Đa thức lucas, đa thức euler và số lucas, số euler

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG MINH NGUYỆT ĐA THỨC LUCAS, ĐA THỨC EULER VÀ SỐ LUCAS, SỐ EULER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2016... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG MINH NGUYỆT

ĐA THỨC LUCAS, ĐA THỨC EULER

VÀ SỐ LUCAS, SỐ EULER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG MINH NGUYỆT

ĐA THỨC LUCAS, ĐA THỨC EULER

VÀ SỐ LUCAS, SỐ EULER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mục lục

1.1 Iđêan và đa thức đặc trưng tối thiểu 3

1.2 Nghiệm của quan hệ hồi quy 5

1.3 Quan hệ hồi quy không thuần nhất 10

1.4 Định lí Mahler-Lech 11

2 Số Euler và đa thức Lucas suy rộng 14 2.1 Hàm Euler và dãy Fibonacci 14

2.1.1 Hàm Euler 14

2.1.2 Số Fibonacci 19

2.2 Tính trù mật của φ(Fn)/Fn 22

2.3 Số Euler và đa thức Lucas suy rộng 38

Mở đầu

Dãy Fibonacci, dãy Lucas, hàm Euler là những vấn đề cơ bản của sốhọc, và luôn là đối tượng được quan tâm nghiên cứu Những vấn đề trênkhông chỉ là những vấn đề của các nhà nghiên cứu, mà nhiều nội dung đãđược đưa vào chương trình toán của bậc THPT, đặc biệt là trong chươngtrình bồi dưỡng học sinh khá giỏi Vì thế có thể nói rằng, tìm hiểu về dãyFibonacci, dãy Lucas, hàm Euler cho ta cái nhìn sâu hơn về mối liên hệgiữa toán học hiện đại và toán học phổ thông

Luận văn này có hai phần

Phần thứ nhất trình bày một cách tương đối hệ thống và dễ hiểu vềcác dãy hồi quy tuyến tính và phi tuyến; về dãy Fibonacci và dãy Lucas,cũng như về hàm Euler Luận văn cũng giới thiệu về một kết quả sâu sắctrong lý thuyết dãy hồi quy, là định lý Mahler-Lech Cho đến nay, chưa cóchứng minh nào của định lý này mà không dùng đến giải tích p-adic, lànội dung vượt ra ngoài khuôn khổ của luận văn Vì thế luận văn chỉ giớihạn ở việc trình bày sơ lược (dựa trên bài viết của Terence Tao trên trangblog của ông)

Phần thứ hai trình bày một kết quả gần đây (xem [2]) về tính trù mậtcủa dãy{φ(Fn)

Fn },trong đọạn [0, 1], trong đó {Fn} là dãy Fibonacci, φ(m)

là hàm Euler Đây là một mở rộng của kết quả cổ điển của Lucas, trong

đó dãy Fibonacci được thay bởi dãy hồi quy đơn giản an = 2n− 1

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Hà HuyKhoái, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảngdạy khóa học Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp vàcác thành viên lớp Cao học Toán K8A đã luôn quan tâm, động viên, giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Thái Nguyên, ngày 22 tháng 5 năm 2016

Tác giả

Dương Minh Nguyệt

Chương 1

Dãy hồi quy tuyến tính

Dãy số là một dãy gồm vô hạn các số, như

1, 2, 4, 8, 16, (1.1)Các số trong dãy số được gọi là các số hạng của dãy số, Ta viết dãy sốlà

a1, a2, a3,

trong đó an là số hạng thứ n của dãy Ví dụ, trong dãy số (1.1) ta có

a1 = 1, a2 = 2, a3 = 4,

Kí hiệu {an} hoặc {an}∞n=1 viết gọn cho dãy a1, a2, a3,

Thỉnh thoảng, chỉ số của các số hạng sẽ được bắt đầu khác 1, ví dụ như{an}∞n=0 nghĩa là

a0, a1, a2,

(trong đó an là số hạng thứ n + 1 của dãy số)

Dãy số có thể được xác định bằng công thức của an, nghĩa là an đượcbiểu thị bằng một hàm số của n Ví dụ, dãy số (1.1) được xác định bằngcông thức an = 2n−1

Có một cách khác để cho dãy số là liệt kê một vài số hạng đầu và mộtquy tắc để tính toán các số hạng còn lại của dãy Ví dụ, dãy (1.1) có thểđược xác định bằng cách cho số hạng đầu a1 = 1 và quy tắc an+1 = 2an

với những số nguyên n ≥ 1 Khi đó ta có

Dãy hồi quy tuyến tính là một dãy số a1, a2, a3, thỏa mãn một quan

hệ hồi quy tuyến tính như trên với ck 6= 0 và c0 6= 0

Ví dụ, dãy số (1.1) thỏa mãn quan hệ an+1 = 2an, với mọi số nguyên

n ≥ 1 nên nó là một dãy hồi quy tuyến tính bậc 1 với c1 = 1 và c0 = −2

Định nghĩa 1.1.2 Quan hệ hồi quy tuyến tính

Bây giờ, ta xét một dãy {an} tùy ý Cho I là tập hợp các đa thứcđặc trưng của tất cả các quan hệ hồi quy tuyến tính thỏa mãn bởi dãy{an} Khi đó

(a) Nếu f (x) ∈ I và g (x) ∈ I thì f (x) + g (x) ∈ I

(b) Nếu f (x) ∈ I và h (x) là một đa thức bất kì, thì h (x) f (x) ∈ I.Một tập con khác rỗng I các đa thức, thoả mãn hai quan hệ trên đượcgọi là một iđêan

Một sự kiện trong đại số: Giả sử I là một iđêan của các đa thức Khi

đó I = {0} hoặc có một đa thức monic duy nhất f (x) ∈ I sao cho

Bậc của dãy hồi quy tuyến tính {an} là bậc thấp nhất trong số tất

cả các quan hệ hồi quy tuyến tính (có nghiệm không tầm thường) đượcthỏa mãn bởi {an}, nó cũng bằng bậc của đa thức đặc trưng tối thiểu

Ví dụ, dãy (1.1) là dãy hồi quy tuyến tính bậc nhất có đa thức đặc trưngtối thiểu là x − 2

Định nghĩa 1.2.1 Một dãy {an} thỏa mãn quan hệ hồi quy nào đóđược gọi là một nghiệm của quan hệ đó Nếu quan hệ hồi quy bậc k thì kgiá trị đầu của dãy có thể lấy tùy ý, các giá trị tiếp theo hoàn toàn đượcxác định

Một nghiệm của quan hệ hồi quy bậc k được gọi là nghiệm tổng quátnếu nó phụ thuộc k hằng số tùy ý C1, , Ck.

Ví dụ 1.2.1 Xét quan hệ hồi quy an+2 − 5an+1 + 6an = 0 có nghiệmtổng quát là an = C1.2n + C2.3n

Sau đây là một số phương pháp tìm nghiệm của quan hệ hồi quytuyến tính

Trước tiên, ta xét trường hợp đơn giản quan hệ hồi quy tuyến tínhbậc 2:

an+2 = c1an+1 + c0an (1.3)

Bổ đề 1.2.1 Nếu a(1)n , a(2)n là các nghiệm của (1.3) thì với các số tùy ý

A, B dãy

an = Aa(1)n + Ba(2)ncũng là nghiệm của (1.3)

Chứng minh Theo giả thiết ta có

a(1)n+2 = c1a(1)n+1 + c0a(1)n

a(2)n+2 = c1a(2)n+1 + c0a(2)n

Từ đó suy ra

Aa(1)n+2 + Ba(2)n+2 = c1hAa(1)n+1 + Ba(1)n+1i+ c0hAa(1)n + Ba(1)n i

Như vậy, an = Aa(1)n + Ba(2)n cũng là một nghiệm của (1.3)

Bổ đề 1.2.2 Giả sử r1 là nghiệm của phương trình đặc trưng

r2 = c1r + c0 (1.4)

Khi đó dãy {r1n} là một nghiệm của quan hệ (1.3)

Chứng minh Ta có an = r1n, an+1 = r1n+1, an+2 = r1n+2 Thay vào quan

hệ (1.3) ta được

rn+21 = c1r1n+1+ c0r1nĐẳng thức này đúng vì r2 = c1r + c0

Có hai nghiệm phân biệt r1 và r2 Khi đó, nghiệm tổng quát của quan

hệ hồi quy này có dạng

an = Ar1n+ Brn2Chứng minh Theo bổ đề 1.2.2, a(1)n = r1n, a(2)n = r2n là các nghiệm củaquan hệ đang xét Theo bổ đề 1.2.1, với mọi A, B tùy ý, Arn1 + Br2n lànghiệm của quan hệ hồi quy trên Chỉ còn phải chứng minh rằng, nghiệmtùy ý của quan hệ này có thể viết dưới dạng đã nêu trong định lí Mỗinghiệm của quan hệ trên được xác định duy nhất bởi các giá trị a0, a1

Cr1n−1 Nói chung không thể chọn hằng số C sao cho hai điều kiện banđầu a0 = a, a1 = b được thỏa mãn

Định lí 1.2.2 Giả sử phương trình đặc trưng

r2 = 2r1r − r12.Như vậy quan hệ hồi quy sẽ có dạng

Đối với quan hệ hồi quy tuyến tính cấp k tùy ý, ta cũng có kết quảhoàn toàn tương tự.

Định lí 1.2.3 Cho f (x) = ckxk + + c0 là một đa thức với ck 6= 0 và

c0 6= 0 Giả sử phân tích của f (x) trên tập các số phức là

f (x) = ck(x − r1)m1

(x − r2)m2

(x − r`)m`

trong đó r1, r2, , r` là các số phức khác 0 phân biệt, m1, m2, , m`

là các số nguyên Khi đó dãy {an} thỏa mãn quan hệ hồi quy tuyếntính có đa thức đặc trưng là f (x) khi và chỉ khi tồn tại các đa thức

g1(n) , g2(n) , , g`(n) với deg gi ≤ mi − 1 sao cho

an = g1(n) rn1 + + g`(n) r`n với mọi n

Dưới đây là một trường hợp đặc biệt quan trọng

Hệ quả 1.2.1 Giả sử f (x) = c1(x − r1) (x − r2) (x − r`), trong đó

r1, r2, , r` là các nghiệm phức khác 0 phân biệt của f (x) Khi đó dãy{an} thỏa mãn quan hệ hồi quy tuyến tính có đa thức đặc trưng là f (x)khi và chỉ khi tồn tại các hằng số B1, B2, , B` sao cho

1.3 Quan hệ hồi quy không thuần nhất

Giả sử ta muốn tìm một công thức cụ thể đối với một dãy {an} thỏamãn a0 = 1 và

an+1− 2an = bn với n ≥ 0 (1.5)

trong đó {bn} là dãy hồi quy tuyến tính thỏa mãn b0 = 2 và bn+1 = 3bn.Đây không phải là một quan hệ hồi quy tuyến tính theo nghĩa màchúng ta đã đề cập (vì vế phải là bn chứ không phải là 0) do vậy phươngpháp thông thường không sử dụng được Quan hệ hồi quy dạng này,tuyến tính trừ một hàm của n ở vế phải, được gọi là quan hệ hồi quykhông thuần nhất

Chúng ta có thể giải được các bài toán hồi quy không thuần nhấtmột cách rõ ràng khi vế phải là một dãy hồi quy tuyến tính Trong ví

(

A = −1

B = 2Vậy an = −2n + 2.3n hay an = −2n+ bn

Nếu một dãy {xn} bất kì thỏa mãn quan hệ

xn+1 − 2xn = bn (1.6)

Ta có dãy {yn} xác định bởi yn = xn− an thỏa mãn yn+1 − 2yn = 0, vớimọi n Do vậy yn = C.2n với một số C nào đó Do đó nghiệm tổng quátcủa (1.6) là

xn = yn+ an = −2n + bn+ C.2nhay

xn = D.2n + bntrong đó D là hằng số nào đó

Nói chung loại lập luận này chứng minh điều sau đây

Định lí 1.3.1 Cho {bn} là một dãy hồi quy tuyến tính thỏa mãn quan

hệ hồi quy với đa thức đặc trưng f (x) Cho

g (x) = ckxk + ck−1xk−1 + + c1x + c0

là một đa thức Khi đó mỗi nghiệm {xn} của quan hệ hồi quy khôngthuần nhất

ckxn+k + ck−1xn+k−1+ + c1xn+1 + c0xn = bn (1.7)

cũng thỏa mãn một quan hệ hồi quy tuyến tính với đa thức đặc trưng

f (x) g (x) Hơn nữa nếu {an} là một nghiệm cụ thể của quan hệ (1.7)thì tất cả các nghiệm có dạng xn = an+ yn, trong đó {yn} là một trongcác nghiệm của quan hệ tuyến tính

ckyn+k + ck−1yn+k−1 + + c1yn+1+ c0yn+0 = 0

Đây là một định lí sâu sắc về các dãy hồi quy tuyến tính

Định lí 1.4.1 Cho {an} là một dãy hồi quy tuyến tính của các số phức,

và cho c là một số phức Thế thì tồn tại một dãy hữu hạn (có thể rỗng)

các cấp số cộng T1, T2, , Tm và tập S hữu hạn (có thể rỗng) các sốnguyên sao cho

{n | an = c} = S ∪ T1 ∪ T2 ∪ ∪ Tm

Sau đây là một vài ví dụ minh họa định lí Mahler-Lech

Ví dụ 1.4.1 Cho dãy hồi quy tuyến tính {an} thỏa mãn a0 = 0, a1 = 1và

Nếu n chẵn thì an = 0 với mọi n ≥ 0

Nếu n lẻ thì an = 1 với mọi n ≥ 1

Chương 2

Số Euler và đa thức Lucas suy rộng

2.1.1 Hàm Euler

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử n là một số nguyên dương Hàm Euler đượcđịnh nghĩa là số các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tốcùng nhau với n Kí hiệu hàm Euler là ϕ(n)

Hệ thặng dư thu gọn môđunlô n là tập hợp gồm ϕ(n) số nguyên, trong

đó mỗi số đều nguyên tố cùng nhau với n và không có hai số đồng dưnhau môđunlô n

Ví dụ {1, 3, 7, 9} là hệ thặng dư thu gọn môđunlô 10

Thặng dư dương bé nhất của X môđunlô n là số a với 0 < a < n và

X ≡ a (mod n)

Ví dụ Số 23 có thặng dư dương bé nhất môđunlô 10 là 3

Ta có một số định lí quan trọng về hàm Euler trong số học

Định lí 2.1.1 Giả sử r1, r2, , rϕ(n) là hệ thặng dư thu gọn môđunlô n,

a là số nguyên dương và (a, n) = 1 Khi đó tập hợp ar1, ar2, , arϕ(n)cũng là hệ thặng dư thu gọn môđunlô n

Chứng minh Rõ ràng hệ ar1, ar2, , arϕ(n) gồm ϕ(n) phần tử

Lấy 0 < i 6= j ≤ ϕ(n), ta sẽ chứng minh ari không đồng dư arj

môđunlô n Giả sử ngược lại

ari không đồng dư arj môđunlô n

Ta cần chứng minh (ari, n) = 1 với mọi n = 1, 2, , ϕ (n) Giả sửngược lại, (ari, n) = d > 1 Khi đó sẽ tồn tại ước nguyên tố p của d Suy

ra p |ari và p| n Tức là p là ước chung của a và n hoặc p là ước chungcủa ri và n, mà cả hai điều này đều mâu thuẫn với giả thiết (a, n) = 1

và (ri, n) = 1 Vậy (ari, n) = 1

Từ đó suy ra hệ ar1, ar2, , arϕ(n) cũng là hệ thặng dư thu gọnmôđunlô n

Ví dụ 2.1.2 {1, 3, 7, 9} là hệ thặng dư thu gọn môđunlô 10, do (3, 10) =

1 nên {3, 9, 21, 27} cũng là hệ thặng dư thu gọn môđunlô 10

nhất của ar1, ar2, , arϕ(n) là r1, r2, , rϕ(n) theo một thứ tự nào đó.Nên ta có

Định lí 2.1.3 Với p là số nguyên tố ta có ϕ(p) = p − 1 Ngược lại, nếu

p là số nguyên dương sao cho ϕ(p) = p − 1 thì p là số nguyên tố

Chứng minh Nếu p là số nguyên tố thì mọi số nguyên dương nhỏ hơn pđều nguyên tố cùng nhau với p, như vậy ϕ(p) = p − 1

Ngược lại, nếu p là số nguyên dương thỏa mãn ϕ(p) = p − 1, ta chứngminh p là số nguyên tố Giả sử ngược lại p là hợp số, khi đó tồn tại sốnguyên dương d là ước của p, tức là 0 < d < p và d |p Vậy trong các

số 1, 2, , p − 1 phải có những số không nguyên tố cùng nhau với p Vậyϕ(p) ≤ p − 2, điều này mâu thuẫn với giả thiết ϕ(p) = p − 1 Vậy p là

thỏa mãn p ≤ k ≤ pa−1 và k p Có đúng pa−1 số như vậy Vậy có pa− pa−1

số nguyên dương không vượt quá pa và nguyên tố cùng nhau với p Vậy

d |r nên d |(km + r) và d |m.n do đó d |(km + r, m.n)

Vậy, để tìm các số trong bảng nguyên tố cùng nhau với m.n ta chỉcần xét các số trong dòng thứ r trong đó (r, m) = 1, có ϕ(m) dòngnhư thế Ta xét một dòng như vậy, dòng này chứa các số r, m + r, 2m +

r, , (n − 1)m + r, mà mỗi số này đều nguyên tố cùng nhau với n Ta sẽchứng minh các số trong dòng này lập thành một hệ thặng dư đầy đủmôđunlô n

Hệ trên gồm n số nguyên dương Ta sẽ chứng minh không có hai sốnào trong hệ đồng dư nhau môđunlô n

Giả sử ngược lại, với 0 ≤ i 6= j ≤ n − 1 mà

im + r ≡ jm + r (mod n) ⇔ m(i − j) ≡ 0 (mod n)

Vì (m, n) = 1 nên (i − j) n, suy ra i − j = 0, mâu thuẫn với giả thiết

0 ≤ i, j ≤ n − 1 Tức là trong hệ trên không có hai số đồng dư nhaumôđunlô n Suy ra n số trong dòng này lập thành một hệ đầy đủ môđunlô



1 − 1

pk



Chứng minh Vì ϕ là hàm có tính chất nhân nên nếu n = pα1



1 − 1

pk



Ví dụ 2.1.5 Vì 120 = 23.3.5 nên

ϕ(120) = 120



1 − 12





1 − 13





1 − 15



= 32Định lí 2.1.7 Giả sử n là số nguyên dương Khi đó

X

d|n

ϕ(d) = n

Chứng minh Ta phân chia các số tự nhiên từ 1 đến n thành các lớp theocách sau: lớp Cd gồm các số nguyên m, 1 ≤ m ≤ n, mà (m, n) = d Nhưvậy m thuộc lớp Cd nếu d là ước chung của m và n và (m/d, n/d) = 1.Như vậy số các phần tử của Cd là số các số nguyên dương không vượtquá n/d và nguyên tố cùng nhau với n/d, túc là Cd gồm ϕ (n/d) phầntử.

Vì mỗi số nguyên m từ 1 đến n thuộc một và chỉ một lớp Cd nào đó(d = (m, n)) nên n bằng tổng của số các thành phần trong các lớp Cd ,

d là ước của n Ta có:

n = X

d|n

ϕnd



Mặt khác, khi d chạy qua mọi ước của n thì n/d cũng chạy qua mọi ướccủa n, từ đó suy ra

n = X

d|n

ϕ (d)

2.1.2 Số Fibonacci

Số Fibonacci xuất hiện lần đầu tiên trong bài toán sau:

Bài toán: Một cặp thỏ mỗi tháng sinh một lần, cho một cặp thỏ con (mộtđực, một cái) Cặp thỏ mới sinh ra sau hai tháng lại bắt đầu sinh cặpthỏ mới Hỏi sau một năm sẽ có bao nhiêu con thỏ, nếu đầu năm ta cómột cặp thỏ

Từ giả thiết suy ra rằng, sau một tháng sẽ có 2 cặp thỏ Sau haitháng, cặp thứ nhất sinh một cặp nữa, và ta có 3 cặp Sau ba tháng cặpthứ hai lại sinh một cặp nữa, và ta có 5 cặp

Kí hiệu F (n) là số cặp thỏ sau tháng thứ n kể từ đầu năm Sau thángthứ (n + 1) sẽ có F (n) cặp ban đầu, cộng thêm số cặp do các cặp đã cósau tháng thứ (n − 1) sinh ra, số này là F (n − 1) Vậy

F (n + 1) = F (n) + F (n − 1) (2.1)Theo giả thiết, F (0) = 1, F (1) = 2, F (2) = 2, , F (12) = 337

Các số F (n) được gọi là các số Fibonacci.

Ta sẽ tìm hiểu công thức biểu diễn F (n) qua n Quan hệ hồi quytuyến tính (2.1) có phương trình đặc trưng là

r2 − r − 1 = 0

Phương trình này có các nghiệm là r1 = 1 +

√5

2 và r1 =

1 −√

5

2 Vậynghiệm tổng quát của quan hệ (2.1) là

f (n) = C1 1 +

√52

!n

+ C2 1 −

√52

!n

(2.2)

Các số Fibonacci F (n) được cho bởi (2.2) với điều kiện F (0) = 1, F (1) =

2 Tuy nhiên để thuận tiện ta thường xét điều kiện ban đầu F (0) = 0,

F (1) = 1 Khi đó các hằng số C1, C2 được tính từ hệ phương trình

(

C1 + C2 = 0

√ 5

!n

− 1 −

√52

Fn−1 = Fn − Fn−2

Fn = Fn−2 − Fn−1

F2 + F4 + + F2n = F2n+2− 1 − F2n = F2n+1− 1.

Mệnh đề 2.1.4

F1 − F2 + F3 − F4 + + (−1)n+1Fn = (−1)n+1Fn−1+ 1

Fn2 = Fn.Fn+1 − Fn−1.Fn.Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.

Lucas đã chứng minh rằng nếu đặt Mn = 2n−1 thì tập hợp {φ(Mn)/Mn : n ≥ 1}

là trù mật trong đoạn [0; 1], trong đó φ(m) là hàm Euler của các số

nguyên dương m Nếu thay thế dãy các số (Mn)n≥0 bằng dãy các số