Toán Hàm Số Bài giảng hàm số

STT Dạng bài Số bài tập rèn luyện Thời gian rèn luyện Ghi chú Bản thân 2 Tìm m để hàm số đơn điệu trên khoảng, đoạn , Kế hoạch học tập... luôn đồng biến trên R Bài 3: Chứng minh hàm s

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

u c

ủa hàm số

3

•

Tiế

p t uyế

n c

ủa hàm số

4

•

Sự tư ơng

gia

o gi

ữa hai đ

ồ th

ị h àm số

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

Sơ đồ tổng quan

1 • Tính đơn điệu của hàm số

Lời tuyên bố

Tôi là học sinh lớp

Tôi hứa sẽ quyết tâm học đạt điểm phần học này !

STT Dạng bài Số bài tập rèn luyện Thời gian rèn luyện Ghi chú Bản thân

2 Tìm m để hàm số đơn điệu trên ( khoảng, đoạn ,

Kế hoạch học tập

Định nghĩa

Điều kiện cần

Điều kiện đủ

Hàm số f(x) đồng biến / D ⇔ (∀x1, x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Hàm số f(x) nghịch biến / D ⇔ (∀x1, x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

Nếu khoảng D được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f(x) phải liên tục

LÍ THUYẾT CƠ BẢN

Ví dụ 1 : Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số

Tập xác định : D = R



Hàm số đồng biến trên khoảng (

Hàm số nghịch biến trên khoảng (

Bước 1 : Tập xác định Bước 2 : Tính y ‘ = 0 ; Tìm x Bước 3 : Lập bảng xét dấu và kết luận

Bước 1 : Tập xác định Bước 2 : Tính y ‘ = 0 ; Tìm x Bước 3 : Lập bảng xét dấu và kết luận

sơ đồ con đường

Dạng 1

Lập bẳng xét dấu và kết luận Xét trực tiếp tính đơn điệu của một hàm xác định

Bài tập đề nghị : Xét tinh đồng biến, nghịch biến của hàm số sau y = 5

-2 - 0

Xét điều kiện của m 

Dạng 2 Tìm m để hàm số luôn đơn điệu trên đoạn, khoảng , miền xác định

Phương pháp hàm số

Ví dụ 1 : Cho hàm số: Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng

Ta có : y’ = 3

• Hàm đồng biến trên

 với   với

Xét hàm số f(x) = trên khoảng (0;

  Từ đó ta đi đến kết luận:  Bước 1: Tính y’ Hàm đồng biến : y’   Bước 2 : Chuyển x sang một bên m sang một bên   Bước 3 : Xét hàm số f(x) Bước 4 : Xét điều kiện của m  m Bài giải Sơ đồ con đường x 0 +

f 2 +

x

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=: đồng biến trên khoảng (1;3)

Bước 3 : Xét hàm số f(x)

 Bước 4 : Xét điều kiện của m ( m

Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số sau : y = đồng biến trên khoảng [1; +

Bước 2: Xét điều kiện của m

• Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = )

• Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

• Tính y′.

• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: (1)

• Biến đổi thành (2)

• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m

• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

 P  

3) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai với số 0:

Ví dụ 1: Cho hàm số Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng.

Tập xác định: D = R

y’ = Ta có

Nếu thì => y’ với

Hàm số đồng biến trên R

Nếu thì => phương trình y’

có 2 nghiệm phân biệt

Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng

   (VN)

Vậy: là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Bước 1 : Tính y’ ( tam thức bậc 2 )

Bước 3: Xét điều kiện với trường hợp so sánh

nghiệm

Ví dụ 2: Cho hàm số (1),(m là tham số) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Ta có có

• Nếu m ≥ 3 thì thì hàm số đồng biến trên R

 m ≥ 3 không thoả mãn.

• Nếu m < 3 thì có 2 nghiệm phân biệt

Hàm số nghịch biến trên đoạn với độ dài I

Ta có: =

Yêu cầu bài toán  L = 1  = 1  - = 1

 4

Vậy m = là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bước 1 : Tính y’ ( tam thức bậc 2 )

Bước 3: Xét điều kiện với trường hợp so sánh

nghiệm 

Bài 1 : Xét tính đơn điệu của hàm số:

y =

Bài 2 : Tìm m để các hàm số sau

1 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4

2 luôn đồng biến trên R

Bài 3: Chứng minh hàm số nghịch biến trên đoạn

Trên con đường thành công không có dấu

chân của những kẻ lười biếng

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246

Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

u c

ủa hàm số

3

•

Tiế

p t uyế

n c

ủa hàm số

4

•

Sự tư ơng

gia

o gi

ữa hai đ

ồ th

ị h àm số

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Tìm CĐ, CT trực tiếp

Cực trị của hàm số ( Cực Đại , Cực Tiểu )

( '

0 )

( '

0

0

x y

x y

y'(x ) 0 y''(x ) 0

Tính y’ = 0 ( Tìm x )

Lập bảng biến

thiên Cách 1

Tính y’ = 0

Cách 2

sơ đồ con đường

Dạng 1: Tìm Min, Max / GTLN, GTNN của hàm số

Vậy Hàm số đạt cực đại tại giá trị cực đại

Hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu

⇒ Tại  Hàm số đạt cực đại tại giá trị cực đại

⇒ Tại  Hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu

Bước 3 : Sử dụng phương pháp

Bước 1: Tập xác định Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

) 1 (

4 0

x

x x

x y

68 )

3 (

; 13 )

2 (

; 4 ) 1 (

; 4 ) 1 (

; 5 )

3

; 2

; 2

=> Tìm x  

=> Tìm x  

b y = cosx +

• Tập xác định : D= R

• y’ = - sinx – sin2x = -sinx ( 1+ 2cosx ) 

y’ = 0   ( k

• Ta có :y” = -cosx – 2cos2x

+ y”( = - cos – 2cos2 =

+ y”( = -cos – 2cos = > 0

Vậy hàm số đạt GTLN tại x = ( k

hàm số đạt GTNN là tại x =

Bước 1: Tập xác định Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

Bước 3 : Sử dụng phương pháp

 Quy tắc 2

Bước 1: Tập xác định Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

Bước 3 : Sử dụng phương pháp

 Quy tắc 2

Dạng 2 : Tìm m để hàm số có Cực Đại , Cực Tiểu và thỏa mãn một tính chất 

Ví dụ 1 : Cho hàm số: y= - 3(m + 1)9x -m (m là tham số thực) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho

• Ta có y ‘ = 3

 Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu x1, x2

 Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2.

 có hai nghiệm phân biệt

Bước 3 : Xử lí tính chất

- Định lí Viet ( dấu | | ,Tổng,Tích)

=> Bình phương mất | |

Ví dụ 2 :Cho hàm số (2)

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại , sao cho

• Ta có:

Hàm số (2) có 2 diểm cực đại và cực tiểu

⇔ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 3 Cho hàm số y = (m là tham số) có đồ thị là (Cm) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y =

x ( )

Ta có: y’ = 3x2 − 6mx = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = m

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0

Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0)

⇒ Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng là

AB vuông góc với và I thuộc

Giải hệ phương trình ta được ; m = 0 và m =

Kết hợp với điều kiện ta có:

Bước 1 : Tính y’ = 0

Bước 2 : Tìm ĐK để PT có 2 nghiệm Bước 3 : Xử lí tinh chất

 Tính chất hình học  

 1 ẩn m => 1 phương trình

vg  = 0 +) Gọi I trung điểm AB &

•

1 ẩn m => 1 phương trình

vg  = 0 Gọi Ithế I vào AB  

I A

B

m =  

Ví dụ 5 :Cho hàm số (1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

Ta có : y’ = y = y’ ( + 2x –

 = ( + 2 – PTĐT nối cực đại cực tiểu là

 = 2 – ( do Vậy phương trình đường thẳng nối cự đại cực tiểu

là y = 2x –

Bước 1: Tính y’

Bước 2 : Lấy được phần dư

y = ax + b ( ax + b là phần dư)  

Chú ý

Giảm bậc của để giải quyết các bài tập thể hiện mối quan hệ của như :

+ = kTính độ dài AB ( A & B là 2 điểm cực trị )

Giảm bậc của để giải quyết các bài tập thể hiện mối quan hệ của như :

+ = kTính độ dài AB ( A & B là 2 điểm cực trị ) 

Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau :

u c

ủa hàm số

3

•

Tiế

p t uyế

n c

ủa hàm số

4

•

Sự tư ơng

gia

o gi

ữa hai đ

ồ th

ị h àm số

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA 2 ĐỒ THỊ HÀM SỐ

SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA 2 ĐỒ THỊ HÀM SỐ

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com

Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

Sơ đồ tổng quan

Mục tiêu và kế hoạch phần học

 Tôi tự hứa với bản thân sẽ đạt được ……điểm của phần học này.

 Số bài rèn luyện là … bài trong khoảng thời gian……

Để xét sự tương giao của hai đồ thị hàm số và , ta xét phương trình : f(x) = g(x) (*)

 Trường hợp 1: Không giao nhau

=> Phương trình (* ) vô nghiệm

 Trường hợp 2: Giao nhau

 Tiếp xúc : Phương trình có 1 nghiệm

Điều kiện tiếp xúc

 Cắt từ 2 điểm trở nên

( C ) và (C’) cắt nhau  PT ( * ) có nghiệm

Nghiệm của chính là hoành độ giao điểm;

Ví dụ 1 Cho hàm số f(x) =

Biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1)

Ta có :



Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm

của f(x) với đường thẳng y = m - 1

Bước 3: Xử lí tính chất

Vậy số giao điểm = số nghiệm phương trình

Bước 1 : Thiết lập tương giao

f(x) = f(m)

Bước 2: Giải phương trình

=> Phương pháp xét hàm Xét đồ thị f(x) và f(m)

Bước 3: Xử lí tính chất

Vậy số giao điểm = số nghiệm phương trình

Ví dụ 2 Cho hàm số y = 2 ( *)

Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox

- Đồ thị (*) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm



- PT (2)  

• Với x = 3 thay vào (1) ta được m =

• Với x = m thay vào (1) ta được



Vậy các giá trị của m thỏa mãn là : ; m =

Bước 1: Thiết lập phương trình

 Sử dụng điều kiện tiếp xúc

Bước 2 : Giải phương trình

 PT (2) => Tìm x

 Thế vào PT (1)

  Bước 3: Xử lí tính chất

 Điều kiện tiếp xúc

Ví dụ 3 Cho hàm số Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc là k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B, C (B, C khác A ) cùng với gốc tọa

độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) với hệ số góc là k có phương trình là: y = k(x+1) = kx+ k

Nếu d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt : x3 – 3x2 + 4 = kx + k

 x3 – 3x2 – kx + 4 – k = 0  (x + 1)( x2 – 4x + 4 – k ) = 0

 x2 – 4x + 4 – k = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -1

   0 < k 9 ( *)

Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C

Với B,C có hoành độ là 2 nghiệm của phương trình g(x) = 0

Gọi B ( C ( Có = k+ k ; = k+ k

= (

BC =

Khoảng cách từ O đến đường thẳng d: h =

Vậy theo giả thiết: S = = 2 = 2 = 1

Vậy k = là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bước 1: Thiết lập phương trình

 Viết PTĐT d f(x) = g(x)

Bước 2 : Giải phương trình

 Nhẩm nghiệm  

nên PT

Có nhân tử ( x +1 )  

Ví dụ 4 Cho hàm số có đồ thị là () Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Bước 3 : Xử lí tính chất

là CSC =>

=>

=>

Ví dụ 6: Cho hàm số (Cm) Tìm các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.

Hoành dộ giao điểm là nghiệm của phương trình:

=

 = 0

 = 0

 ( x – 1) ( 1 + 3m ) x - 2m – 2 ) = 0

Để đồ thị Cm cắt đường thẳng đ tại 3 điểm phân biệt thì phương trình

f(x) = 1 + 3m ) x - 2m – 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

 x = 1 Chia đa thức => PT bậc 2 Tìm điều kiện có 2 nghiệm > 1.

Bước 3 : Xử lí tính chất

 Xét hiệu đưa về hệ thức Viet

1 2

0 < − < − x 1 x 1

1 2

0 < − < − x 1 x 1

Bài 1: Cho hàm số có đồ thị (Cm).

Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.

Bài 2: Cho hàm số có đồ thị là (C) Chứng minh rằng đường thẳng d: luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất Bài 3: Cho hàm số có đồ thị là (Cm), m là tham số.

Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn

Bài 4: Cho hàm số (C) Tìm m để đường thẳng d: cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ∆OAB vuông tại O

Bài 5: Cho hàm số Tìm a và b để đường thẳng (d): cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng ( ):

Bài 6 Cho hàm số và đường thẳng Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

u c

ủa hàm số

3

•

Tiế

p t uyế

n c

ủa hàm số

4

•

Sự tư ơng

gia

o gi

ữa hai đ

ồ th

ị h àm số

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

Tiếp tuyến của hàm số

Lời tuyên bố

Tôi là học sinh lớp

Tôi hứa sẽ quyết tâm học đạt điểm phần học này !

STT Dạng bài Số bài tập rèn luyện Thời gian rèn luyện Ghi chú Bản thân

1 Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm bất kì

( khác tiếp điểm )

Kế hoạch học tập Tiếp tuyến của hàm số

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN QUA 1 ĐIỂM

Tiếp tuyến qua M của ( C ) Điểm M có thể thuộc hoặc không, trong trường hợp thuộc thì lại có thể là tiếp điểm hoặc không (xem các hình vẽ ở dưới)

PTTT tại tiếp điểm M : y = y’ ().( x - ) +

1

Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho (C) Tìm m để (C) có tiếp tuyến đi qua

Ta có :

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) là M(

Phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) tại tiếp điểm là:



Đồ thị (C) có tiếp tuyến đi qua khi và chỉ khi

phương trình sau đây có nghiệm đối với :

 (1)

Do đó (1) có nghiệm khi và chỉ khi

 

Vậy (C) có tiếp tuyến đi qua khi và chỉ khi

Bước 1 : Gọi tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến với (C)

 Bước 2 : Viết PTTT tại tiếp điểm 

  Bước 3 : Giải phương trìnhThay tọa độ vào PT tiếp tuyến vừa viết

DẠNG 2 Viết PTTT tại điểm và thỏa mãn 1 tính chất