Tài liệu tích phân ôn thi đh

CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC A.. NGUYÊN HÀM Tích phân bất định 1... TÍCH PHÂN Tích phân xác định 1... Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường

CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC

A NGUYÊN HÀM ( Tích phân bất định )

1 Khái niệm

Định nghĩa Cho hàm số f x( ) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng)

Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K, nếu F x'( )  f x( ) , với mọi xK

Định lý Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng K Khi đó

a Với mỗi hằng số C, hàm số G x( ) F x( ) C cũng là một nguyên hàm của f x( )

b Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f x( ) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C

c Họ tất cả các nguyên hàm của f x( ) là  f x dx( ) F x( ) C, trong đó F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) , C là hằng số bất kỳ

cos sin

C x

sin cos

C x dx

ax a dx b ax

C e

a dx

e axb  axb 

a dx b

a dx b

C u

C e du

u u

C u

cos sin

C u

sin cos

C u du

cos

1 2

C u du

sin 1 2

B TÍCH PHÂN ( Tích phân xác định )

1 Định nghĩa Cho hàm f x( ) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K

Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) thì hiệu số F b( ) F a( ) được gọi là tích phân của f x( ) từ a đến b và ký hiệu là ( )

1 Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên  a b; thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số y f x( ) , trục hoành và hai đường thẳng xa x, b là ( )

Hàm số y f x( ) liên tục và không âm trên  a b; Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y f x( ) , trục hoành và hai đường thẳng xa x, b quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay Thể tích V được tính bởi công thức 2

( )

b

a

V  f x dx Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số xg y( ) , trục tung và hai đường thẳng

Xác định bậc của tử thức và mẫu thức nếu :

- Tử ≥ mẫu  Ta thực hiện phép chia đa thức

- Tử < mẫu  Ta thực hiện phép phân tích mẫu thức

Gọi hệ số α , β ( nếu cần ) rồi quy đồng mẫu thức thực hiện phép Đồng nhất hệ số tìm α , β

Tách biểu thức thành các dạng cơ bản có trong bản nguyên hàm hoặc sử dụng các phép đổi biến số để thực hiện tiếp yêu cầu

Ví dụ minh họa

TÍCH PHÂN HỮU TỶ

( 1) (2 1)

101 0

1 (1 )

(1 )

1 1

1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1

2 2

1

1 1 1

1 1

1

1 1

1 1 1

t a

1 3

0

2 1

t t

2 2 4 2 2

1 1

3 1

3

4



Câu 34 x

x

8 2 3

1 1

0 2( 1) 

4 1

3

1 3

1 15 ln

4 7 4

1 1

2 ( 1)

2 ( 1) ( 1)

1 1



x

3 2

1 1

3

7

3 2

3 0

t t

t t

2 3

1 1

1 1

3 2

 = x dx

2 4 1

2 2

Câu 56 I x dx

3

2 2

 vì  2;3     1;1

a)

2 0



2

1 ln

sin cos

Câu 60 x x

2 8cos sin2 3 sin cos

sin cos 4(sin cos sin cos

8 sin2 cos2 2

1 4 2sin

Câu 68

2

2 0

4sin 4sin (1 cos )

4sin 4sin cos 4sin 2sin2

3 0

dx x

x x

dx

cos 2 sin

8 cos cos sin

Chú ý: t

x

t2

2 sin2

2 1

1 1

0

sin cos 2

1

ln2 8

1 2

2

3 1

2  = 1e 1

2 

Câu 83 I 2sinx sin2x 1dx

2 6

sin4 3

1

2 1 3

sin sin 3 cos

2 3

sin 1 cos cos

2 0

sin (sin cos )

7sin 5cos (sin cos )

3sin 2cos (sin cos )

(cos sin ) (cos sin )

0

cos sin cos sin

0

1

tan (cos ) cos (sin )

0

1

tan (sin ) cos (cos )

0

1

tan (sin ) cos (cos )

cos (sin ) cos (cos )

sin cos 3 sin

sin

cos 3 sin

3

( sin )sin sin sin

1 3

3 2

0 0

cot 2

sin 5sin cos 2cos

Câu 103 xdx

I

2 4

4 2 4

sin cos (tan 2tan 5)

6

sin sin3

2

ln(2 3) 1

1 1

tan cos 1 cos









cos2 (cos sin 3)

2 0

 Ta có:

2 6

2 0

tan 1 (tan 1)

2 0

0

tan cos 2

ln

1 0

3 3

8 4

1 sin cos cos



x x

8 4

cos cos sin

( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin

cos I

1 ln( 15 4) ln( 3 2) 2

3 cos 2

1 0

4

ln 3 4

tan cos 1 cos

Đặt u x du dx

x

2

1 tan

cos

u

1 2 1 3

2 2

2 0

arctan 2

Câu 1

x x

.( 1) 1

Câu 7

dx I

e

3ln2

2 3

e dx I

3 1



t

1 3 0

2 1 1

0

(  2 ) + t t

1 2

0

2ln(   1) = 2ln3 1

8 ln

Câu 14

x x

 Ta có:

x

dx I

1 2 0

3 2

3 2 2 1

1 2

e

Câu 31 I e inx xdx

2

s 0

8 3

 Lấy tích phân từng phần 2 lần được I2 e 2

x dx

dv

v x

1 1 2

1

2 ln( 1)

x x

2

2 1

v x

2 1

2 0

1 ln  

dv x dx

2 2

ln ( 1)

1 2 1

ln 1

3

2

 

2 1

 I t dt t t

t

2 2

2

6 6

cos

( cot ) sin

0

1 4

1 ( 1)

1

44 5

2 9

sin cos

x x

2

cos cos

ln(5  )

dx dv

2

2 0

 Ta có: I xdx

x x

2 3 1

cos sin

x

2

1 2sin

2

4 4

sin cos

I 2 

0

2

2 sin 1

) sin (

(cos cos sin )

( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin



Câu 64 x x x x

2 3

2 3

( sin )sin (1 sin )sin

2 2

2 0

1 2 cos 2

v x

0

tan 2

cos (1 sin2 )

4 6

xdx I

1 sin sin

1 1

1 1

Câu 76 Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x( )   f( x) cos4x với mọi x R

3 2

sin 1

cos

cos ( sin cos )

2

cos 1 sin cos