường hợp 1:

Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y′≥0, ∀ ∈ ℝx 3 0 ( )

12

hn

m m

>





• Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên (0; +∞) ⇔ y′=0 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa

1 2 0

x <x ≤ (*)

 Trường hợp 2.1: y′ =0 có nghiệm x=0 suy ra m=0 Nghiệm còn lại của y′ =0 là

4

x= (không thỏa (*))

 Trường hợp 2.2: y′ =0 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa

1 2

0

0

′

∆ >





< < ⇔ <



>



P

4 0( ) 0 3

m vl m



 − >





 >



không có m Vậy m≥12

Cách 2:Hàm số đồng biến trên (0; +∞) ⇔m≥12x−3x2 =g x( ),∀ ∈x (0;+∞ )

Lập bảng biến thiên của ( )g x trên (0; +∞)

g ′ + 0 –

g

0

12

–∞

Tập xác định D= ℝ Ta có y' 4= x3−4(m−1)x

Hàm số đồng biến trên (1;3) ⇔ y' 0,≥ ∀ ∈x (1;3)⇔ g x( )=x2 + ≥1 m,∀ ∈x (1;3)

Lập bảng biến thiên của ( )g x trên (1;3)

g ′ + 0

g

2

10

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m≤min ( )g x ⇔m≤ 2

Tập xác định: D= ℝ Ta có y′ =x2−mx+2m

Ta không xét trường hợp y′ ≤0,∀ ∈ ℝx vì a= >1 0

Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 ⇔ y′=0 có 2 nghiệm x x1, 2 thỏa

2

1 2

3

9

x x

m

=



+) Điều kiện tan x ≠ m Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên 0;π4 là m∉ 0;1( )

+)

y' = 2 − m

cos2

x (tan x − m)2 +) Ta thấy:

1 cos2

x (tan x − m)2 > 0∀x ∈ 0;π

4







;m ∉ 0;1( )

+) Để hs đồng biến trên 0;π

4









⇔ y' > 0

m∉(0;1)





−m + 2 > 0

m ≤ 0;m ≥ 1





 ⇔ m ≤ 0 hoặc 1≤m< 2

Tập xác định D= R, yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình

mx + mx+ ≤ ∀ ≥x , tương đương với ( ) 2 14

14

−

Dễ dàng có được ( )g x là hàm tăng ∀ ∈x [1;+∞), suy ra

1

14 min ( ) (1)

15

≥ = = −

Kết luận: (1)

1

14 min ( )

15

≥

Tập xác định D= ℝ Ta có y′ = −4x3+2(2m−3)x

Hàm số nghịch biến trên (1;2) 0, (1;2) 2 3 ( ), (1;2)

2

′

⇔ y ≤ ∀ ∈x ⇔m≤x + =g x ∀ ∈x Lập bảng biến thiên của ( )g x trên (1;2) ( ) 2g x′ = x= ⇔0 x=0

Bảng biến thiên

g ′ + 0

g 5 2

11

2

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: min ( ) 5

2

m≤ g x ⇔m≤ Vậy p+ = + = q 5 2 7

Tập xác định D= ℝ\{ }m Ta có

y

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi ( ) 0,g x ≥ ∀ ∈x D

2

g x

m

m

≤ −



≥



Kết luận: Có vô số giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán

Tập xác định D= ℝ\{ }m Ta có

y

Hàm số đồng biến trên (1;+∞ khi và chỉ khi ( )) g x ≥0,∀ > và x 1 m≤1 (1)

Vì ∆ ′=2( +1)2 ≥0,∀

g m m nên (1)⇔g x( ) 0= có hai nghiệm thỏa x1≤x2 ≤ 1 Điều kiện tương đương là

2

3 2 2 0, 2 1

2

m S

m









Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán

Điều kiện xác định: β ≥ 2

Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình 1 sin 2 1

+ ≤ ≤ + ∈ Z và β ≥ 2

Tập xác định D= R Ta có: y′ = +2 acosx b− sinx

Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có 2− a2+b2 ≤ y′≤ +2 a2+b2

Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình