Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
Câu 1 (2,0 i m) Cho hàm s 2 1
1
x y x
a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s
b) G i I là giao i m c a hai ti m c n c a th hàm s (C) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i th
(C) bi t r ng kho ng cách t I n ti p tuy n l n nh t
Câu 2 (1,0 i m) Gi i ph ng trình cos 2 sin 3 cos 3 sin (1 tan )
2 sin 2 1
x
Câu 3 (1,0 i m) Gi i h ph ng trình
2 2
2
7
x y y
y
Câu 4 (1,0 i m) Tính tích phân
2 4
2 4
1 2 cos
x
Câu 5 (1,0 i m) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t, AB = 2a Tam giác SAB u
và n m trong m t ph ng vuông góc v i áy ABCD Bi t SD AC, tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai ng th ng BD và SC
Câu 6 (1,0 i m) Cho a, b, c là các s th c d ng và th a mãn 3
2
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P (a b) 1 212 c2 12
PH N RIÊNG (3,0 i m): Thí sinh ch c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)
A Theo ch ng trình Chu n
Câu 7.a (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy cho tam giác ABC v i trung tuy n và phân giác trong c a nh B có ph ng trình l n l t là d1: 2x y 3 0;d2:x y 2 0 i m M(2; 1) n m
trên ng th ng ch a c nh AB, ng tròn ngo i ti p tam giác ABC có bán kính b ng 5 Bi t nh A
có hoành d ng, hãy xác nh t a các nh c a tam giác ABC
Câu 8.a (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho ng th ng ( ) : 1 1 2
d
và m t ph ng ( ) :P x 2y z 6 0 M t m t ph ng ( )Q ch a ( ) d và c t ( ) P theo giao tuy n là ng
th ng cách g c t a O m t kho ng ng n nh t Vi t ph ng trình c a m t ph ng ( ).Q
Câu 9.a (1,0 i m) Tìm t p h p các i m bi u di n s ph c ' z 2z 3 i v i , 3z i2 z z 9
B Theo ch ng trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho hai ng tròn ( C1) : ( x 1)2 ( y 2)2 5
và ( C2) : ( x 1)2 ( y 3)2 9. Vi t ph ng trình ng th ng ti p xúc v i (C1) và c t (C2) t i hai
i m A, B tho mãn AB = 4
Câu 8.b (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Oxyz cho ng th ng : 1 2
ph ng ( ) :P x 2y z 3 0 Vi t ph ng trình ng th ng n m trong (P), vuông góc v i d và có kho ng cách gi a d và b ng 2.
Câu 9.b (1,0 i m) Tìm t p h p các i m bi u di n s ph c ' z (1 i 3)z 2,v i z 1 2
Th i gian làm bài: 180 phút
Trang 2L I GI I 7:
a (1,0 i m)
T p xác nh: D R\ 1
o hàm: 1 2 0,
1
x
hàm s luôn ngh ch bi n trên mi n xác nh và không có
c c tr
0,25
Các gi i h n, ti m c n:
x x th hàm s nh n ng x = 1 là ti m c n ng
x x th hàm s nh n ng y = 2 là ti m c n ngang
0,25
B ng bi n thiên:
x 1 +
y’ + +
y +
2
2
0,25
th hàm s có d ng nh hình v :
Nh n xét:
+ th nh n i m I(1; 2) làm tâm i x ng
+ th hàm s c t tr c Ox t i i m 1; 0
2
A và c t tr c Oy t i i m B(0; 1)
0,25
b (1,0 i m)
1
(2,0
i m)
Ta có 2 1 2 1 ' 1 2
x
Trang 3Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
G i 0
0
1
; 2
1
Ph ng trình ti p tuy n t i M có d ng :
0 0
x x
Kho ng cách t i m I(1; 2) n ti p tuy n là
0
0
2
1
;
x
x
d I
0,25
Theo b t ng th c Cô-si ta có 0 2 2 max
0
1
1
x
D u '' '' x y ra khi 0 2 2 0 0
0 0
2 1
0 1
x
x x
0,25
V i x0 2 y0 3 ta có ph ng trình ti p tuy n là ( 1) :y 1.(x 2) 3 y x 5
V i x0 0 y0 1 ta có ph ng trình ti p tuy n là ( 2) :y 1.(x 0) 1 y x 1
V y có hai ti p tuy n th a mãn yêu c u bài là y = x 1 và y = x 5
0,25
i u ki n
1 sin 2
(*) 2 cos 0
x x
V i i u ki n (*) ph ng trình ã cho t ng ng:
3sin 4sin 4 cos 3cos
2sin 2 1
x
0,25
sin cos 0 (1) (sin cos )(2sin 2 1) sin (sin cos )
cos
x
0,25
4
2
(1,0
i m)
cos sin 0 tan 1
1 cos 0 cos 1
2
So v i i u ki n (*) suy ra các h nghi m c a ph ng trình là , 2 ,
4
0,25
i u ki n y 7 Khi ó h ã cho t ng ng v i:
t: u x2 x 3;v y2 7,v 0 Khi ó h ph ng trình tr thành:
2 2 13 6
uv
0,25
3 2
u
+) V i
2 2
3 3 3
u
v y các nghi m c a h là 0; 11 , 1; 11 0,25
3
(1,0
i m)
+) V i
2 2
3 2 2
u
v y các nghi m c a h là
; 4 , ; 4
V y h ã cho có nghi m là 0; 11 , 1; 11 , 1 5; 4 , 1 5; 4
0,25
Trang 4Ta có
1 2
1 2 cos 1 2 cos 1 2 cos
+) Xét
0
0
1 2cos 1 2cos 1 2 cos
Khi ó:
( )
1 2cos 1 2 cos ( ) 1 2 cos 1 2 cos
Suy ra I1 J1 J2 0
0,25
+) Xét
2
1
2 cos
x
0,25
cos
dx
x i c n:
1
1
1
t
L i t t 3 tanu dt 3(1 tan2u du ) i c n: 1 ; 1
0,25
4
(1,0
i m)
2
6 6
I du u V y 1 2= 3
9
5
(1,0
i m)
G i H là trung i m c a AB, do
Tam giác SAB u c nh 2a nên 3 2 3 3
Ta có AC SD AC SHD AC HD
0,25
Trang 5Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
G i E là giao i m c a AC và HD, suy ra E là tr ng tâm c a tam giác 1
3
Trong tam giác vuông AHD ta có 2 2 1 2 2 1 2 2
3
.
a
0,25
Trong m t ph ng (ABCD), qua C d ng ng th ng song song v i BD, c t ng AB, HK l n
l t t i I và J Khi ó BD // (SIJ) hay BD // (SIC) Suy ra ( d BD SC; ) d BD SIJ( ;( ))
K ( ) ( ; ( )) ( ;( )) 2 ( ; ( ))
3
Trong (SHM) ta d ng HN HM HN (SIJ) d H SIJ( ; ( )) HN
0,25
Ta có 3 , 3 2 1 2 12 12 12 42 12
a
M t khác 12 1 2 12 12 12 22 6
a HN
T ó suy ra , 2 6
a
0,25
Cho a, b, c là các s th c d ng và th a mãn 3
2
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P (a b) 1 212 c2 12
Ta có
2
2
2
0,25
Xét b : a2 b2 c2 d2 (a c)2 (b d) , (*)2
Th t v y, (*) (a2 b2) (c2 d2) 2 (a2 b2)(c2 d2) (a c)2 (b d)2
(a b )(c d ) ac bd (a b )(c d ) (ac bd) (ad bc) 0
D u '' '' x y ra khi ad bc a c
Áp d ng (*) ta c
2
0,25
6
(1,0
i m)
Theo b t ng th c Cô-si ta có (a b c) 1 1 1 9 1 1 1 9
Do ó
2
2
( )2 81 2 1215 2
Do ( )2 81 2 2 ( ) 2 81 2 9
2
2
1215 1215 135
9 4
16
4
Suy ra 9 135 3 17
P
0,25
Trang 6V y 3 17 min 3 17
2
Ta có d1 d2 B t a i m B th a mãn h 2 3 0 1 (1;1)
B
Khi ó, ng th ng AB c ng chính là ng th ng BM
(1;0) BM (0;1) ( ) : 1
BM n BM y Ta có A (BM) A a( ;1)
0,25
G i N là i m i x ng c a M qua phân giác (d2) c a góc B N (AC)
ng th ng MN có véc t pháp tuy n là n MN (1; 1) (MN) :x y 1 0
G i K (MN) d2 t a i m K th a mãn
3
;
2
x
K
y
N
Khi ó (BN) (BC BN), (0; 1) n BN (1; 0) (BN) :x 1
Ta có C (BN) C(1; ).c
0,25
G i I là trung i m c a 1 ;1
2 2
AC I Do I c ng thu c trung tuy n nên 2a + c 3 = 0,
(1)
Ta có 1 ; 0 0
0; 1
AB BC
hay ABC vuông B
Do ó R IB 5 a 12 c 12 20, (2)
T (1) và (2) ta có h ph ng trình
0,25
7.a
(1,0
i m)
Gi i h trên ta c a = 3; c = 1 A(3; 1) ; C(1; 3)
V y t a các nh c a tam giác ABC là A(3; 1), B(1; 1), C(1; 3) 0,25
G i H, I l n l t là hình chi u vuông góc c a
O lên (P) và
Ta có ( , )d O OI OH ( không i)
Do ó dmin OH x y ra khi I H
I (d)
Q O
0,25
ng th ng OH i qua O(0; 0; 0) và nh n vtpt c a (P) vtcp : 2
(1) 0,25
( ) :P x 2y z 6 0 (2)
T (1) và (2) suy ra 6t 6 0 t 1
T (1) H(1; 2;1)
0,25
8.a
(1,0
i m)
Khi ó (Q) là m t ph ng ch a (d) và i qua H
Ta có M(1;1; 2) ( )d , VTCP c a ( )d là u (1;1; 2), HM (0; 1;1)
Suy ra véc t pháp tuy n c a (Q) là n Q u HM, ( 1; 1; 1),(Q) i qua M(1;1; 2)
Do ó ( ) : 1(Q x 1) 1(y 1) 1(z 1) 0 x y z 4 0
0,25
Trang 7Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
Gi s ta có , ,
Khi ó
3
2
x a
b
0,25
2
9.a
(1,0
i m)
V y qu tích các i m bi u di n s ph c 'z là hình tròn tâm 3; 7 , 73
(C1) có tâm I1(1; 2) và bán kính R1 5;(C2) có tâm I2( 1; 3) và bán kính R2 = 3
G i h d I( ; ),2 ta có: AB 2 R22 h2 h 5 (2) 0,25
T (1) và (2) suy ra song song v i I1I2 ho c i qua trung i m 0; 5
2
M c a I1I2 0,25
7.b
(1,0
i m)
Vì M n m trong (C1) nên không x y ra kh n ng qua M, do ó // I1I2 suy ra ph ng trình
có d ng x 2y m 0,khi ó ( ; )1 5 5 5 0
10 5
m m
d I
m
V y có hai ng th ng th a mãn yêu c u bài toán là x – 2y = 0 và x – 2y – 10 = 0
0,25
(2;1;1);
d
u n( )P (1; 2; 1), do ó ng có m t vect ch ph ng là
, (3; 3; 3)
G i (Q) là m t ph ng ch a và song song v i d, ta có: ( ) 1 , (0;1; 1)
3
Ph ng trình ( ) :Q y z m 0 Ch n A (1; 2;0) d ta có: , ( , ( )) 2 0
4
m
d A Q
m
0,25
V i m = 0 vì ( )P ( )Q nên i qua B(3; 0; 0), ph ng trình : 3
0,25
V i m = 4, vì ( )P ( )Q nên i qua C(7; 0; 4), ph ng trình : 7 4
0,25
8.b
(1,0
i m)
Cách 2: (S d ng ki n th c v hình chi u và ng vuông góc chung)
Ta có u n d P 3 0 d và (P) c t nhau t i i m I T a i m I th a mãn h ph ng trình
2 0 0 (5; 0; 2)
G i M(1; 2; 0) là m t i m b t kì thu c d D ng MN (P) thì IN là hình chi u vuông góc c a d
xu ng (P)
ng th ng MN có m t véc t ch ph ng là
1 (1; 2; 1) ( ) : 2 2
Trang 8T a i m N th a mãn
1
2 2
Gi i h ta c
2
0 2;0; 1 1
x
z
T ó IN 3;0; 3 u IN (1; 0;1)
ng (IN) d có ph' ng trình
5 ' : 0 2
G i H là m t i m b t kì thu c ' d H(5 t; 0; 2 t) ng th ng c n l p vuông góc v i d và
n m trong (P) nên d' u u u d; d' (1; 1; 1)
T H ta d ng HK d, khi ó HK chính là dài o n vuông góc chung c a d và
Theo bài
2
;
3
6
d
d
u MH
t
u
V i t = 2 thì (7;0; 4) : 7 4
H
V i t = 2 thì (3;0;0) : 3
H
V y có hai ng th ng th a mãn yêu c u bài toán
Gi s ta có , ,
Khi ó 'z (1 i 3)z 2 x yi (1 i 3)(a bi) 2 x yi a b 3 2 (b a 3)
3 2
4
a
b
0,25
Theo bài,
6 2 3 4 0 ( 3) ( 3) 16
0,25
9.b
(1,0
i m)
V y qu tích các i m bi u di n s ph c 'z là hình tròn tâm I 3; 3 ,R 4 0,25