a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên é pù ë0;3û và nghịch biến trên ép pù ë3; û... Số c là nghiệm của phương trình 2x+ x=m sin cos và vì hàm số nghịch biến trên ép pù ë3; û nên trên
Trang 1DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN- NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Bài tập 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
+
-+
2 2
1 a) ( ) 4 b) ( ) 1;2 c) ( ) 4
1
x
x
Bài giải:
a) TXĐ: D= \ 1{ }
Ta có:
2 /
2
2
(1 )
- +
f x
x
( ) 0
= Þ = é
ë
f x
Bảng biến thiên:
lim , lim lim , lim
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: ( ) ( )0;1 , 1;2
Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (-¥;0 , 2;) ( +¥)
b) TXĐ: D =
Ta có :
2
2 2
/
1 1
( )
x
x x
f x
-+
Lập bảng biến thiên:
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên khoảng: (-1;1 )
Hàm số nghịch biến trên khoảng: ( )1;2
c) Điều kiện: 4-x2 ³ Û - £ £0 2 x 2
Hay TXĐ: D= -[ 2;2]
0 4
0 0
f(x)
f/(x)
x
0
0
2
-1 x
f/(x)
f(x)
2 1
Trang 2Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012
Ta có:
2 /
4 ( ) 1
f x
2
x
Lập bảng biến thiên:
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên khoảng: (-2; 2 )
Hàm số nghịch biến trên khoảng: ( 2;2 )
Bài tập 2: Cho hàm số y= 2x+ x
sin cos a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên é pù
ë0;3û và nghịch biến trên ép pù
ë3; û b) Chứng minh rằng với mọi mÎ -( 1;1), phương trình 2x+ x=m
sin cos (*) có nghiệm duy nhất thuộc đoạn [ ]0;p
Bài giải:
a) Hàm số liên tục trên [ ]0;p và y/ = x x- x= x( x- ) xÎ( )p
2 sin cos sin sin 2 cos 1 , 0;
Vì xÎ( )0;p Þsinx>0 nên trên ( )0;p : y/ = Û x = Û =1 x p xÎ( )p
Lập bảng biến thiên:
Kết luận: Hàm số đồng biến trên é pù
ë0;3û và nghịch biến trên ép pù
ë3; û b) Ta có:
x é pù
" Î êë0; úû
3 , ta có y( )£ £y yæ öp Û £ £y
ç ÷
è ø
5
3 4 nên phương trình (*) không có nghiệm với
mÎ -1;1
2 2
x f'(x) f(x)
2 0
+
-1
5 4 1
_ +
p
3 0
0
p
y y' x
Trang 3x ép pù
" Î êë ; úû
3 , ta có y( )p £ £y yæ öp Û - £ £y
ç ÷
è ø
5 1
3 4 Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục mÎ -( ) Ì -æ ö
5 1;1 1;
4 , tồn tại một số thực c æp pö
Îçè ; ÷ø
3 sao cho y c( ) =0
Số c là nghiệm của phương trình 2x+ x=m
sin cos và vì hàm số nghịch biến trên ép pù
ë3; û
nên trên đoạn này, phương trình (*) có nghiệm duy nhất
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc đoạn [ ]0;p
DẠNG 2: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN D Ì
Phương pháp: Sử dụng điều kiện cần và đủ của tính đơn điệu:
· Hàm số y= f x( ) đồng biến trên D Û f/ x ³ " Îx D
( ) 0,
· Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên D Û f/ x £ " Îx D
( ) 0,
Lưu ý: Dấu “=” chỉ xãy ra tại hữu hạn điểm
Bài tập 1: Tìm m để hàm số y= +x mcosx đồng biến trên
Bài giải:
TXĐ: D=
Ta có: /
1 sin
Để hàm số đồng biến trên /
0,
Û ³ " Î
Cách 1: /
1 sin 0, sin 1, (1)
y = -m x³ " Î Ûx m x£ " Îx
* Với m=0 thì (1) luôn đúng
* Với m>0 thì (1) sinx 1, x 1 1 0 m 1
* Với m<0 thì (1) sinx 1, x 1 1 1 m 0
Kết luận: Các giá trị m thỏa y.c.b.t là 1- £ £m 1
1 sin 0, min min 1 ;1 0
m
m m
- ³
ì
Kết luận: Các giá trị m thỏa y.c.b.t là 1- £ £m 1
Bài tập 2: Tìm m để các hàm số sau đây đơn điệu trên các khoảng đã chỉ ra:
y= f x = -1x3+ x2+ m+ x- m+
3 nghịch biến trên
m
y= f x = +2x3- m+ x2 + m- x+m2
3 nghịch biến trên
Bài giải:
a) TXĐ: D=
Ta có: y/ = - +x2 x+ m+
4 2 1 có D =/ m+
2 5 và a= - <1 0
Hàm số y= f x ( ) nghịch biến trên khi chỉ khi y/ £ " Îx
0,
Trang 4Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012
y.c.b.t ìa< m m
-D £
î
/ /
0 2 5 0
5 0
Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là m£ -2
5
b) TXĐ: D=
Ta có: y/ =(m+ )x2- (m+ )x+ -m
2 2 2 8 có D =/ m+
2 5 và a = - <1 0
Hàm số y= f x ( ) nghịch biến trên khi chỉ khi y/ £ " Îx
0,
TH 1: m= -2 lúc đó y/ = - < " Îx
10 0, suy ra hàm số y = f x( ) nghịch biến trên
TH 2: Xét m¹ -2 Lúc đó:
y.c.b.t
m a
m m
+ <
-+ <
2 0 0
2
10 2 0
Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là m£ -2
Chú ý:
1) Nếu y/ =ax2+bx+c thì:
*
a b c
a
éì = = í
î ê
³ " Î Û ê >ì
êíD £ êî ë
/
0 0
0,
0 0
a b c
a
éì = = í
î ê
£ " Î Û ê <ì
êíD £ êî ë
/
0 0
0,
0 0
2) Hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên D thì hàm số phải xác định trên D
Bài tập 3: Tìm m để hàm số y mx 4
+
= + nghịch biến trên(-¥;1)
Bài giải:
TXĐ: D=\{ }-m
Ta có:
2 /
2 4
m
-+
Hàm số nghịch biến trên (-¥;1) khi chỉ khi
1
;1
m m
m
ì < " Î -¥ ì - <
- ³
Bài tập 3: Tìm m để hàm số 3 2 ( )
y=x + x + m+ x+ m nghịch biến trên(-1;1)
Bài giải:
TXĐ: D=
Ta có: / 2
y = x + x+ +m
Hàm số nghịch biến trên ( ) / ( )
1;1 y 0, x 1;1
Cách 1:
0, 1;1 3 6 1 0, 1;1 3 6 1, 1;1
y £ " Î -x Û x + x+ + £m " Î -x Û £ -m x - x- " Î -x
min ( )
( ) 3 6 1
g x = - x - x-
Trang 5Bài toán trở thành: Tìm
( 1;1 )
min ( )g x
( ) 3 6 1
g x = - x - x- Hướng 1: Để ý hệ số a= - <3 0 nên parabol ( ) 2
: 3 6 1
P - x - x- có bề lõm hướng xuống dưới nên giá trị
min ( ) min lim ( ), lim ( )
Ta có:
1
lim ( ) 2
x +g x
®- = - và
1
lim ( ) 10
x -g x
® = - nên
1;1
min ( )g x 10, x 1;1
- > - " Î
3 6 1, 1;1 10
m£ - x - x- " Î -x Û £ -m
Hướng 2: Xét hàm số 2 ( )
( ) 3 6 1, 1;1
g x = - x - x- " Î -x
( ) 6 6 0, 1;1 ( )
g x = - x- < " Î -x Þg x nghịch biến trên (-1;1) và:
1
lim ( ) 2
x +g x
®- = - ,
1
lim ( ) 10
x -g x
® = - Xét bảng biến thiên:
Kết luận: Giá trị m cần tìm là m£ -10
Cách 2:
Xét phương trình / = 2+ + + =
y x x m với
= >
ìï
-ïî /
3 0
9 3 1 6 3
a
TH 1: D £ Þ0 y/ ³ " Î0 x ( không thỏa )
TH 2: /
0 6 3m 0 m 2
D > Û - > Û <
Phương trình y/ =0 có hai nghiệm = - - - = - +
,
Theo bảng xét dấu:
/
y + 0 - 0 +
2
3 6 3
1
0, 1;1 1 1
1 3
m x
-ï
£
ïî
3 6 3
3
1 3
m
ïî
Kết luận: Giá trị m cần tìm là m£ -10
1
-2
-10 g(x)
g/(x)
Trang 6Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012
DẠNG 3: VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I- NỘI DUNG Ý TƯỞNG:
Định nghĩa:
Hàm số y= f x( ) đồng biến trên D Û "x x1, 2ÎD x: 1<x2Þ f x( )1 < f x( )2
Hàm số y= f x( ) đồng biến trên D Û "x x1, 2ÎD x: 1<x2Þ f x( )1 > f x( )2
Đặt vấn đề: Để chứng minh một bất đẳng thức dạng: A B> (1) trên D thì hoàn toàn
chúng ta có thể có ý tưởng như sau:
Bước 1: Đưa BĐT về dạng ( ) 0f x > trên D ( nếu thấy $ Îa D f a: ( ) 0= )
Lúc đó: ( ) 0f x > Û f x( )> f a ( )
Bước 2: Với x a> cần chỉ rõ f là hàm đồng biến
Lưu ý:
1) Đối với dạng chứng minh ( )f x > f y x( ), > y hoàn toàn tương tự
2) Nhắc lại một số BĐT quan trọng:
a Bất đẳng thức Cauchy: " ³a 0, b³0 : a b+ ³2 a b Dấu “=” xãy ra khi chỉ khi a b=
b Mở rộng BĐT Cauchy: "a b c, , ³0 : a b c+ + ³33 a b c Dấu “=” xãy ra khi chỉ khi a b c= =
c Hệ quả Cauchy: a 0 :a 1 2 a: 2a 12 a a 12 3
d Chứa giá trị tuyệt đối: a£ a, a - £ + £b a b a + b
e Kết quả lượng giác: "t sint: £ Û - £1 1 sint£1, sin t sin t sint3 £ 2 £
f ( ) ( ), ,
( ) hoÆc t¨ng, hoÆc gi¶m trªn D
f x
ì
Þ = í
î
II- VÍ DỤ MINH HỌA:
Bài tập 1: Chứng minh x>sinx trên 0;
2
p
è ø bằng cách xét khoảng đơn
điệu: ( )f x = -x sinx
Bài giải:
Ta có /( ) 1 cos 0, 0;
2
p
= - ³ " Îêë ÷ø
f x x x Do cosx £ "1, x Suy ra hàm số ( ) f x = -x sinx là
hàm số đồng biến trên 0;
2
p
÷
êë ø Từ đây x> Û0 f x( )> f(0) hay x-sinx>0 (đ.p.c.m)
Lưu ý:
Mục đích xét tính đơn điệu của hàm f trên 0;
2
p
÷
êë ø nhằm “lấy số 0” trong bất đẳng thức
0 ( ) (0)
x> Û f x > f
Trang 7Bài tập 2: Chứng minh:
2
1 cos , 0 2
- x < x " >x
Giải: Ta xét hàm số
2 ( ) 1 cos
2
= - x
-f x x ( x³0)
Đạo hàm f x/( )= - +x sinx= - -(x sinx) £0, " ³x 0 theo ví dụ trên Suy ra hàm số đã cho nghịch biến với x>0 Từ đây do x> Û0 f x( )< f(0) hay
2
1 cos 0 2
-x - x< (đ.p.c.m)
Bài tập 3: Chứng minh rằng: sin sin 2 cos( cos ), 0
2
p
Bài giải: BĐT sin 2cos sin 2cos , 0
2
p
Xét hàm số: ( ) sin 2cos 0
2
p
Ta có: /( ) cos sin 0 //( ) sin 0, 0
Suy ra f x nghịch biến với /( ) x>0 Do đó f x/( )< f /(0) 0= suy ra f x nghịch biến với ( ) 0
x>
Từ đây: 0 ( ) ( )
p
< < < Þ > Ûa asin +2cosa b b> sin +2cosb (đ.p.c.m)
Bài tập 4: (ĐHSPHNII-98) Chứng minh trong mọi tam giác ABC nhọn ta luôn có:
sin sin sin tan tan tan
3 A+ B+ C +3 A+ B+ C >p
Bài giải:
Phân tích: 2sin 1tan 2sin 1tan 2sin 1tan 0
3 A 3 A A 3 B 3 B B 3 C 3 C C
Xét hàm số: 2 1
( ) sin tan
f t = t+ t t- với 0;
2
tÎé p ö
÷
êë ø
Ta có: /
Do 0; cos 0
2
tÎé p öÞ t >
÷
êë ø nên áp dụng BĐT Cauchy:
2 3
1 cos
cos cos
t
Từ (*) suy ra: /
2
( ) cos cos 1 3 1 0 0;
t
p
Vậy hàm số ( )f t đồng biến trên 0;
2
p
÷
êë ø Từ t > Û0 f t( )> f(0) 0=
Với , , 0; 0; : 0 ( ) (0) 0 2sin 1tan 0
A B CÎæ p ö éÌ p ö A> Û f A >F = Û A+ A A- >
Trang 8Chuyờn đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012
Tương tự: 2 1
3 B+3 B B- > (2) và 2 1
3 C+3 C C- > (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta cú đ.p.c.m
Bài tập 5: Chứng minh rằng:
2 3
2! 3! ! e
n
n
Bài giải:Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
2 3
2 3
2! 3! !
1 ( ) 1
x Khi ta có: e (Đúng)
Giả sử b.đ.t đúng với , nghĩa là:
Ta chứng minh, b.đ.t cũng đúng với Thật vậy:
Xét hàm số
= +
= + +
k x
k x
k
k
n k x
2 3 /
2! 3! ! ( 1)!
( ) (0) 0
Ta có: Vậy nghịch biến trên 0;+ Suy ra: (đ.p.c.m)
+
-+
< =
x
k x
e
k
f x f
Nhận xột: Ở vớ dụ này chỳng ta đó sử dụng định nghĩa tớnh đơn điệu của hàm số:
1) Hàm số y= f x( ) đồng biến trờn D: " Êx y f x: ( )Ê f y( )
2) Hàm số y= f x( ) nghịch biến trờn D: " Êx y f x: ( )³ f y( )
III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Cho hàm số ( ) 4 tan , 0;
4
p
a Xột chiều biến thiờn của hàm số trờn 0;
4
p
b Chứng minh rằng tan 4 , 0;
4
p
Ê " ẻ ờở ỳỷ
Bài tập 1: Chứng minh cỏc bất đẳng thức trờn cỏc miền đó chỉ ra:
1) tan 0
2
p
> ỗ < < ữ
x x x 2)
3 tan 0
p
> + ỗ < < ữ
x
x x x 3)
3 sin ( 0)
6
> - x >
4)
3 sin ( 0)
6
< - x <
x x x 5) 2x>sin2 (x x>0)
Bài tập 2: Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau:
a CMR: sin tan 2 0;
2
p
ỹ Vận dụng kết quả trờn: Chứng minh bất đẳng thức sau:
Trang 91 1 1
2
cos cos cos
,
x
p
b CMR: 2sin 2tan 2 ,1 0;
2
p
x x x x c CMR:
3 1 3sin tan 2
2
p
Bài tập 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) tan 0
< ç < < < ÷
2) (Đề 78) Chứng minh trong mọi tam giác ABC nhọn ta luôn có:
sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2p
1
y
æ + ö
+
Giới thiệu: ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI PT, BPT, HPT
Bài tập 1: Cho hàm số f x( ) =2x2 x-2
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng [2;+¥)
b) Chứng minh rằng phương trình 2x2 x- =2 11 có một nghiệm duy nhất
Giải:
a) TXĐ: D=[2;+¥)
x x x
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [2;+¥)
b) Nhận xét:
Hàm số liên tục trên [2;3] và có f(2) = 0, f(3) = 18 Vì 0 < 11 < 18 nên $ Îc ( )2;3 sao cho f c( ) 11= Số thực c là một nghiệm của phương trình và vì ( )f x đồng biến trên
[2;+¥) nên c là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Bài tập 2: Giải phương trình: x5+x3- 1 3- x+ =4 0 (3)
Giải:
Đặt f x( )= x5+x3- 1 3- x+4 với 1
3
£
x Ta có ( )f x là hàm liên tục trên ;1
3
æ-¥ ù
è û và:
3
2 1 3
x
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng ;1
3
æ-¥ ù
è û Mặt khác ( 1) 0f - = , nên x= -1 là một
nghiệm của (3) và cũng là nghiệm duy nhất của phương trình này
Trang 10Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012
Bài tập: Giải các hệ phương trình, hệ bất phương trình sau:
2
2
2
6 12 8 tan tan
2 3
3
3
3 a) b)
p
8 4
c)
1
-ï
í
ì
>
-+
<
+ +
0 10 9 3
0 4 5 2 3
2
x x x
x x
