Tam giác AMN cân khi IA vuông góc MN.
Trang 1Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m)
Câu 1 (2,0 i m) Cho hàm s 2 4
1
x y
x
a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s
b) Tìm trên th (C) hai i m A, B i x ng nhau qua ng th ng MN, bi t M 3;0 , N 1; 1
Câu 2 (1,0 i m) Gi i ph ng trình 3 sin 2x cos 2x 4 3(cosx 3 sin )x
Câu 3 (1,0 i m) Gi i b t ph ng trình 4 x 1 2 2x 10 1 3 2x 2
Câu 4 (1,0 i m) Tính tích phân
1
2 (1 2 ln ) ln
e
Câu 5 (1,0 i m) Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác vuông cân t i B, BA = a Tam giác SAC cân
t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i m t ph ng (ABC) G i M, N l n l t là trung i m c a SA, BC; bi t góc gi a MN v i m t ph ng (ABC) b ng 600 Tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách
gi a hai ng th ng AC, MN theo a
Câu 6 (1,0 i m) Cho , , a b c là các s th c d ng và a b c 3
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 2 3
abc P
PH N RIÊNG (3,0 i m): Thí sinh ch c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)
A Theo ch ng trình Chu n
Câu 7.a (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho ng tròn ( ) :C x2 y2 2x 4y 5 0
và i m A(1; 0) G i M, N là hai i m trên ng tròn (C) sao cho tam giác AMN vuông cân t i A Vi t
ph ng trình c nh MN
Câu 8.a (1,0 i m) Trong không gian v i h to Oxyz, cho ng th ng d : 1 2
Tìm
t a i m M thu c ng th ng d sao cho m t c u (S) tâm M ti p xúc v i tr c Oz có bán kính b ng
2
Câu 9.a (1,0 i m) Cho s ph c z th a mãn 2
1 2
z z
i Tìm ph n th c c a s ph c
2
B Theo ch ng trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 i m) Trong m t ph ng t a Oxy cho ng tròn 2 2 3
:
2
C x y và parabol
2
:
P y x Tìm trên (P) các i m M mà t ó k c hai ti p tuy n t i ng tr n (C) và hai ti p
tuy n này t o v i nhau m t góc b ng 600
Câu 8.b (1,0 i m) Trong không gian v i h to Oxyz, cho ng th ng : 2 1 5
và hai i m ( 2;1;1), ( 3; 1; 2)A B Tìm t a i m M thu c ng th ng sao cho tam giác MAB có
di n tích b ng 3 5
Th i gian làm bài: 180 phút
Trang 2Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
Câu 9.b (1,0 i m) Cho s ph c z th a mãn 1 1
2
z
z i Tìm s ph c z bi t
3 5 2
z i t giá tri nh
nh t
a) (1,0 i m)
T p xác inh D \ 1
Gi i h n, ti m c n:
x y x y Suy ra ph ng trình ng ti m c n ngang y = 2
0,25
1
kho ng xác nh c a nó Hàm s không có c c tr
0,25
B ng bi n thiên
0,25
th hàm s có d ng nh hình v
Nh n xét: th có tâm i x ng là i m I 1;2
0,25
b) (1,0 i m)
Ph ng trình ng th ng MN :x 2y 3 0
Xét hai i m A, B trên th (C), ta có ; 2 6 , ; 2 6 , , 1
0,25
1
(2 )
a b
I
a b là trung i m c a o n o n AB
0,25
x
y
- 4
4
I
2
- 1
- 4
2
O 1
+
-
2
2
+ +
-
y'
y
x
Trang 3Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
Theo yêu c u c a bài toán ta có AB MN AB MN. 0
2
0
0
7
a
b a
b
0,25
V y A 2;0 ; B 0; 4 ho c B 2;0 ; A 0; 4 là các i m c n tìm 0,25
t t cosx 3 sinx
2
1 cos 2 1 cos 2
3 sin 2 cos 2 2
0,25
2
t
+) v i t = 1 thì:
2 2
2
0,25
2
(1 )
V y ph ng trình có 3 h nghi m: 2
i u ki n xác nh 3
2
x
Ta có
2
2
x
0,25
2 2
2 2
2
1
1
x
x
x
0,25
3
x
3
(1 )
K t h p v i i u ki n ta có t p nghi m c a b t ph ng trình là 3; 3 \ 1
2
Ta có
( ln )
2
1
e
2
1 1
1
1
e
0,25
4
(1 )
5 G i I là trung i m AC, do SAC cân t i S nên SI (ABC) G i H là trung i m AI suy ra
0,25
Trang 4Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
MH // SI MH (ABC , do ó (MN, (ABC)) = ) MNH 600 Ta có
2
2
ABC
a
Xét HCN có:
2
4
a NH
.
0,25
Goi J là trung i m AB, K là hình chi u vuông góc c a H lên MJ t c là HK MJ (1)
Ta có
1 , 4
0,25
(1 )
d AC MN d H AC MN d H MJN HK S
=
MH HJ
=
16
a
M
K
A H I C
J N
B
0,25
Áp d ng B t ng th c: (x y z)2 3(xy yz zx , ) x y z, , ta có:
2
(ab bc ca) 3abc a b( c) 9abc 0 ab bc ca 3 abc
Ta có: (1 a)(1 b)(1 c) (1 3abc) ,3 a b c, , 0 Th t v y:
0,25
Khi ó:
3
3
2
abc
abc abc (1)
t 6abc t ; vì a, b, c > 0 nên
3
3
abc
0,25
Xét hàm s
2
2
t
5
6
Q Q t Q (2) T (1) và (2): 1
6
0,25
6
(1 )
V y maxP = 1
7.a
(1 ) Ta có I(1;–2) suy ra IA (0; 2) Tam giác AMN cân khi IA vuông góc MN G i (d) là ng
th ng vuông góc v i IA, nên d nh n 1 0;1
2IA làm véc t pháp tuy n, ng d có
d ng:y m (1) Ph ng trình hoành giao i m c a d và (C) là: x2 2x m2 4m 5 0
(1)
0,25
Trang 5Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
(d) c t (C) t i M, N khi PT (1) có hai nghi m phân bi t x x1, 2 1 m2 4m 6 0
Khi ó, theo Vi-et: 1 2 2
1 2
2
0,25
G i M( ;x1 m ; N() x2; m ) AM x1 1; m ;AN x2 1; m AMN vuông t i A khi
1
3
m
m (th a mãn (*))
0,25
Vì M d nên M 1 t; 2 2 ; 2t t Tr c Oz i qua i m O(0; 0; 0) và có vtcp k 0; 0;1 ; 0,25
1 ; 2 2 ; 2
G i R là bán kính m t c u (S), ta có R = d(M; Oz) = 5t2 6t 5 0,25
8.a
(1 )
R = 2 suy ra 5t2 6t 5 = 2 5t2 6t 5 4 5t2 6t 1 0
1 1 5
t
t
2; 0; 2
M M
0,25
1 2
z
(1) tr thành: a + bi + (1 – 2i)(a – bi) = 2 – 4i 2a 2b 2ai 2 4i 0,25
2
9.a
(1 )
2
1 3
ng tròn (C) tâm O 0; 0 , bán kính 6
2
;
7.b
(1 )
V y có b n i m M là M1 1; 1 ,M2 1; 1 ,M3 2; 2 ,M4 2; 2 0,25
Ta có AB ( 1; 2;1); AM ( ;3 ; 6 2 )t t t ; [ AB AM, ] (t 12; t 6; t) 0,25
2
MAB
8.b
(1 )
3t2 + 36t = 0 t = 0 hay t = –12
V y M (–2; 1; –5) hay M (–14; –35; 19) là các i m c n tìm 0,25
2
z
t z = a + bi a b,
0,25
3
2
D u b ng x y ra khi b = 1
0,25
9.b
(1 )
V y GTNN c a 3 5
2
z i b ng 20 t c khi và ch khi b = 1 Khi ó z = 1