LT GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG i đồ THỊ hàm số

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường:  Yêu cầu tìm được tọa độ giao điểm của hai đường có phương trình cho trước...  Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.. Ứng dụng tí

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ

KHẢO SÁT HÀM SỐ

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Dấu nhị thức bậc nhất:

 Dạng f(x) = ax+b (a0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax+b=0  Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a  0):

x - -

a

b +

ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a

2 Dấu tam thức bậc hai:

 Dạng f(x) = ax2+bx + c (a  0)

Nghiệm của tam thức là nghiệm phương trình ax2 +bx+c = 0

 Tính  = b2 - 4ac

 Nếu  < 0 thì: phương trình f(x) = 0 vô nghiệm và

x - +

f(x) cùng dấu với a

 Nếu  = 0 thì: phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép x =

-a

b

2 và

x 

-a

b

2 +

f(x) cùng dấu với a 0 cùng dấu với a

 Nếu  > 0 thì: phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 (x1 < x2) và

x - x1 x2 +

f(x) cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a

* Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ' nếu hệ số b chẵn

3 Xét dấu biểu thức và giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình một ẩn:

Yêu cầu sử dụng thành thạo bảng xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai Giải được bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình một ẩn

4 Dấu các nghiệm phương trình bậc hai:

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (*) ( = b2 - 4ac)

Phương trình (*) có hai

nghiệm trái dấu (x1<0< x2)

khi và chỉ khi: P=

a

c < 0

Phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt (x1 < x2 < 0) khi và chỉ khi:

































0 0 0 0

a

b S a

c P a

Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt (0 < x1 < x2 ) khi và chỉ khi:

































0 0 0 0

a

b S a

c P a

5 Điều kiện không đổi dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0)

a) f(x)  0 x  R 











 0

0

a

; b) f(x)  0 x  R 











 0

0

a

6 Chia đa thức:

Yêu cầu biễu diễn

) (

) ( ) ( ) (

) (

x g

x r x k x g

x

f   (với f(x) là đa thức có bậc lớn hoặc bằng bậc của g(x)), trong đó k(x) là thương và r(x) là dư trong phép chia

) (

) (

x g

x

f

7 Các khái niệm liên quan đến hàm số:

Hàm số cho bởi biểu thức được kí hiệu y = f(x) với f(x) là một biểu thức chứa biến x

 Tập xác định của hàm số: D = {x  R  f(x) có

nghĩa}

 Giá trị của hàm số y = f(x) tại x0 là y0 = f(x0)

y

5

2

y = f x( ) = x2 + 1

8 Tính giới hạn:

Yêu cầu tính được các giới hạn dạng:lim ( )

0

x f

x

x  , lim ( )

0

x f

x

x  , lim f(x)

x 

9 Đạo hàm:

a) Các phép toán:

Giả sử u=u(x), v=v(x), w=w(x) là các hàm số có đạo hàm, khi đó:

(u+ u - w)' = u' + v' - w'; (uv)' = u'v + v'u; (k.u)' = k.u' ;

2



 

 

 

v

b) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:

Đạo hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (C)' = 0

(x)' = x-1(  R, x > 0)

1 ( )'

2



x

x (x > 0)

2

1 )'

1

(

x

x   (x  0)

(u)' = u-1.u'(  R, u > 0)

u

u u

2

' )' (  (u > 0)

2

' )'

1 (

u

u

u   (u  0) (sinx)' = cosx

(cosx)' = -sinx

(tanx)' =

x

2 cos

1 (x   k

2 , k  Z) (cotx)' =

-x

2 sin

1 (x  k, k  Z)

(sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u' (tanu)' =

u

u

2 cos

' (u   k

2 , k  Z) (cotu)' =

-u

u

2 sin ' (u  k, k  Z)

c) Một số công thức tính đạo hàm đặc biệt:

 (

d cx

b ax



) (cx d

bc ad





) (

2 )'

(

e dx

dc be aex adx

e dx

c bx ax

















) (

) (

2 ) (

)' (

f ex dx

ec bf x dc af x

bd ae f

ex dx

c bx ax

























d) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) là f'(x0) và phương trình tiếp tuyến tại M(x0; y0) có dạng: y - y0 = f'(x0)(x-x0)

10 Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y = ax + b & y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0):

 Yêu cầu lập được bảng biến thiên và vẽ được đồ thị các hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai

11 Tìm tọa độ giao điểm của hai đường:

 Yêu cầu tìm được tọa độ giao điểm của hai đường có phương trình cho trước

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

1) Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K = (a; b) hoặc K = [a; b) hoặc K = (a; b] hoặc K = [a; b])

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K

nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K sao cho:

x1 < x2  f(x1) < f(x2)

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K sao cho:

x1 < x2  f(x1) > f(x2)

Bảng biến thiên:

x a b



b

xlim

y



a

xlim

O

y

x

b a

Bảng biến thiên:

x a b



a

xlim

y



b

xlim

O

y

x

b a

Đồ thị hàm số đồng biến

là đường đi lên từ trái sang phải

Đồ thị hàm số nghịch biến là đường đi xuống từ trái sang phải

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:

Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f'(x) > 0 x  K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

b) Nếu f'(x) < 0 x  K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

* Hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K gọi chung là đơn điệu trên K, K gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x)

Định lí mở rộng:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K Nếu f'(x)  0 (f'(x)  0), x  K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x 0 thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K

 Nếu f'(x) = 0 x  K thì f(x) không đổi trên K (hay hàm số y = f(x) là hàm hằng y = c trên K)

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

II QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x)

 Trình bày bài

 Tìm tập xác định D của hàm số (D = {x  R  f(x) có nghĩa})

 Tính đạo hàm f'(x) Cho f'(x) = 0, tìm các điểm xi (i = 1, 2, , n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

 Lập bảng biến thiên (lưu ý sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần trên bảng biến thiên)

 Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

2 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

1 Đinh nghĩa:

Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)

Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)

2 Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

3 Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f(x) 0, xI (f(x)=0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I b) Nếu f(x)0, xI (f(x)=0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I c) Nếu f(x)=0, xI thì f không đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số

– Tính y Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)

– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số y f x m ( , ), m là tham số, có tập xác định D

 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D

 Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D

Từ đó suy ra điều kiện của m

Chú ý:

1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm

2) Nếu y' ax2bx c thì:



0 0 ' 0,

0 0

a b c

a

  



 

    

 



 

 



0 0 ' 0,

0 0

a b c

a

  



 

    

 



 

 

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( ) ax2 bx c :

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

2

b a

 )

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a

4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai g x( ) ax2 bx c với số 0:

0

x x P

S

 



   

 





0

x x P

S

 



   

 





 x1  0 x2  P 0

5) Để hàm số y ax 3 bx2 cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:

 Tính y

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:   a 00 (1)

 Biến đổi x1x2 d thành 2 2

(x x )  4x x d (2)

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m

 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

 Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ,  ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định

 Xét dấu f (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến

 Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b) Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b)

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

 Chọn được nghiệm x 0 của phương trình

 Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ) Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x 0 Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -; b là +) và điểm x0  (a; b)

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x  (x0 - h; x0 + h) và x  x0

thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x  (x0 - h; x0 + h) và x  x0

thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0

* Chú ý:

a) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), còn điểm M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số

b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số c) Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực trị tại x0 thì f'(x0)=0

II ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ:

Định lí: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x 0 - h; x 0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x 0 }, h > 0

a) Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x 0 - h; x 0 ) và f'(x) < 0 trên khoảng (x 0 ; x 0 + h) thì x 0

là một điểm cực đại của hàm số f(x)

b) Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x 0 - h; x 0 ) và f'(x) > 0 trên khoảng (x 0 ; x 0 + h) thì x 0

là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ:

 Tìm tập xác định

 Tính f'(x) Tìm các điểm x sao cho tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định

 Lập bảng biến thiên

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

x x0 - h x0 x0 + h

f'(x

) + 0 -

f(x)

yCĐ

x x0 - h x0 x0 + h f'(x) - 0 +

f(x)

yCT

"Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm" "Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương"

Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x 0 - h; x 0 + h), với h > 0 Khi đó:

a) Nếu









 0 ) ( ''

0 ) ( '

0

0

x f

x

f thì x 0 là điểm cực tiểu

b) Nếu









 0 ) ( ''

0 ) ( '

0

0

x f

x

f thì x 0 là điểm cực đại

Quy tắc 2:

 Tìm tập xác định

 Tính f'(x) Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu xi (i = 1, 2, .) là các nghiệm của nó

 Tính f''(x) và tính f''(xi)

 Dựa vào dấu của f''(xi) để suy ra tính chất cực trị của điểm xi

I Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D  R) và x0  D

a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

III Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0

b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1

 Tìm f (x)

 Tìm các điểm x i (i =1,2 ,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

 Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2

 Tính f (x)

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …)

 Tính f (x) và f (x i ) (i = 1, 2, …)

Nếu f (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x 0

Chú ý:

 Hàm số bậc ba y ax 3 bx2 cx d có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt

Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

( )

y x ax bx cx d

+ y x( )0  Ax0B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y

 Hàm số 2

' '

ax bx c y

a x b

 



 = ( )

( )

P x

Q x (aa 0) có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt khác '

'

b a

 Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

0

0

( ) ( )

( )

P x

y x

Q x

0

0

'( ) ( )

'( )

P x

y x

Q x



 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai

 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba y f x ( ) ax3 bx2 cx d

 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B

 Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:

( ) ( )

y f x Ax B

y f x Ax B



 Các điểm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B

2) Hàm số phân thức ( ) ( ) 2

( )

P x ax bx c

y f x

Q x dx e

 



 Giả sử (x 0 ; y 0 ) là điểm cực trị thì 0

0

0

'( ) '( )

P x y

Q x

 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là: '( ) 2

'( )

P x ax b y

Q x d

