02 giải tích 12 chương II hàm mũ lôgarit

HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT §1.. + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương... Giải tích 12 www.vmathlish.com+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một că

CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

§1 LŨY THỪA

1 Định nghĩa luỹ thừa

a    1

),

2 Tính chất của luỹ thừa

 Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

a b

a ab a

a a

a

a a

(

;)

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

3 Định nghĩa và tính chất của căn thức

 Căn bậc n của a là số b sao cho b n a

n m   ; Đặc biệt n amn a m

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n an b

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n an b

Chú ý:

Giải tích 12 www.vmathlish.com

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n a

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau

4 Công thức lãi kép

Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì

Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C A (1 )r N

Câu 1 Thực hiện các phép tính sau::

a b c b c a

a b c bc

4 và 0,125  g)   3   5

 = n (n nguyên âm hoặc n = 0) y x n D = R \ {0}

 là số thực không nguyên y x  D = (0; +)

Chú ý: Hàm số

với x nếu n chẵn

x với x nếu n lẻ

x x

x x

2

x x

x x

lim

x x

x x

x x

x x

3

x x

e x

e e x





 k)

x x y

x





 g) 3sin 3

x x y

Giải tích 12 www.vmathlish.com

a) y(x22x2)e x b) y(x22 )x ex c) y e 2x.sinx

d) y e 2x x 2 e)

1 3

Câu 4 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) yln(2x2 x 3) b) ylog (cos )2 x c) y e x.ln(cos )x

§3 LƠGARIT

1 Định nghĩa

 Với a > 0, a  1, b > 0 ta có: log a b  a b

Chú ý: loga b có nghĩa khi 0, 1

 Logarit thập phân: lgblogblog10b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnbloge b (với lim 1 1 2,718281

 Cho a > 0, a  1, b, c > 0 Khi đó:

+ Nếu a > 1 thì loga bloga c b c

+ Nếu 0 < a < 1 thì loga bloga c b c

3 Các qui tắc tính logarit

4 Đổi cơ số

Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có:

Giải tích 12 www.vmathlish.com

q) lg(tan1 ) lg(tan2 ) lg(tan89 )0  0   0

r) log log (log 16) log log (log 64)8 4 2  2 3 4 

Câu 2 Cho a > 0, a  1 Chứng minh: log (a a 1) log (a1 a2)

Câu 3 So sánh các cặp số sau:

a) log 4 và log3 41

1 log

Câu 4 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 14 a2  Tính log 3249 theo a

b) Cho log 3 a15  Tính log 1525 theo a

c) Cho log3 0,477 Tính log 9000; log 0,000027 ;

Câu 5 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 7 a25  ; log 5 b2  Tính 3 5

49log

8 theo a, b

b) Cho log 3 a30  ; log 5 b30  Tính log 135030 theo a, b

c) Cho log 7 a14  ; log 5 b14  Tính log 2835 theo a, b

d) Cho log 3 a2  ; log 5 b3  ; log 2 c7  Tính log14063 theo a, b, c

Câu 6 Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa):

l) log log log

loga b logb c loga c





 , với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

www.vmathlish.com

www.facebook.com / Van Luc 168

VanLucNN

 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

 Đồ thị:

2 Hàm số logarit yloga x (a > 0, a  1)

 Tập xác định: D = (0; +)

 Tập giá trị: T = R

 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

Câu 1 Tính các giới hạn sau:

a) lim

1

x x

x x

x x

2

x x

x x

lim

x x

x x

x x

x x

3

x x

e x

e e x





 k)

x x y

x





 g) 3sin 3

x x y

Câu 4 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) yln(2x2 x 3) b) ylog (cos )2 x c) y e x.ln(cos )x

2 Một số phương pháp giải phương trình mũ

a) Đưa về cùng cơ số:

b , rồi đặt ẩn phụ

( )

f x

a t b

 Đoán nhận x 0 là một nghiệm của (1)

 Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x 0 là nghiệm duy nhất: ( ) đồng biến và ( ) nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt)

( ) đơn điệu và ( ) hằng số

 Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f u( ) f v( ) u v

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

 Phương trình tích A.B = 0  0

0

A B

 

 

  Phương trình A2B2    0  B A 00

f) Phương pháp đối lập

Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

g) 6.9 13.6 6.4 0

1 1

141015

e) 4x23x2 4x26x5 42.x23x7 1 f) 4x2x 21x2 2x12 1

g) x2.3x 3 (12 7 )x  x   x3 8x219x12 h) x2.3x1x(3x2 ) 2(2x  x3 )x1

i) 4sinx 21 sin xcos( ) 2xy  y 0 k) 22(x x2 )21x222(x x2 ) 1.2x2  1 0

Câu 9 Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

a) 2x  cos ,x4 với x  0 b) 3x2 6 10x  x26x6 c) 3sin x  cosx

m có 2 nghiệm dương phân biệt

b) 16xm.8x(2m1).4x m.2x có 3 nghiệm phân biệt

c) 4x22x2 2 6 m có 3 nghiệm phân biệt

d) 9x24.3x2  8 m có 3 nghiệm phân biệt

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Phương trình logarit cơ bản

Với a > 0, a  1: loga x b  x a b

2 Một số phương pháp giải phương trình logarit

a) Đưa về cùng cơ số

Với a > 0, a  1: log ( ) log ( )a f x  a g x  f x f x( )( ) 0 (g x( )hoặc g x( ) 0)



b) Mũ hoá

Với a > 0, a  1: log ( ) log ( )a f x b

c) Đặt ẩn phụ

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

e) Đưa về phương trình đặc biệt

f) Phương pháp đối lập

Chú ý:

 Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa

 Với a, b, c > 0 và a, b, c  1: alogb c clogb a

Câu 14 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

c) log (2 x 2) 6.log1/8 3x 5 2 d) log (2 x 3) log (2 x 1) 3

e) log (4 x 3) log (4 x  1) 2 log 84 f) lg(x 2) lg(x  3) 1 lg5

3

x  x  h) lg 5x 4 lg x  1 2 lg0,18

i) log (3 x2 6) log (3 x 2) 1 k) log (2 x 3) log (2 x 1) 1/ log 25

n) log (2 x 1) log (2 x 3) log 10 12  o) log (9 x 8) log (3 x26) 2 0 

Câu 15 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log3xlog 3 xlog1/3x6 b) 1 lg( x22x 1) lg(x2 1) 2lg(1x)

c) log4xlog1/16xlog8x5 d) 2 lg(4 x24x 1) lg(x219) 2lg(1 2 )  x

e) log2xlog4xlog8x11 f) log (1/2 x 1) log (1/2 x  1) 1 log1/ 2(7x)

i) log log2 3xlog log3 2xlog log3 3x k) log log log2 3 4xlog log log4 3 2x

Câu 16 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log (9 2 ) 32  x  x b) log (33 x  8) 2 x c) log (6 7 ) 17  x  x

d) log (4.33 x1 1) 2x1 e) log (3 ) 5

2

log (9 2 ) 5 x  x f)log (3.22 x  1) 2x 1 0 g) log (12 2 ) 52  x  x h) log (26 3 ) 25  x  i) log (52 x 125 ) 2x 

k) log (3.24 x 1 5) x l) 1 1

6

5log (6x 36 )x  2

Câu 17 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log5 x(x22x65) 2 b) logx 1 (x24x 5) 1 c) log (5x x28x 3) 2

d) log (2x1 x32x23x 1) 3 e) logx 3 (x 1) 2 f) log (x x2) 2

g) log (2x x25x 6) 2 h) logx3(x2x) 1 i) log (2x x27x12) 2

k) log (2x x23x 4) 2 l) log (2x x25x 6) 2 m) log (x x2 2) 1

n) log3 5x  (9x28x 2) 2 o) log2 4x  (x2 1) 1 p) log 15 2

1 2

q) log (3 2 ) 1x2  x  r) logx2 3x(x 3) 1 s) log (2x x25x 4) 2

Câu 18 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log23x log23x  1 5 0 b) log22 x3log2xlog1/2x2

Giải tích 12 www.vmathlish.com

p) log (222  x) 8log (21/4 x) 5 q) log25x4log 525 x 5 0

Câu 19 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) 2

3 3

(x2) log (x 1) 4(x1) log (x 1) 160 f) log (2x2  x) log 2x x2

g) log (23 x  1) (x 5)log (3 x 1) 2x 6 0 h) 4 log3x 1 log3 x 4

i) log (2 x23x 2) log (2 x27x12) 3 log 3  2

Câu 20 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log7xlog (3 x2) b) log (2 x 3) log (3 x2) 2

g) xlog 9 2 x2.3log 2xxlog 3 2

h) log3 7x (9 12 x4 ) logx2  2 3x (6x223x21) 4

i) log2x x2 1 log 3x x2  1 log6x x2 1

Câu 21 Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

e) log (2 x2   x 6) x log (2 x 2) 4 f) x2.3log 2x 3

g) 4(x2) log ( 2 x 3) log (3 x2)15(x1)

Câu 22 Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):

a) log2x2.log7x 2 log log2x 7x b) log log2x 3x 3 3.log3xlog2x

c) 2 log 9x2 log log3x 3 2x 1 1  

Câu 23 Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

Câu 24 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a) log2 3 x22(m1)xlog2 3 (2x m  2) 0 b) log 2x2log2 mx

e) log (3 x24 ) log (2mx  3 x2m1)

f) log2 2 7(x m  1) log2 2 7(mx x 2) 0

Câu 25 Tìm m để các phương trình sau:

a) log24xm x 1 có 2 nghiệm phân biệt

e) 4 log 2 x2 log2x m  0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

www.vmathlish.com

www.facebook.com / Van Luc 168

VanLucNN

 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

– Đưa về cùng cơ số

– Đặt ẩn phụ

6 x  x x g) 4x2x.2x213.2x2 x2.2x28x12 h) 6 2 3 31 2.3 2 3 9

x x x

23

23

x x

Giải tích 12 www.vmathlish.com

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

 Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit

1( ) ( ) 0log ( ) log ( )

 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:

– Đưa về cùng cơ số

– Đặt ẩn phụ

Câu 1 Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):

a) log5(12x)1log 5(x1) b) log 1 2 log2  9x1

2log x x 5x6 1

Câu 3 Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):

c) 2 log5xlog 125 1x  d) log 64 log 16 32x  x2 

e) log 2.log 2.log 4x 2x 2 x1 f) 21 1 2

2log

4

1

2 2





2 16

1log 2.log 2

Câu 4 Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a) ( x 1)log 20,5x(2x5)log0,5x 6 0 b) log2(2x1)log3(4x2)2

x x x

log ( 5) 0logy x (4 ) 0

y x