Toán Hàm Số tiếp tuyến

a Viết phương trình tiếp tuyến với C tại giao điểm của C với trục hoành.. b Viết phương trình tiếp tuyến với C tại giao điểm của C với trục tung.. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị 1 tại đi

1 Chủ đề 1: Bài toán về tiếp tuyến

1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm M( , ) ( ) :x y0 0 ∈ C y= f x( )

* Tính

' '( )

y = f x

; tính

' 0

( )

k = f x

(hệ số góc của tiếp tuyến)

* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( )

tại điểm M x y( 0; 0)

có phương trình

'

y y− = f x x x−

với y0 = f x( )0

Ví dụ 1: Cho hàm số

y= x − x+

(C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): a) Tại điểm A (-1; 7)

b) Tại điểm có hoành độ x = 2

c) Tại điểm có tung độ y =5

Giải:

a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x y0( ; )0 0 có dạng:

0 '( )(0 0)

y y− = f x x x−

Ta có

2

y = x −

⇒ y'( 1) 0− =

Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: y− =7 0

hay y = 7

b) Từ x= ⇒ =2 y 7

y’(2) = 9 Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là:

c) Ta có:

0

3

x

x

=





 =

 +) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5)

Ta có y’(0) = -3

Do đó phương trình tiếp tuyến là: y− = −5 3(x−0)

hay y = -3x +5

+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (− 3;5)

'( 3) 3( 3) 3 6

Do đó phương trình tiếp tuyến là: y− =5 6(x+ 3)

hay y=6x+6 3 5+

+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại (− 3;5)

là: y=6x−6 3 5+

Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số

y=x − x + x−

a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0

Giải:

Ta có

2

y = x − x+

Gọi M x y( 0; 0)

là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình:

0 '( )(0 0) '( )(0 0) 0 (1)

y y− = y x x x− ⇔ =y y x x x− +y

a) Khi M =( )C I Ox

thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình:

; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y=6(x−2)

b) Khi M =( )C I Oy

thì x0 = 0⇒ y0 = y(0)= −4

và y x'( )0 = y'(0) 2=

, thay các giá trị đã

biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y=2x−4

c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0 Ta có: y” = 6x – 4

y” = 0

 

;

0

'( ) '

y x = y  =

 ÷

 

Thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến:

y= x−

Ví dụ 3: Cho hàm số

1

3

y= x − x + x

(C) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại

điểm có hoành độ x0 thỏa mãn

'' 0

( ) 0

y x =

và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Giải

Ta có

y =x − x+ ⇒ y = x−

2

3

Khi đó tiếp tuyến tại M có hệ số góc k0 = ' '

0

y x = y = −

Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm

2 2;

3

M 

có phương trình

'

y y− = f x x x−

suy ra

( )

2

3

y− = − x−

hay

8 3

y= − +x

Tiếp tuyến d có hệ số góc k0 =

-1 Mặt khác tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm bấy kỳ trên (C) có hệ số góc

( )2

0

k= y x =x − x+ = −x − ≥ − =k

Dấu “=” xảy ra ⇔ =x 1

nên tọa độ tiếp điểm trùng với

2 2;

3

M 

Vậy tiếp tuyến d của (C) tại điểm

2 2;

3

M  

có hệ số góc nhỏ nhất

Ví dụ 4: Cho hàm số

m

y= x − x +

(Cm).Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0

Giải

Ta có

y =x −mx

Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến tại M song song với

đường thẳng d trước hết ta cần có

Khi m=4

ta có hàm số

2

y= x − x +

ta có x0 = −1

thì y0 = −2 Phương trình tiếp tuyến có dạng

'

y= y x x x− +y ⇒ =y x+ − ⇔ =y x+

Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d

Vậy m=4

là giá trị cần tìm

Ví dụ 5: Cho hàm số

y= x − x +m

(1)

Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại

các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

3 2

Giải

Với x0 = ⇒1 y0 = − ⇒m 2

M(1 ; m – 2)

- Tiếp tuyến tại M là d:

2

y= x − x x x− + −m

⇒

d: y = -3x + m + 2

- d cắt trục Ox tại A:

- d cắt trục Oy tại B: y B = + ⇒m 2 B(0 ;m+2)

-

2

OAB

m

S = ⇔ OA OB = ⇔ OA OB = ⇔ + m+ = ⇔ m+ =

Vậy m = 1 và m = - 5

1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số y= f x( )

(C) khi biết trước hệ số góc của nó

+ Gọi M x y( , )0 0 là tiếp điểm, giải phương trình

'

( )

f x = ⇒ =k x x

, y0 = f x( )0

+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị:

y k x x= − + y

 Các dạng biểu diễn hệ số góc k:hoctoancapba.com

*) Cho trực tiếp:

3

7

k = k= ± k = ± k = ±

*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc α

, với

15 ;30 ;45 ; ;

3 3

π π

Khi đó hệ số góc k = tanα

*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi đó hệ số góc k = a

*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b

1 1

a

−

*) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b một góc α

Khi đó,

tan 1

k a

+

Ví dụ 6: Cho hàm số

y=x − x

(C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ

số góc của tiếp tuyến k = -3

Giải:

Ta có:

2

y = x − x

Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm ⇒

Tiếp tuyến tại M có hệ số góc

k = f x = x − x

Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên:

3x −6x = − ⇔3 x −2x + = ⇔1 0 x =1

Vì x0 = ⇒1 y0 = − ⇒2 M(1; 2)−

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y= −3(x− − ⇔ = − +1) 2 y 3x 1

Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y= x − x +

(C) Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6

Ta có:

2

y = x − x

Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm ⇒

Tiếp tuyến tại M có hệ số góc

k = f x = x − x

Theo giả thiết, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + +6 ⇒

tiếp tuyến có hệ

số góc k = 9 ⇒

0

0

1 ( 1; 3)



Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: y=9(x+ − ⇔ =1) 3 y 9x+6

(loại)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y=9(x− + ⇔ =3) 1 y 9x−26

Ví dụ 8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số:

1 2 4

y= x + x

, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x+ 5y – 2015 =0

Giải:

(d) có phương trình:

1 402 5

y= − x+

nên (d) có hệ số góc là

-1 5

Gọi ∆

là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k thì

1

Ta có:

3

y =x + x

nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình:

x + x=

4

Vậy tiếp điểm M có tọa độ là

9 1;

4

M 

Tiếp tuyến có phương trình:

Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình:

11 5 4

y= x−

Ví dụ 9: Cho hàm số y =

1

x x

−

−

có đồ thị (C)

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại

các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB

Giải

Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M x y( ; ) ( )0 0 ∈ C

cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho 4O

OA= B

Do ∆OAB vuông tại O nên

1 tan

4

OB A OA

⇒ Hệ số góc của d bằng

1 4 hoặc

1 4

−

Hệ số góc của d là

y x

⇔

3

2 5

2







Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:

( 1)

( 3)

⇔

1.3 Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua

điểm A( ; )α β

Cách giải

+ Tiếp tuyến có phương trình dạng: y− f x( )0 = f x'( )(0 x x− 0)

, (với x0 là hoành độ tiếp điểm)

+ Tiếp tuyến qua A( ; )α β

nên β − f x( )0 = f x'( )(0 α −x0) (*) + Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ 10: Cho đồ thị (C):

y= x − x+

, viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2; -1)

Giải:

Ta có:

2

y = x −

x x − x +

là tiếp điểm Hệ số góc của tiếp tuyến là

2

y x = x −

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là ∆

y− x − x + = x − x x−

∆

qua A(-2;-1) nên ta có: ( 3 ) 2

1 x 3x 1 (3x 3)( 2 x )

2



Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: ∆:y= − ∆1; :y=9x+17

1.4 Dạng 4 Một số bài toán tiếp tuyến nâng cao.

Ví dụ 11: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số:

y=x − x+

sao cho tiếp

tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2

Giải:

Gọi

( ; 3 2) , ( ; 3 2) ,

A a a − a+ B b b − +b a b≠

là hai điểm phân biệt trên (C)

Ta có:

2

y = x −

nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:

'( ) 3 3 à '( ) 3 3

y a = a − v y b = b −

Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi:

y a = y b ⇔ a − = b − ⇔ −a b a b+ = ⇔ = −a b v a b≠ ⇔ − ≠a b

2

AB= ⇔ AB = ⇔ a b− + a − a+ − b − +b  =

2 2

(a b) (a b ) 3(a b) 32 (a b) (a b a)( ab b ) 3(a b) 32

2

(a b) (a b) ( a ab b ) 3 32

, thay a = -b ta được:

4b +4b b −3 =32⇔b +b b −3 − = ⇔8 0 b −6b +10b − =8 0

= ⇒ = −



- Với a= −2 àv b= ⇒2 A( 2;0) , (2;4)− B

- Với a=2 àv b= − ⇒2 A(2;4) , ( 2;0)B −

Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: ( 2; 0) à (2; 4)− v

Ví dụ 12: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ (Cm); (m là tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là:

x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 ⇔ x(x2 + 3x + m) = 0 ⇔

2

0

x

=



 + + =



* (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0, 1), D, E phân biệt:

⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm xD, xE ≠ 0

⇔

2

0

4

9

m m

m m

≠



∆ = − >

⇔

Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:

kD = y’(xD) =

2

3x D +6x D+ = −m (x D+2 );m

kE = y’(xE) =

2

3x E +6x E + = −m (x E +2 ).m

Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: kDkE = –1

⇔ (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1

⇔ 9m + 6m ×

(–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-t)

⇔ 4m2 – 9m + 1 = 0 ⇔ m = 1( )

ĐS: m =

8 − hay m=8 m

Ví dụ 13: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số:

1

x y x

−

= + , biết rằng khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất

Giải:

Gọi ∆

là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M

1

a

a

−

Ta có:

Vậy

2

a

−

( ; ) 4( 1) ( 1) 2 22 42 4 2 8 1 4

d I

Ta có:

2

4 (+ +a 1) =2 +(a+1)  ≥2.2(a+1) ⇒ 4 (+ +a 1) ≥ 2.2(a+1) =2a+1

( ; ) 8 1 4

a

d I

a

+

+

Vậy d I( ;∆)

lớn nhất khi d I( ;∆)

= 4

a

Cả hai giá trị đều thỏa mãn a≠1 + Với a = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là:

4x−4y− = ⇔ − − =4 0 x y 1 0

+ Với a = -3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là:

4x−4y+28 0= ⇔ − + =x y 7 0

Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x y− − =1 0 ; x y− − =7 0

Ví dụ 14: Cho (C) là đồ thị hàm số

1

x y x

+

= + Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn ∆

OAB vuông cân tại gốc tọa độ O

Giải:

Gọi M x y( 0; 0)

là tiếp điểm Tiếp tuyến với (C) tại M phải thỏa mãn song song với các đường thẳng y = x hoặc y = -x

Ta có:

2

1 '

(2 1)

y

x

= −

+ nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là:

0

1

(2 1)

y x

x

+ Vậy tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: y = -x

Do đó,

2 0 2

0

1

+

; (

0

1 2

x = −

không là nghiệm phương trình)

Vậy có hai tiếp điểm là: M1(0;1) ,M2( 1;0)−

+ Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với

d

+ Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y= − +x 1; y= − −x 1

Ví dụ 15: Cho hàm số:

2 1

x y x

+

=

− (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi

Giải

a) Tự làm

b) Giả sử M

2

; 1

a a a

+

∈ (C)

PTTT (d) của (C) tại M:

2 ( ).( )

1

a

y y a x a

a

+

′

− ⇔

2

Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là:

5 1;

1

a A a

+

, B a(2 −1;1)

6

0;

1

IA

a

=  − ÷ ⇒ IA 61

a

=

− ; IB (2a 2;0)

→

Diện tích ∆IAB

: S∆IAB=

1

2IA IB

= 6 (đvdt) ⇒

ĐPCM

Ví dụ 16: Cho hàm số

1

x y x

+

= + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng

tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(−4; −2).

Giải

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm (x0 ≠ −1

)

PTTT (d) là

0 0

2

1

x

+

⇔

x− x + y+ x + x + =

Ta có: d A d( , )=d B d( , )

⇔

2 4(− x +1) +2x +2x + = − +1 4 2(x +1) +2x +2x +1

⇔ x0 = ∨1 x0 = ∨0 x0 = −2

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến:

y= x+ y= +x y= +x

Chú ý: Bài toán này có thể giải bằng cách sau: Tiếp tuyến cách đều A, B nên có 2 khả

năng: Tiếp tuyến song song (trùng) AB hoặc tiếp tuyến đi qua trung điểm của AB

Ví dụ 17: Cho hàm số

2 ( ) 1

x

x

= +

tìm điểm M ∈( )C

sao cho tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

1 4

Giải:

Gọi

0

0

2 ( , ) ( )

1

x

x

+ ,

2

2 '

( 1)

y x

= + Tiếp tuyến tại M có dạng:

2

Gọi A=( )d ∩ox ⇒

tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

2

2 0

2

0

2 2

( ,0)

0 0

x

A x

y y





 =



Gọi B=( )d ∩oy ⇒

tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:

2

2 2

0

x

B

x

=



 =



Tam giác OAB vuông tại O ; OA =

x x

; OB =

Diện tích tam giác OAB:

S =

1

2

OA.OB =

4 0 2 0

2

x

+

1



Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán:

1 ( ; 2) ; (1,1) 2

 Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho hàm số

3 3 2 2 5 ( )

y x= − x + x− C

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1

Bài 2 Cho hàm số

3

y= x − +x

, viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông

góc với đường thẳng

( )

y= − x+ d

Bài 3 Cho hàm số

y x= + x − x+ C

trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 4 Cho hàm số:

1

x y x

−

= + (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy

và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3

Bài 5 Cho hàm số

y= − −x x +

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết

tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d:

1 1 6

y= x−

Bài 6 Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số

1

x y x

+

= + Biết tiếp tuyến

đi qua điểm A(-1; 3)

Bài 7 Cho hàm số

2

x y x

−

=

−

có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)

b) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất

Bài 8 Cho hàm số:

1 1

x y x

+

=

− CMR:

a) Nếu tiếp tuyến của đths cắt hai đường tiệm cận tại A và B thì tiếp điểm là trung điểm của AB

b) Mọi tiếp tuyến của đồ thị đều tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi

c) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất