Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m)
a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s
3
y mx c t th (C) t i ba i m phân bi t A, B, C sao cho i m A c
nh và di n tích tam giác OBC g p hai l n di n tích tam giác OAB, v i O là g c t a
Câu 2 (1,0 i m)
x
Câu 3 (1,0 i m) Gi i h ph ng trình
2
Câu 4 (1,0 i m) Tính tích phân
1
0
ln(2 1)
x
x
Câu 5 (1,0 i m) Cho hình l ng tr ABC A B C có áy ABC là tam giác cân, AB = BC = 3a, ' ' ' 2
AC a Các m t ph ng ( ' B AB), ( 'B AC), ( 'B BC cùng t o v i m t ph ng (ABC) góc 60) 0 Tính th tích kh i l ng tr ABC A B C theo a ' ' '
Câu 6 (1,0 i m) Cho x, y, z là các s th c d ng
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
PH N RIÊNG (3,0 i m) Thí sinh ch c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)
A Theo ch ng trình Chu n
Câu 7.a (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho ng tròn
( ) :C x y 8x 6y 21 0 và ng th ng d x: y 1 0 Xác nh t a các nh c a hình
vuông ABCD ngo i ti p (C) bi t A d
Câu 8.a (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho ng th ng : 1 1
và hai
i m (1; 2; 1),A B(3; 1; 5) Vi t ph ng trình ng th ng d i qua i m A và c t ng th ng
sao cho kho ng cách t B n ng th ng d là l n nh t? nh nh t?
Câu 9.a (1,0 i m) Tìm s ph c z th a mãn z2 z z
B Theo ch ng trình Nâng cao
( ) :C x y 2x 2y 23 0 Vi t ph ng trình ng th ng i qua i m A(7 ; 3) và c t ng
tròn (C) t i hai i m B, C sao cho AB = 3AC
Câu 8.b (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho các i m A(2; 0; 0), H(1; 1; 1) Vi t
ph ng trình m t ph ng (P) i qua A, H sao cho (P) c t Oy, Oz l n l t t i B, C th a mãn di n tích c a tam giác ABC b ng 4 6.
Th i gian làm bài: 180 phút
Trang 2Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
2
1 log x 4x 2 log 4(x 3) log (2 x)
a) (1,0 i m)
T p xác nh: D
3
x
Hàm s ng bi n trên ( ; 1) và (3; + ); hàm s ngh ch bi n trên (1; 3)
Hàm s t c c i t i x = 1; y = 1 và t c c ti u t i 3; 1
3
0,25
Gi i h n, i m u n:
3
0,25
B ng bi n thiên:
x 1 3 +
y’ + 0 0 +
y
1 +
1
3
0,25
th hàm s có d ng nh hình v :
0,25
2 (1,0 i m)
Ph ng trình hoành giao i m c a và (C) là 1 3 2 2 3 1 1
2
1
3
0,25
ng th ng c t (C) t i ba i m phân bi t A, B, C khi ph ng trình (2) có hai nghi m phân
bi t x1; x2 và khác 0
, (*)
m
0,25
1
(2,0 i m)
Trang 3Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!
3 4
, ( )
Mà x1; x2 là nghi m c a ph ng trình (2) nên 1 2
1 2
m
i chi u v i i u ki n (*) ta c 3
4
m là giá tr c n tìm
0,25
3
2
7 6
2 6
0,25
2
(1,0 i m)
6
V y ph ng trình ã cho có ba nghi m thu c kho ng (0; ) là 5 ; 17 ; 5
0,25
Gi i h ph ng trình
2
+) T (2) suy ra y 1 (x 2)2 y x2 4x 3
+) Thay vào (1) ta c x2 4x 3 2(x 2) x 6 0
0,25
Ta có pt bi n i thành t4 2t3 16t2 16t 57 0 (t 3)(t3 5t t 19) 0 0,25
3
(1,0 i m)
Ta d dàng ch ng minh c ph ng trình t3 5t t 19 0 vô nghi m v i t 2 2
+) Xét
1
x
1
0
0,25
+) Xét
1
2 2
4
(1,0 i m)
T ó ta c
1
2
0
x
Trang 4Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
G i H là hình chi u c a B trên m t '
ph ng (ABC), M, N, P l n l t là hình
chi u c a H trên AC, AB và BC Khi ó
( 'B AC);(BAC) B MH'
0,25
T ng t ta có
0
V y H là tâm ng tròn n i ti p tam giác ABC.
Ta có S ABC p p( a p)( b p)( c) 4 2 a a a a 2 2a2
0,25
M t khác
2
ABC ABC
0,25
5
(1,0 i m)
' ' '
6
2
ABC A B C ABC
a
Ta có
2
T ng t ta c ng có
2
2 2
2
y
2
2 2
2
z
0,25
Xét hàm s ( ) 1 2 2, 0
2
x
3
2
x
0,25
6
(1,0 i m)
L p b ng bi n thiên c a hàm s f(x) suy ra
(0; )
min ( )
2
2
P
0,25
ng tròn (T) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2
Gi s AB và AD ti p xúc v i (T) l n l t t i N và M Khi ó AMIN là hình vuông c nh b ng 2
nên AI 2 2
0,25
2
t
7.a
(1,0 i m)
M
C'
A'
A
B'
H N P
Trang 5Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!
G i d là ng th ng i qua A và c t t i M
( 1 2 ;3 ; 1 )
( 2 2 ;3 2; ), (2; 3; 4)
G i H là hình chi u c a B trên d Khi ó
( , )
V y ( , )d B d l n nh t b ng BA H A
0,25
Khi ó ta cóAM AB AM AB 0 2( 2 2 ) 3(3t t 2) 4t 0 t 2 M(3; 6; 3)
G i (P) là m t ph ng ch a d và , khi ó (P) có ph ng trình là x – y – z = 0
G i K là hình chi u c a B trên ( ) P BH BK V y ( , ) d B d nh nh t b ng BK H K
Lúc ó d là ng th ng i qua A và K.
0,25
8.a
(1,0 i m)
T a i m K th a mãn h
0 0
( )
2
P
x
z
1
1
d
0,25
Gi s s ph c z c n tìm là z x yi x y, ;
0
y
0,25
2
2
2
3
3 0
4
4
y
y
y
0,25
9.a
(1,0 i m)
V y có 3 s ph c th a mãn yêu c u bài toán là 0; 1 5 2 5
0,25
7.b
(1,0 i m) ng tròn (C) có tâm I(1 ; 1), bán kính R = 5
Trang 6Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
G i H là trung i m c a BC
Khi ó HB HC AC và IH BC
T các tam giác vuông IHB và IHA ta có
4
2 2 2
3
0,25
Gi s có m t véc t pháp tuy n là n ( ; ),a b a2 b2 0 : (a x 7) b y( 3) 0
Theo bài ta có IH 4 d I( , ) 4 3a 2b 2 a2 b2 9a2 12ab 4b2 4(a2 b2)
5
0,25
+) V i a = 0, ch n b = 1 ta c :y 3 0
5
V y có hai ng th ng th a mãn yêu c u bài toán là y 3 0; 12x 5y 69 0
0,25
G i B(0; b; 0); C(0; 0; c) Ph ng trình m t ph ng (P) là ( ) : 1
2
P
2
0,25
ABC
Theo bài ta có 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 2 4( )2 8 384
12
bc
bc
0,25
8.b
(1,0 i m)
12
bc
b, c là nghi m c a ph ng trình 2
V y có 3 m t ph ng th a mãn yêu c u bài toán
0,25
i u ki n
0
4
4
x
x x
x
Ph ng trình ã cho c vi t l i thành 1 log (2 x2 4 )x log (22 x 3 ) log (22 x)
0,25
9.b
(1,0 i m)
+) V i x > 4 thì (*) x2 4x (x 2)(x 3) x2 4x x2 x 6 3x 6 x 2,(lo i) 0,25
I
Trang 7Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!
4
i chi u v i i u ki n ta c 5 73
4
x là nghi m c a ph ng trình ã cho
0,25