Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!. KĨ
Trang 1Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
DẠNG 3 KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI
Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra
Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:
Các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm
Khi các biến có giá trị tại biên Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên
Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên
Ví dụ 1: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a+b+c=3
3 3 2 2
a
Lời giải:
Phân tích:
Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi:
= +
= +
= +
⇒
=
=
=
3 2
3 2
3 2
a c
c b
b a c
b a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(3) (2)
(1)
9
3
2 6
2
9
3
2 6
2
9 3
2 6
3
3 3 2 9
1 3 3 2 9
1
2
3 3
3 3
3 3
3 3
3
a c a
c
c b c
b
b a b
a b
a b
a
+ +
≤
+
+ +
≤
+
+ +
= + + +
≤ +
=
+
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
3 3
3
3
3 3 9
3
3 18 2 2
Ví dụ 2: [ĐVH] Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=1 (*)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=a2+b2 +c2
Lời giải:
Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức a2+b2 +c2 và a+b+c gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc a2+b2 +c2 Nhưng ta cần áp dụng cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vào
bậc của các biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức
Cauchy lần lượt cho a2, b 2và c2cùng với 1 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện a , b và c Do
a, b, c dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a=b=c, từ (*) ta có
3
1
=
=
=b c
a Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau
Khi đó ta có lời giải như sau:
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: a và 2
9
1
ta có:
02 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
a a
a
3
2 9
1 2
9
2+ ≥ = (1) Dấu “=” xảy ra
3
1 9
1
Tương tự:
b
b
3
2
9
1
2+ ≥ (2) Dấu “=” xảy ra
3
1
=
⇔b c
c
3
2
9
1
2 + ≥ (3) Dấu “=” xảy ra
3
1
=
⇔c
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
3
1 3
2 3
2 3
2
2
2 +b +c + ≥ a+b+c = ⇒a +b +c ≥
Dấu “=” xảy ra
3
1
=
=
=
Vậy GTNN của A là
3 1
Ví dụ 3: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa ab+bc+ca=3 CMR: a3 +b3 +c3 ≥3
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
ab b
a b
a3 + 3 +1≥33 3 3 =3 (1) ; b3 +c3 +1≥3bc(2) ; c3 +a3 +1≥3ca(3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
2
3 3 2
3 3
3
3
3
3
≥ + +
+
⇔
+ +
≥ + +
+
c b
a
ca bc ab c
b
a
3
3
3
⇔a b c (đpcm)
Ví dụ 4: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c
Chứng minh bất đẳng thức sau:
3 2
2 2
2 2
2
c b a b a
c a c
b c b
+
+ +
+ +
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
2 9
2 2
2 9
2
2
2 2
a c b c b
a c
b c
b
+
≥
+ +
3
2 9
2 2
2
b a c a
c
b + + ≥
2 9
2 2
2
c b a b a
c + + ≥
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
3
2 9
3 2
2
2
2 2
2
c b a c
b a b a
c a c
b
c
b
+
+ +
+
+
3 2
2
2
2 2
2
c b a b a
c a c
b
c
b
+
+ +
+
+
Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi và kỹ thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp
Ví dụ:
Đối với bài 1 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a=b=c Khi đó 2 2 1
a a
a b
a = = , ta chọn 1
a Đối với bài 2 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a=b=c Khi đó
3 2
2
2 2
a a a
a c
b
+
= + , muốn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để làm mất mẫu thì ta cộng thêm 9
2b+c
Chọn mẫu là số 9 vì
3 9
2 9
2b c a a a
=
+
= +
Trang 3
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Ví dụ 5: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c
Chứng minh bất đẳng thức sau:
+ +
≥ +
+ +
+
ca c
b a
bc b
a c
2
1
2 2
2
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
b a b a c
ab ab
b a b a
c
4 2
+
≥
+ +
c b
c
b
a
4
a c a c b
4
+ (3) Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
ca c
b a
bc b
a
c
ab
c b a ca
a c bc
c b ab
b a a c b
ca c
b a
bc b
a
c
ab
1 1 1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4 1
1 1 1 4
4 4
2 2
2
2 2
2
+ +
≥ + + + + + + +
+ +
+
+
⇔
+ +
≥
+ +
+ +
+ + +
+ +
+
+
+ +
≥ +
+ +
+
+
⇒
c b a a
c b
ca c
b a
bc b
a
c
2
1
2 2
Ví dụ 6: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc=1
Chứng minh bất đẳng thức sau:
3 1
1 1
1 1
1
3 3
3
≥ + +
+ + +
+ +
c a
c
b c
b a
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
c b
a c
b c
b
a
4
3 8
1 8
1 1 1
3 8
1 8
1 1
1
3
3 3
= +
+ + +
≥
+ +
+ +
+
a
c
b
4
3 8
1 8
1 1
1
3
≥
+ +
+ +
+
b
a
c
4
3 8
1 8
1 1
1
3
≥
+ +
+ +
+
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
3 4
3 2
3 4
3 2
1 1
1 1
1 1
1
4
3 4
3 4
1 1
1 1
1 1
1
3 3
3 3
3 3
3
=
−
≥
− + +
≥ + +
+ + +
+ +
+
⇒
+ +
≥ + + + + + +
+ + +
+
+
+
abc c
b a b
a
c a
c
b c
b
a
c b a c
b a b
a
c a
c
b c
b
a
(đpcm)
Ví dụ 7: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c
ca
a c bc
c b ab
b
a + + + + + ≥2 + +
3 3 3 3 3 3
Lời giải:
Ta có:
c
a a
c b
c c
b a
b b
a ca
a c bc
c b ab
b
+ + + + +
=
+ +
+ + +
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a b b
a
b
b
a
2 2
2 2
=
≥
a
b
2
2
≥ + (2) ; c b
c
b
2
2
≥ + (3) ;
Trang 4Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
c
b
b
c
2
2
≥
+ (4) ; a c
a
c
2
2
≥ + (5) ; c a
c
a
2
2
≥ + (6) Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1) đến (6) ta được:
c
a a
c b
c c
b a
b b a
c b a c b a c
a a
c b
c c
b a
b b a
+ +
≥ + + + + +
⇒
+ +
≥ + + + + + + + +
2
4 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
ca
a c bc
c b ab
b a
+ +
≥
+ +
+ +
+
3 3 3 3 3 3
(đpcm)
Ví dụ 8: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c
Chứng minh bất đẳng thức sau:
c b a a
c c
b b
3 2 3 2 3
2
+ +
≥ + +
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
b a a b
a a
a
b
1 3 1 1
3 3 2 3
2
=
≥ +
c b b c
b 1 1 3
3
2
≥ + + (2);
a c c a
c 1 1 3
3
2
≥ + + (3) Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
+ +
≥
+ + + +
+
c b a c
b a a
c
c
b
b
3 1 1 1 2
3
2
3
2
3
2
c b a a
c c
b
b
3 2 3
2
3
2
+ +
≥ +
+
Ví dụ 9: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c
Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 2 2
3 3 3
c b a a
c c
b b
a
+ +
≥ + +
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
3 3 2
3
3
3
b
a b
a b
b
a
b
2 2
3
3
3b c
c
b
c
b + + ≥ (2) ; 2 2
3 3
3c a a
c a
c + + ≥ (3) Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
3 3
3
3
a
c
c
b
b
a
+ +
≥ + + +
+
+
2 2 2 3 3
3
c b a a
c c
b
b
a
+ +
≥ +
+
Ví dụ 10: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c
Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c
ab
c ca
b bc
a
+ +
≥ + + 42 42
2 4
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
bc
a c
c b bc
a
4
44 2 4 2
4
=
≥ + +
c a a b
ca
b
4
2
4
≥ + +
Trang 5Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
a b b c
ab
c
4
2
4
≥ + + + (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
ab
c ca
b
bc
a
+ +
≥ + + + +
4 2
4
2
4
c b a ab
c ca
b
bc
⇒
2 4 2
4
2
4
(đpcm)
Ví dụ 11: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a2+b2+c2 =3
Chứng minh rằng:
2
3
3 3
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b a
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3 3
4 2
c b a c b
a c
b
a
c
b
+
≥
+
+
3
a
c
b
a
c
3
b a c b a
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
) (1'
2
2 2 2 3
3
3
c b a ca bc ab b a
c a
c
b
c
b
+
+
+
+
+
Mặt khác ta có: a m+n +b m+n +c m+n ≥a m b n +b m c n +c m a n
Chọn
=
=
1
1
n
m
ta được:
) (2'
2
2
2 2
2
2
2
2
ca bc ab c
b
a
ca bc ab c
b
a
+ +
≥ +
+
⇒
+ +
≥
+
+
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:
2 2
2
2 2 2 2 2 2 3
3
3
ca bc ab c b a c b a ca bc ab b a
c a c
b
c
b
+
+ +
+
+
⇒
2
3 2
2 2 2 3
3
3
= + +
≥ +
+ +
+
+
b a
c a c
b
c
b
a
(đpcm)
Ví dụ 12: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c
Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 3 3 3
5 2 5 2
5
c b a a
c c
b b
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3 2 2
5 2
2
5
2
b
a ab
b
a
=
≥
3 2
2
5
2b
bc
c
b
≥
5
2c ca a
c
≥
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
2 2 2 2
5
2
5
2
5
c b a ca
bc ab a
c
c
b
b
a
+ +
≥ + + + +
+
Mặt khác ta có: a m+n +b m+n +c m+n ≥a m b n +b m c n +c m a n
Trang 6Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Chọn
=
=
2
1
n
m
ta được:
) (2'
2 2 2 3
3
3
ca bc ab c
b
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:
3 3 3 2 2 2 2
5
2
5
2
5
c b a ca bc ab a
c
c
b
b
3 3 3 2 5 2
5
2
5
c b a a
c c
b
b
a
+ +
≥ +
+
Ví dụ 13: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c
3 3
3
3
1 2 2
c c b
b b a
a
+ +
≥ +
+ +
+ +
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3 3
3
2 9
2
2
2 9
2
b a a b a
a b
a
a
b
a
+
≥
+
+
3
3
2 9
2
c b
b
c
b
3
3
2 9
2
b c c b c
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
9
5 9
2 2 2
2
3
2 9
2 9
1 2 2
2
2 2 2 3
3 3
2 2 2 2
2 2 3
3
3
c b a ca
bc ab a
c
c c b
b b
a
a
c b a ca
bc ab c
b a a c
c c b
b
b
a
a
+ +
≥ + + +
+
+ +
+
+
⇔
+ +
≥ + + +
+ + +
+
+ +
+
+
Mặt khác ta có: a m+n +b m+n +c m+n ≥a m b n +b m c n +c m a n
Chọn
=
=
1
1
n
m
ta được:
9
2 9
2
2
2
ca bc ab c
b
a
ca bc ab c
b
a
+ +
≥ + +
⇒
+ +
≥
+
+
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:
a c
c c b
b
b
a
+
+ +
+
2 9
5 9
2 9
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 3
3
3
3 3
3
3
1 2 2
c c b
b b
a
a
+ +
≥ +
+ +
+
+
Ví dụ 14: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c
Chứng minh bất đẳng thức sau:
c b a c
b a b
a c a
c
2 2
+
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 4 2 2 4 4
a c b a
c b c
b a
c b
= +
+
≥ + +
+
(1) ;
Hoàn toàn tương tự ta cũng có: 2 4 4
b a c b
a c
≥ + +
+
(2) ; 2 4 4
c b a c
b a
≥ + +
+
(3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
) (1'
4 4 4 4 4
4
2 2
2
c b a a c c b b a c
b a b
a
c
a
c
+
+ +
+ + +
+ +
+
+
+
Trang 7Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
2
4 1
1 2 1 1
b a ab b
a b
) (3'
4
1
1
c
b
c
b+ ≥ + ; (4' )
4 1 1
a c a
c + ≥ + Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’), (2’), (3’) và (4’) ta được:
4 4
4 4 4 4 2 2 2 4 4
4
2 2
2
a c c b b a c b a c b a a c c b b a c
b a b
a
c
a
c
b
+
+ +
+ + + + +
≥ + + + +
+ +
+ + +
+ +
+
+
+
c b a c
b a b
a c
a
c
2 2
+
Ví dụ 15: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c
Chứng minh bất đẳng thức sau: a b
a
c c
b b
a
3
4 2
2 2
+
≥ + +
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a b b
a
b
b
a
2 2
2 2
=
≥
c
b
4 4
2
≥ + (2) ; a c
a
c
4
4 2
≥ + (3) Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
c b a c b a a
c c
b b
a
4 4 2 4
4 2
2 2
+ +
≥ + + + + +
b a a
c c
b b
a
3
4 2
2 2
+
≥ + +
Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi a=b=2c
Ví dụ 16: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c
Chứng minh bất đẳng thức sau: ( c a b)
b a
c a c
b c b
+
+ +
+
1
16 2
2 2
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
4 9
4
2
a c
b
c
b
a
≥
+
+
3
4 9
4
2
b a c a c
b
≥
+ +
b a
c
8
16 2
≥ + +
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
b a
c a c
b c
b
a
8 3
4 9
8 9
13
16 2
2 2
+ +
≥ + + +
+
+ +
+
+
b a
c a c
b
c
b
a
−
−
≥ +
+ +
+
+
9
1
16 2
2
2
(đpcm)
Ví dụ 17: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c
Chứng minh bất đẳng thức sau:
c b a a
c c
b b
2 2
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
b a b
a a
b
2
1
2
2 + ≥ = (1) ;
c b c
b 1 2
2 + ≥ (2);
a c a
c 1 2
2 + ≥ (3) Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
c b a c b a a
c c
b b
2 2
Trang 8Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
c b a a
c c
b b
2 2
Ví dụ 18: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a3+b3+c3 =3 CMR: a5 +b5 +c5 ≥3
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số: 3 số a và 2 số 1, ta có: 5 3a5 +2≥55 a151.1=5a3 (1)
Tương tự: 3b5 +2≥5b3 (2) ; 3c5 +2≥5c3 (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
3 a + +b c + ≥6 5 a + +b c ⇔3 a + +b c + ≥6 5.3⇔a5+b5+c5 ≥3 (đpcm)
Ví dụ 19: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a3b3 +b3c3 +c3a3 =3 CMR: a7 +b7 +c7 ≥3
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số: 3 số a , 3 số 7 b và số 1, ta có: 7
3 3
7 21 21 7
7
7 1 7 1
3
3a + b + ≥ a b = a b (1)
Tương tự: 3b7 +3c7 +1≥7b3c3 (2) ; 3c7 +3a7 +1≥7c3a3 (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
6 a + +b c + ≥3 7 a b +b c +c a ⇔6 a + +b c + ≥3 7.3 ⇔a7 +b7 +c7 ≥3 (đpcm)
Ví dụ 20: [ĐVH] Cho 2 số thực dương a, b CMR: a2 +b2 +4≥2a+2b+ab
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a a
a2 +4≥ 2 2.4 = 4 (1); b2 +4≥4b (2) ; a2 +b2 ≥2ab (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 2a2 +2b2 +8≥4a+4b+2ab
ab b a b
a + + ≥ + +
Ví dụ 21: [ĐVH] Cho 3 số thực dương a, b, c CMR: a3 +b3+c3 ≥a2 bc +b2 ca +c2 ab
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số: 4 số a ,1 số 3 b và 1 số 3 c ta có: 3
bc a c b a c
b
a3 3 3 66 12 3 3 6 2
Tương tự: 4b3 +c3 +a3 ≥6b2 ca (2) ; 4c3 +a3+b3 ≥6c2 ab (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
6
ab c ca b bc a c b
a3 + 3+ 3 ≥ 2 + 2 + 2