Chương 7 Tích phân 7.1 Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số Fx là một nguyên hàm của hàm số f x Cho hàm số f xác định trên K... Về việc chọn u, v như thế
Trang 1Chương 7
Tích phân
7.1 Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm
Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x)
Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu F′(x) = f (x) với mọi x ∈ K
Bài 7.1 : 1 Chứng minh rằng
F(x) = 4 sin x + (4x + 5)ex + 1
là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 4 cos x + (4x + 9)ex.
2 Chứng minh rằng hàm số F(x) = |x| − ln(1 + |x|) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x
1 + |x|
3 Chứng minh rằng
F(x) =
8
>
:
x2
2 ln x − x
2
4 + 1 khix > 0
là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
8
<
:
x ln x khix > 0
0 khix = 0 trên [0; +∞).
Bài 7.2 : Xác định các hệ số a, b, c để hàm số F(x) = (ax2 + bx + c) √
3 − 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
x √
3 − 2x.
Bài 7.3 : 1 Tìm m để hàm số F(x) = ln(x2 + 2mx + 4) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x − 3
x2 − 3x + 4
2 Cho hàm số f (x) = −xex và F(x) = (ax + b)ex Với giá trị nào của a và b thì F(x) là một nguyên hàm của f (x).
Vấn đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
Ta có bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản sau
149
Trang 2R
1 0 dx = C;R
dx =R
1 dx = x + C;
R
2 xαdx = xα+1
α + 1
R
+ C; (ax + b)αdx = 1
a.
(ax + b)α+1
α + 1 + C
(với α , −1, a , 0);
R
3 1
x dx = ln |x|+C;R 1
ax + b dx =1
a ln |ax +b|+C (a , 0);
R
4 Với a là hằng số khác 0
R
R
(c) e (ax+b) dx = e (ax+b)
a + C;
R
(d) αx dx = αx
ln α+ C (với 0 < α , 1);
(a) 1
cos2 x dx = tan x + C;
R
(b) 1
sin2 x dx = − cot x + C.
Bài 7.4 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
1 x +√√3x + 1
x ;
2 √x + 1
x −√x
+ 1 ;
sin2 x cos2 x;
sin x + cos x;
5 x3 + 1
1 − x2;
(1 + x)(1 − 2x);
7 2x − 1
e x ;
8 e3−2x;
9 x(x + 1)(x + 2);
10 √1
x − √13x;
11 1 − x2
x
2
;
12 3x2 + 3x + 3
x3 − 3x + 2 ;
13 1
x(1 + x)2 ;
14 x4 − 2
x3 − x;
15 sin x −
π
4 (1 + sin 2x);
16 sin x sin 2x cos 5x;
17 sin6
x + cos6 x;
18 √ 1
2 + sin x − cos x;
19 sin x cos2 x
Vấn đề 3 :Tìm hằng số C
Bài 7.5 : 1 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = x3+ 3x2 + 3x − 1
x2 + 2x + 1 , biết rằng F(1) = 1
3
2 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 1 + sin x
1 + cos x , biết rằng F(0) = 2.
Bài 7.6 : Tìm các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau :
1 f ′(x) = 2x + 1, đồ thị của nó đi qua điểm (1; 5); 2 f ′(x) = 2 − x2 và f (2) = 7
3
Bài 7.7 : Tìm hàm số y = f (x) có đồ thị đi qua điểm (−1; 2) và thỏa mãn f ′(x) = ax + b
x2 , ở đây f (1) = 4 và f ′(1) = 0
Vấn đề 4 :Phương pháp nguyên hàm từng phần
Công thức
Z
u dv = uv −
Z
v du.
Về việc chọn u, v như thế nào chúng ta xem phần phương pháp tích phân từng phần.
Bài 7.8 : Tính các nguyên hàm sau :
Trang 3R
R
R
R
R
1 (1 − 2x)e 3x dx;
2 (x2 + 2x − 1)e x dx;
3 x sin(2x + 1) dx;
4 (x2 − 1) sin x dx;
5 x ln(1 − x) dx;
6 √x ln2 x dx;
7 e x cos x dx;
R
R
R
R
R
8 e x sin x dx;
9 e 3x sin 5x dx;
10 e 3x cos 7x dx;
11 xe x cos x dx;
13 x sin x
2 dx;
14 x2 cos x dx;
R
R
R
15 √x ln x dx;
16 x2e x dx;
17 3x cos x dx;
18 xe x sin 2x dx;
19 1
R
+ sin x
1 + cos x e
x dx;
1 + x2 dx;
R
22 x ln 1 + x
1 − x dx;
R
R
R
R
24 x cos x
sin2 x dx;
25 x2 x dx;
26 xe −x dx;
27 25e 3x cos 4x dx.
Vấn đề 5 :Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và hàm số f (u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên [a; b] Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f , tứcR
f (u) du = F(u) + C thì
Z
R
f [u(x)] u′(x) dx = F [u(x)] + C.
Việc chọn u = u(x) như thế nào chúng ta xem thêm phần đổi biến tích phân.
Bài 7.9 : Tìm các nguyên hàm sau :
1 2(4x − 1)6 dx;
2 7
4 − 3x dx;
R
R
3 √ 3
2x + 1 dx;
4 e −4x + 5
R
√
3x + 2 dx;
5 cos π
6x + 5
dx;
R
R
6 (2x + 1)4 dx;
7 2x(x2 + 1)3 dx;
8 √ x2
x3 − 4
R
R
dx;
9 x √
x − 1 dx;
10 2x √
x2 + 1 dx;
R
R
R
R
R
R
11 3x2 √
x3 + 1 dx;
12 2x3 √
4 − x4 dx;
13 3x2
x3 + 1 dx;
(3x2 + 9)4 dx;
15 2x √
e x2 +4 dx;
x2 + 4x − 5
R
R
R
dx;
17 x √3
2 − t2 dx;
18 cos xe sin x dx;
19 e x
e x + 1 dx;
20 cos x sin4 x dx;
21 x √
x + 1 dx;
R
R
R
R
R
1 + sin x dx;
23 x
x2 + 4 dx;
24 (x + 1) √x − 1 dx;
sin2 x dx;
26 4x
(1 − 2x2)dx;
R
27 4x
(1 − 2x2)2 dx;
R
R
R
28 ln x
x dx;
29 e −x
1 + e −x dx;
30 1
x ln x dx.
R
R
R
Bài 7.10 : Tính các nguyên hàm sau :
1 (2x + 1)20 dx;
2 x
x2 + 1 dx;
3 x2 √
x3 + 5 dx;
4 e 3 cos x sin x dx;
5 ln4 x
x dx;
R
R
R
6 √e 2x
e x + 1 dx;
7 3x √
7 − 3x2 dx;
8 √9x2
1 − x3 dx;
R
9 √ 1
x(1 +√
x)3 dx;
R
R
R
10 √ x
2x + 3 dx;
(1 + x2)2 dx;
12 dx
e x − e −x;
R
13 ln2 x
x dx;
Trang 414 R
3
√
1 + ln x
x dx;
R
R
15 cos x sin3 x dx;
sin x − cos x dx;
R
a2 sin2 x + b2 cos2 x
, (a2 ,b2);
R
R
cos x sin2 x;
19 x √
1 + x2 dx;
R
R
R
20 sin2 x cos3 x dx;
21 e 3 sin x cos x dx;
22 (3x + 2)10 dx.
R
R
Bài 7.11 : Tính các nguyên hàm sau :
1 x3e −x2 dx;
2 sin √
x dx;
x dx;
R
4 cos2(ln x) dx;
5 e√x dx;
R
R
7 cos2 √x dx;
ln2 x −ln x 1
dx;
R
9 x cos x
sin2 x dx;
10 sin √
x + 1 dx;
R
R
cos2 x dx;
12 sin5 x
3 cos
x
3 dx;
R
13 1
x2 sin1
x cos
1
x dx;
R
3 + 5 cos x;
R
R
sin x + cos x;
8 − 4 sin x
R
+ 7 cos x;
sin x + 2 cos x + 2 dx.
7.2 Các dạng toán tích phân
Vấn đề 1 :Sử dụng tích phân cơ bản
Nếu F là một nguyên hàm là một nguyên hàm của f trên [a; b] thì
Z
b
a
f (x) dx = F(x)
b
a = F(b) − F(a).
Bài 7.12 : Tính các tích phân sau :
1 R
2
0
x(x + 1)2 dx;
2
π
R
0
(2 cos x − sin 2x) dx;
3 R
2
1
1
x(x + 1) dx;
4 R
ln 2
0
e 2x+1 + 1
e x dx;
5
π R
0
+ cos x dx;
6
π R
0
(sin 6x sin 2x − 6) dx;
7 R
8
1
3 √3
x2
dx;
8 R
1
0
3x − e x4
dx;
9 R
4 1
dx
x2(x + 1);
10 R π
π
sin3 x
1 − cos x dx;
11 R
2 0
√
x3 − 2x2+ x dx;
12 R π
π
dx
sin2 x cos2 x;
13
π R
0
dx
(1 + tan2 x) cos4 x ;
14 R π
− π
cos2 2x dx;
15 R π
− π
sin 2x sin 6x dx;
16
π R
0
tan x dx.
Vấn đề 2 :Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối
1 Công thức tách cận tích phân
Z
b
a
f (x) dx =
Z
c
a
f (x) dx +
Z
b
c
f (x) dx.
2 Tích phân chứa dấu trị tuyệt đốiR
b
a | f (x)| dx (giả sử a > b).
(a) Giải phương trình f (x) = 0, được các nghiệm x i ∈ [a; b], giả sử a ≤ x1 <x2 <· · · < x n ≤ b.
Trang 5(b) Dùng công thức tách cận
b
Z
a
| f (x)| dx =
Z
x1
a
| f (x)| dx +
Z
x2
x1
| f (x)| dx + · · · +
Z
b
x n
| f (x)| dx
=
Z
x1
a
f (x) dx +
Z
x2
x1
f (x) dx + · · · +
Z
b
x n
f (x) dx
Chú ý : Sau khi tách cận chúng ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối chứ không nhất thiết phải đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân.
Bài 7.13 : 1 ChoR
5
0
f (t) dt = −3 vàR
7
0
f (u) du = 4, tínhR
7
5
f (x) dx.
2 Xác định hàm số f (x) = A sin πx + B, biết rằng f ′(1) = 2 và
R
2
0
f (x) dx = 4.
Bài 7.14 : 1 Cho hàm số f (x) = a.3 x
+ b, biết rằng f ′(0) = 2 và
R
2
1
f (x) dx = 12 Tìm các giá trị của a và b.
2 Cho hàm số f (x) = a sin 2x + b, biết rằng f ′(0) = 4 và
R
2π
0
f (x) dx = 3 Tìm các giá trị của a và b.
Bài 7.15 : 1 ChoR
4
0
f (x) dx = 1 vàR
6
0
f (t) dt = 5 Tính tích phân I =R
6
4
f (x) dx.
2 Cho a ∈
π
2;
3π
2 và thoả mãnR
1
0
cos(x + a2) dx = sin a Tính giá trị của a.
Bài 7.16 : Tính các tích phân sau :
1 R
2
0
|1 − x| dx;
2 R
2
0 |x2 − x| dx;
3 R
2π
0
√
1 − cos 2x dx;
4 R
√
3
0
|1 − x2|
1 + x2 dx;
5 R
2
0 |x − 2| dx;
6 R
3
−3 |x2 − 1| dx;
7 R
4 1
√
x2 − 6x + 9 dx;
8 R
5
−2
(|x + 2| − |x − 2|) dx;
9 R
3 0
√
x3 − 4x2+ 4x dx;
10 R
2
0 |x2+ 2x − 3| dx;
11 R
3 0
|2x − 4| dx;
12 R
1
−1
√
4 − |x| dx;
13 R
π
−π
√
1 − sin x dx;
14 R π
π
√
tan2 x + cot2 x − 2 dx;
15 R
π
0
√
1 − sin 2x dx;
16 R
2π 0
√
1 + cos x dx;
17 R π
− π
cos x √
cos x − cos3 x dx;
18 R π
− π
2
| sin x| dx;
19 R
π
0
√
1 + cos 2x dx;
20 R
2π 0
√
1 + cos x dx.
Vấn đề 3 :Phương pháp tích phân từng phần
b
Z
a
u dv = uv
b
a−
b
Z
a
v du
Dùng phương pháp tích phân từng phần khi tích phân của chúng ta vừa chứa lẫn lộn các hàm : hàm đa thức, hàm mũ, hàm lôga (hoặc chỉ chứa hàm lôga), hàm lượng giác, hoặc chứa hàm vô tỉ
Nếu chứa lôga chúng ta thường đặt u là lôga và dv là phần còn lại hoặc đặt u là đa thức và dv là phần còn lại.
Chú ý :
• Tích phân I =R
e x sin x dx đặt u = e x và dv = sin x dx ;
• Trước khi dùng tích phân từng phần chúng ta phải kiểm tra xem có làm được bằng phương pháp đổi biến số không đã;
Trang 6• Một cách tổng quát, chúng ta đặt u là biểu thức dễ xác định đạo hàm, dv là phần còn lại dễ xác định nguyên hàm.
Bài 7.17 : Tính các tích phân sau :
1 R
ln 2
0
xe 2x dx;
2 R
1
0
(2x2+ x + 1)e x dx;
3
π
R
0
(1 − x) sin x cos x dx;
4
π
R
0
x sin x dx;
5 R 3
1
2x ln x dx;
6 R
e
1
x3 ln2 x dx;
7
π
R
0
e 2x sin 3x dx;
8 R
π
0
e x cos 2x dx;
9 R
1
0
(x2+ 1)e 2x dx;
10 R
1
0
(2x − 1)e −2x dx;
11 R
3 0
√
x + 1e√x+1 dx;
12 R
1
0
2√x dx;
13 R
π
0
(x2+ 2x + 3) cos x dx;
14
π R
0
(x − 1) sin x dx;
15
π R
0
x cos x sin2 x dx;
16 R π
π
x − sin x
1 + cos x dx;
17 R
5
2
2x ln(x − 1) dx;
18 R
e
1
x ln2 x dx;
19 R
1
0
x ln x
+ √
1 + x2 dx;
20 R
3
2
(ln(x − 1) − ln(x + 1)) dx;
21 R
π
0
e x cos2 x dx;
22 R
1
0
e x sin2(πx) dx;
23
π R
0
x2 cos x dx;
24
π R
0
(2 − x) sin x dx.
Vấn đề 4 :Phương pháp đổi biến số
R
1 Phương pháp đổi biến số đơn giản
(a) f (ax + b) dx = 1
a
R
f (ax + b) d(ax + b);
R
VD : (2x − 3)2 dx R
= 1
2 (2x − 3)2d(2x − 3) = 12(2x − 3)
3
Chú ý : d(ax + b) = a dx ⇒ dx = 1a d(ax + b).
R
(b) f (x n+1 )x n dx = 1
n + 1 f (x
n+1) d(x n+1), đặt t = x n+1;
VD : I = (4x3
+ 1)2x5 dx = (4x3
+ 1)2x3.x2 dx.
Đặt t = 4x3 + 1 ⇒ dt = 12x2 dx và x3 = 1 − t
4
Vậy I =R
t2 1 − t
4
3 dt
12 =· · ·
(c) Về cơ bản khi có căn chúng ta thường đặt t là toàn bộ căn, rồi lũy thừa hai vế cho mất căn; nếu biểu thức trong các hàm
sin, cos, tan, cot, ln hoặc lũy thừa là phức tạp thì ta thường đặt t là biểu thức phức tạp đó.
VD :
i I =R
x2 √
2x3 + 1 dx, đặt t = √
2x3 + 1 ⇒ t2
= 2x3 + 1 ⇒ 2t dt = 6x2 dx ⇒ x2 dx = t dt
3 , nên I =R
t t dt
3 =· · ·
ii I =R
x3.e x2 +1 dx, đặt t = x2 + 1 ⇒ dt = 2x dx và x2 = t − 1, nên I =R R
x2.e x2 +1x dx = (t − 1)e t dt
2 rồi dùng phương pháp nguyên hàm từng phần
iii I =R 1
x2 sin1
x cos
1
x dx, đặt t = 1
x ⇒ dt = − dx
x2 , nên I = R
− sin t cos t dt = −12
R
sin 2t dt.
2 Phương pháp đổi biến số tích phân lượng giác
Tích phân chỉ chứa các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot chúng ta biến đổi về một trong các dạng sau :
154
Trang 7R
(a) f (sin x) cos x dx, hàm f (sin x) là tính theo sin x (chú ý rằng cos2
x = 1 − sin2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn của cos x đều đưa được về sin x), đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx (tức là tích phân chứa sin x mũ lẻ).
R
(b) f (cos x) sin x dx, hàm f (cos x) là tính theo cos x (chú ý rằng sin2
x = 1 − cos2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn của sin x đều đưa được về cos x), đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x dx (tức là tích phân chứa cos x mũ lẻ).
R
(c) f (tan x) dx
cos2 x , đặt t = tan x ⇒ dt = cosdx2 x (tức là tích phân có lũy thừa của sin x và cos x cùng tính chẵn lẻ) Trường hợp đặc biệt, tích phân chứa tan x, sin 2x, cos 2x cũng đặt t = tan x, khi đó sin 2x = 2t
1 + t2 , cos 2x = 1 − t2
1 + t2
R
(d) f (cot x) dx
sin2 x , đặt t = cot x ⇒ dt = − dx
sin2 x
(e) Tích phân chứa (sin x + cos x) dx hoặc sin x +π
4
dx đặt t = sin x − cos x.
(f) Tích phân chứa (sin x − cos x) dx hoặc sin x −π
4
dx đặt t = sin x + cos x.
VD : I =R dx
R cos x dx
cos2 x =
1 − sin2 x cos x dx, đặt t = sin x.
3 Phương pháp đổi biến với tích phân chứa√ax2 + bx + c
(a) Nếu chứa √a2 − x2 đặt x = a sin t, −π2 ≤ t ≤ π2
(b) Nếu chứa √x2 − a2 đặt x = a
sin t,−π2 ≤ t ≤π2 và t , 0.
(c) Nếu chứa √x2 + a2 đặt x = a tan t, −π2 <t < π
2
VD :
(a) I =R dx
√
2 − x2, đặt x = √2 sin t (−π2 ≤ t ≤ π2 ) ⇒ dx = √2 cos t dt Ta được :
√
2 − x2= √
2 − 2 sin2
t = √
2 cos2 t = √
2 cos t , và I =R
√
2 cos t dt
√
R
dt = t + C.
(b) I =R √
x2 + 1 dx, đặt x = tan t,−π2 <t < π
2 , nên dx = dt
cos2 t và √x2+ 1 = 1
cos t Ta được :
I =
R dt
cos3 t =
R d(sin t)
(1 − sin2 t)2 =1
2
R
(sin t + 1) − (sin t − 1)
(sin t + 1)(sin t − 1)
2
d(sin t) = (c) I =R dx
√
x2 + a2 , đặt x = tan t và ta được I = ln |x + √x2 + a2| + C.
(d) Một cách tổng quát tích phân chứa sin x, cos x, tan x, cot x chúng ta đặt t = tan x
2
4 Phương pháp đổi biến với tích phân chỉ chứa hàm mũ
Ta đặt t là cả hàm mũ đó, chẳng hạn :
(a) I =R e x
e x + 1 dx, đặt t = e x
⇒ dt = e x dx = t dx ⇒ dx = dt t , vậy thì I =R t
t + 1
dt
t =
(b) J =R dx
2x + 1, đặt t = 2 x ⇒ dt = 2 x ln 2 dx = t ln 2 dx ⇒ dx = t ln 2 dt , vậy thì J =R
dt
t ln 2
t + 1 =
5 Phương pháp đổi biến tích phân chứa lôga và phân thức
I =
R
f (ln x) dx
x , đặt t = ln x, ta được dt = dx
x
VD : Tính I =R ln x + 1
x dx, đặt t = ln x + 1 ⇒ dt = dx x , vậy I =R
t dt.
Bài 7.18 : Tính các tích phân sau :
Trang 81
22
3
R
0
3
√
3x + 5 dx;
2 R
1
0
x3(1 + x4)3 dx;
3 R
1
0
x2e 3x3 dx;
4
π
R
0
sin x
1 + cos x dx;
5
a
R
0
dx
√
a2 − x2, (a > 0);
6 R
a
0
dx
a2 + x2 , (a > 0);
7 R
1
0
dx
x2 + x + 1;
8 R
2
1
x(1 − x)5 dx;
9 R 1
0
x3 + 2x2 + 10x + 1
x2 + 2x + 9 dx;
10
π
R
0
x + 1
3
√
3x + 1 dx;
11 R
√
3
0
x5√
1 + x2 dx;
12
π R
0
sin 2x dx
4 − cos2 x;
13 R
2 1
2x
√
1 + x2 dx;
14 R
e
1
ln2 x
x dx;
15 R
ln 2 0
√
e x − 1 dx;
16 R
e
1
√
1 + ln x
x dx;
17 R
8 3
√
1 + x
x dx;
18 R
1
0
x2√
2 − x2 dx;
19 R
1 0
√
1 + 4 sin x cos x dx;
20
π R
0
sin 2x
√
cos2 x + 2 sin2 x
dx;
21
π R
0
dx
(sin x + 2 cos x)2 ; 22
π R
0
e sin x
+ cos x cos x dx;
23
π2
4
R
0
cos x dx;
24 Re5
e2
ln(ln x)
x dx;
25 R
1
0
x3e x2 dx;
26 R
e
1
cos(ln x) dx;
27 R
e
1
1 + x ln x
x dx;
28 R π
π
cos x ln(sin x) dx ;
29
π R
0
x dx
1 + sin 2x;
30 R
ln 3 0
xe x
√
e x + 1 dx;
31 R 1
0
e x ln(e x + 1) dx;
32
π R
0
x sin x dx
cos3 x ;
33
π R
0
x dx
cos2 x; 34
π R
0
ln(1 + sin x) 1+cos x
35
π R
0
(x + sin2 x) cos x dx;
36
π R
0
e sin x
+ cos x cos x dx;
37 R π
π
sin x ln(tan x) dx;
38 R
1 0
x dx
x4 + x2 + 1;
39 ln
π R
0
e 2x sin2(e x) dx;
40 R
π
0
xe x cos x dx;
41 R
e2
e
ln(ln x)
x dx.
Bài 7.19 : Tích phân các hàm số lượng giác
1 R
π
0
sin4 x cos4 x dx;
2
π
R
0
cos 3x tan x dx;
3 R π
0
sin x sin 2x cos 5x dx;
4
π
R
0
cos10 x
+ sin10 x − sin4 x cos4 x dx;
5 R
π
0
cos4 x dx;
6
π
R
0
sin6 x
+ cos6 x dx;
7 R
π
π
√
tan2 x + cot2 x − 2 dx;
8
π
R
0
4 sin3 x
1 + cos x dx;
9 R
π
− π
sin 2x sin 5x dx;
10 R
5π
π
12
dx
sin 2x + 2 √
3 cos2 x + 2 −√3; 11
π
R
0
√
2 sin x −π4
12 R π
− π
cos 3x cos 5x dx;
13
π R
0
dx
1 + cos 2x; 14
π R
0
4 sin3 x
1 + cos x dx;
15
π R
0
cos x
√
1 + cos2 x dx;
16
π R
0
tan2 x
+ tan4 x dx;
17
π R
0
dx
(sin x + 2 cos x)2 ; 18
π R
0
sin x + 7 cos x + 5
4 sin x + 3 cos x + 5 dx;
19
π R
0
9 sin x − 2 cos x
cos x + 2 sin x + 1 dx;
20
π R
0
sin x
3 + cos2 x dx;
21
π R
0
sin2 x cos4 x dx;
22 R π
− π
cos x √
cos x − cos3 x dx;
23
π R
0
dx
1 + sin x + cos x; 24
π R
0
3 sin 2x + 4 cos 2x + 5
3 cos 2x − 4 sin 2x + 5 dx;
25
π R
0
3 cos x + sin x + 2
2 sin x + cos x + 1 dx;
26
π R
0
tan4 x
cos 2x dx;
27
π R
0
dx
cos4 x; 28
π R
0
sin3 x cos2 x dx;
29
π R
0
sin5 x
cos7 x dx;
30
π R
0
dx
4
;
31
π R
0
dx
√
2 + sin x − cos x; 32
π R
0
sin x dx
1 + sin 2x;
33 R π
π
dx
sin 2x − 2 sin x
Trang 9Bài 7.20 : Tích phân hàm vô tỉ
1 R
3
0
dx
√
x + 1 +
p
(x + 1)2 ;
2 R
2
1
x + 3
x √
2x + 3 dx;
3 R
7
0
x dx
3
√
x + 1;
4 R
7
0
x dx
2 + x;
5 R
64
1
dx
√
x +√3x;
6 R
1
0
È
dx
1 +√3
x
;
7 R
1
0
É
1 − x
1 + x dx;
8 R
2
1
dx
√
x + 1 + √
x − 1;
9 R
1
0
(x2+ x) √
x + 1 dx;
10
3
R
0
x dx
√
1 − x;
11 R
2
1
x dx
x − 1;
12 R
16
1
dx
√
x + 9 − √x;
13 R
1
0
x dx
√
1 + x ;
14 R
3
0
√
x3 − 2x2+ x dx;
15 R
1
0
2x2
√
1 + x dx;
16 R
9
1
x √3
1 − x dx;
17 R
1 0
dx
1 +√4
x ;
18 R
a
0
x2√
a2 − x2 dx, với a > 0;
19 R 1
0
x√
3 + x2 dx;
20 R
2
√
2
dx
√
x2 − 1;
21 R
1
0
(1 − x)
É
x
2 − x dx;
22 R
1 0
x −√x2 − 2x + 2
x +√
x2 − 2x + 2.
dx
x2 − 2x + 2;
23 R
4 2+ √
2
dx
(x − 1) √x2 − 4x + 3;
24 R
0
−1
x2 √
4 − x2;
25 R
0
−1
√
−x(x + 2) dx;
26 R
1 0
√
2x − x2 dx;
27 R
2
1
x2√
4 − x2 dx;
28 R 1 0
dx
x2 + 1;
29 R
2 1
x + 1
√
x2 − 2x + 2 dx;
30 R
1 0
x2 − 2x + 5
√
3 + 2x − x2 dx;
31 R
1 0
p
dx
(x2 + 8)3 dx;
32 R
1
−1
dx
√
4 − x2;
33 R
1
− 1
x3 − x5
√
1 − x2 dx;
34
1
R
0
É
1 + x
1 − x dx;
35 R
1
0
x
É
1 − x
1 + x dx;
36 R
1 0
2x − 3
√
x2 + x + 1 dx;
37 R
5 4
x2 + 1
√
x2 − 4x + 3 dx;
38 R
1 0
x
1 +√3x dx;
39 R
2 √
3
√
5
dx
x √
x2 + 4;
40 R
1
1
É
1 + x
x3 dx;
41 R
√
3
0
x3√
x2 + 1 dx;
42 R
3
1
x3√
1 − x2 dx;
43 R
3
√2
1
√
5
p
x5 3
(2 − 5x3)2 dx;
44 R
1 0
dx
(1 + x n) √n
1 + x n , n ∈ N;
45 R
1
0
x7 √7
8x4 + 1 dx;
46 R
1
0
x15√
1 + 3x8 dx.
Vấn đề 5 :Tích phân các hàm hữu tỉ
Xét tích phân dạngR P(x)
ax2 + bx + c dx, với P(x) là một đa thức nào đó.
VD : Tính I =R 2x3+ 3x2 − x
x2 + 2x + 2 dx.
• Chia tử cho mẫu (bậc tử lớn hơn bậc mẫu), được
I =
Z
(2x − 1) dx +
Z
−3x + 2
x2 + 2x + 2 dx vấn đề là cần tính I1 =
R −3x + 2
x2 + 2x + 2 dx.
Trang 10• Tách tử theo đạo hàm của mẫu : đạo hàm của mẫu là 2x + 2, và tử là −3x + 2 = −2 3(2x + 2) + 5, vậy :
I1 =−32
Z
(2x + 2) dx
x2 + 2x + 2 + 5
Z
dx
x2 + 2x + 2.
– VớiR (2x + 2) dx
x2 + 2x + 2 =
R d(x2
+ 2x + 2)
x2 + 2x + 2 = ln |x2+ 2x + 2| + C.
– VớiR dx
x2 + 2x + 2 , ta nhận thấy mẫu x2+ 2x + 2 vô nghiệm, nên x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 (tổng quát : ax2 + bx + c =
a x + b
2a
2
+ ∆
4a) và ta được
Z
dx
x2 + 2x + 2 =
Z
dx
(x + 1)2 + 1
đặt x + 1 = tan t ⇒ dx = dt
cos2 t và (x + 1)2
+ 1 = tan2 t + 1 = 1
cos2 t, thay vào ta được
Z
dx
x2 + 2x + 2 =
Z dt
cos 2 t
1 cos 2 t
=
Z
dt = t + C.
Dạng tổng quát :R dx
x2 + a2 , đặt x = a tan t.
Một ví dụ khác với mẫu là đa thức hai nghiệm phân biệt
VD : Tính I =R 2x3 − x2
+ x − 4
2x2 − 3x + 1 dx và biến đổi như trên ta được :
I =
Z
(x + 1) dx +
Z
3x − 5
2x2 − 3x + 1 dx =
Z
4
Z
4x − 3
2x2 − 3x + 1 dx −114
Z
dx
2x2 − 3x + 1
2x2 − 3x + 1 dx =R d(2x2 − 3x + 1)
2x2 − 3x + 1 = ln |2x
2 − 3x + 1| + C.
2x2 − 3x + 1 , nhận thấy mẫu 2x2
− 3x + 1 có hai nghiệm phân biệt 1 và12, nên 2x2
− 3x
+ 1 = 2(x − 1) x −
1
2
Ta biến đổi 1
2x2 − 3x + 1 =
1
2.
1
(x − 1) x −12
= 1
2.(−2)
(x − 1) − x −12
(x − 1) x −12
1
x −1
2
−x 1
− 1
Ta được :
Z
dx
2x2 − 3x + 1 =−
Z
dx
x −1
2
− dx
x − 1
=−
Z
d x −1 2
x −1
2
− d(x − 1)
x − 1
!
=
− ln x −
1
2 − ln |x − 1|
+ C.
Và cuối cùng ta xét ví dụ với mẫu là đa thức có nghiệm kép
VD : TínhR dx
2x2 − 4x + 2 =
1 2
(x + 1)2 = 1
2
R d(x + 1)
(x + 1)2 =−12 1
x + 1 + C.
R
R
Chú ý rằng :
• Nếu ax2 + bx + c có hai nghiệm x1,x2 thì ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
• Nếu ax2
+ bx + c có nghiệm kép x = x0 thì ax2
+ bx + c = a(x − x0)2
• d(x + a) = dx với mọi số thực a.
Bài 7.21 : Tính các nguyên hàm sau :
1 dx
3x + 1;
2 x2 + 3x − 1
−2x + 3 dx;
R
−2x2 − x + 1;
R
x2 − 4x + 4;
R
5 x3 + 5x2 + 3x − 7
x2 + 6x + 9 dx;
R
6 x2 − 6x + 10
x2 − 6x + 8 dx;
R
R
x2(x + 1);
8 2x − 7
x2 − 3x + 2 dx;
...tan x dx.
Vấn đề :Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối
1 Cơng thức tách cận tích phân
Z
b...
f (x) dx
Chú ý : Sau tách cận phá dấu giá trị tuyệt đối không thi? ??t phải đưa giá trị tuyệt đối ngồi tích phân.
Bài 7.13 : ChoR
5...
Z
a
v du
Dùng phương pháp tích phân phần tích phân vừa chứa lẫn lộn hàm : hàm đa thức, hàm mũ, hàm lôga (hoặc chứa hàm lôga), hàm lượng
