Theo gi thi t SH ABCD.
Trang 1Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!
Câu 1 (2,0 i m) Cho hàm s 2 1
1
x y
x có th là (C)
a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s
b) Tìm các giá tr m ng th ng y 3x m c t (C) t i A và B sao cho tr ng tâm c a tam giác OAB thu c ng th ng x 2y 2 0 (v i O là g c t a )
Câu 2 (1,0 i m) Gi i ph ng trình cos cos 3 1 2 sin 2
4
Câu 3 (1,0 i m) Gi i b t ph ng trình x3 (3x2 4x 4) x 1 0
Câu 4 (1,0 i m) Tính tích phân
2
0
sin sin
cos
Câu 5 (1,0 i m) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t, AB a AD, 2 2a Hình chi u vuông góc c a i m S trên m t ph ng (ABCD) trùng v i tr ng tâm c a tam giác BCD ng
th ng SA t o v i m t ph ng (ABCD) m t góc 450 Tính th tích c a kh i chóp S.ABCD và kho ng cách
gi a hai ng th ng AC và SD theo a
Câu 6 (1,0 i m) Cho x, y, z là các s th c d ng
Ch ng minh r ng
1
PH N RIÊNG (3,0 i m) Thí sinh ch c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)
A Theo ch ng trình Chu n
Câu 7.a (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho hai ng th ng d1: 3x y 5 0, d2:
3x y 1 0 và i m (1; 2)I Vi t ph ng trình ng th ng i qua I và c t d1, d2 l n l t t i A và B
sao cho AB 2 2
Câu 8.a (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho hai i m A( 1; 1 ;2), B( 2; 2; 1) và
m t ph ng (P) có ph ng trình x 3y z 2 0 Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) là m t ph ng trung
tr c c a o n AB G i là giao tuy n c a (P) và (Q) Tìm i m M thu c sao cho o n th ng OM nh
nh t
Câu 9.a (1,0 i m) Gi i h ph ng trình
2
B Theo ch ng trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho hai ng th ng d1: 3x y 5 0, d2:
x y và i m (1; 2)I G i A là giao i m c a d1 và d2 Vi t ph ng trình ng th ng i qua
I và c t d1, d2 l n l t t i B và C sao cho 12 1 2
AB AC t giá tr nh nh t
Câu 8.b (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho m t ph ng ( ) : P x y z 3 0 và hai
d Xác nh t a i m M thu c d1, i m
N thu c d2 sao cho MN song song v i (P) và o n th ng MN nh nh t
Th i gian làm bài: 180 phút
Trang 2Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
Câu 9.b (1,0 i m) G i z1, z là hai nghi m c a ph2 ng trình 2 5
21
Tìm s n nguyên d ng nh nh t sao cho z1n z2n 1
a (1,0 i m)
T p xác nh: D R\ 1
o hàm: 3 2 0,
1
x
hàm s luôn ngh ch bi n trên mi n xác nh và không có
c c tr
0,25
Các gi i h n, ti m c n:
lim ; lim
x x th hàm s nh n ng x = 1 là ti m c n ng
2 1 2 1
x x th hàm s nh n ng y = 2 là ti m c n ngang
0,25
B ng bi n thiên:
x 1 +
y’
y
2
+
2
0,25
th hàm s có d ng nh hình v :
Nh n xét:
+ th hàm s nh n i m I(1; 2) làm tâm i x ng
+ th hàm s c t tr c Ox t i i m 1; 0
2 và c t tr c Oy t i i m (0; 1)
0,25
b (1,0 i m)
Ph ng trình hoành giao i m: 2 1 2
3 ( ) 3 (1 ) 1 0 1
x
1
(2,0
i m)
Trang 3Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!
2
11 (1 ) 12( 1) 0
( 1)( 11) 0
1 (1) 3 (1 ) 1 0
m
m
Gi s A x( ; 31 x1 m B x), ( 2; 3x2 m là các giao i m, v i x) 1, x2 là 2 nghi m c a g(x) = 0
G i I là trung i m c a 1 2 1 1
G i G là tr ng tâm tam giác OAB 2 1 ; 1
m m
0,25
Theo bài, 1 2 1 2 0 11
So sánh v i i u ki n ta c 11
5
m là giá tr c n tìm
0,25
Ph ng trình 2cos 2 cosx x 1 sin 2x cos 2x cos 2 (2cosx x 1) 1 2sin cosx x 0,25
(cos sin )(2cos 1) (cos sin )
(cos sin )(2cos 1) cos sin (2)
+ (1) 2 sin 0
2
(1,0
i m)
+
cos 0
2 (2) 2cos (cos sin 1) 0
2 cos 1
2 4
4 4
x
V y ph ng trình ã cho có nghi m là ; ; 2 ;
0,25
i u ki n : x 1 t 1 2 0
1
y
B t ph ng trình tr thành 3 2 2
(3 4 ) 0, (*)
0,25
TH1. y 0 x 1: (*) nghi m úng
TH2. y 0 x 1: chia hai v c a (*) cho y ta 3 c
3 4 0
3 4 0 ( 1)( 4 4) 0 ( 1)( 2) 0
2
t x
t y
0,25
+) V i
2
2 1
1 0
1 0
2 2 2
4 4 0
S
x
x
x
+) V i
2
1 0
1 0
0
2
1 5 1 5
1 0
x x
x x
x
y
0,25
3
(1,0
i m)
K t h p v i i u ki n ta c 1 1 5
2
V y t p nghi m c a b t ph ng trình là 1;1 5
2
T
0,25
4
(1,0
i m) Ta có
sin sin cos 1 sin 1 sin
cos
0,25
Trang 4Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
0 0
(1 sin )
0,25
Xét
2 0
(1 sin ) ( cos )
ln cos ln
0,25
V y
2
1 ln
G i H là tr ng tâm tam giác BCD Theo gi thi t SH (ABCD)
2 1
2
3 3
0,25
.
.2 2 2
S ABCD ABCD
0,25
Qua D k ng th ng Dx // AC Khi ó AC// (SDx) d AC SD; d AC SDx; d H SDx;
Trong (ABCD), k HK Dx, (K Dx) Trong (SHK), k HI SH (I SK)
Ta có Dx HK Dx; SH Dx SHK Dx HI
M t khác, HI SK HI SDx HI d H SDx;
0,25
IV
(1,0
i m)
Ta có ; 12 12 12 12 12 92 12 92
11 11
8 4 8
a
V y ; 22
11
a
0,25
Trang 5Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!
Ch n h tr c t a v i (0;0;0), ( ; 0;0), (0; 2 2 ; 0), 2 ;4 2 ; 2 , ( ; 2 2 ; 0)
3 3
; ; ; ( ; 2 2 ;0); ; ; ; (2 2 ; ; 2 )
M t ph ng (ACM) i qua i m A và có véc t pháp tuy n n 2 2; 1; 2 nên có ph ng trình
2 2 2 2
2 2 2 0 ( ; ( ))
8 1 2 11
Xét các véc t u x y z; ; ,v x y z'; '; ' u v u v .cos u v; u v u v u v
2
D u b ng x y ra khi cos ; 1 ; 00
' ' '
t
P
y zx z z xy x x yz y Ta c n ch ng minh P 1
Áp d ng (*) ta có (y zx z)2 ( y y x z z z)2 (y x z y)( z z)
0,25
T ng t ,
;
0,25
C ng v theo v ta c 2 2 2 1
P
2( )
0,25
6
(1,0
i m)
L i có, x y z 2 x2 y2 z2 2 xy yz zx 3 xy yz zx
Suy ra 2.3 1 1 1
3
ng th c x y ra x = y = z
Th y gi i thi u n các em 2 cách gi i khác cho bài toán này c a ch trang_luv_maths (Kh ng
long b o chúa – Mod Toán c a Moon.vn):
Ta i ch ng minh b sau:
Chox y z, , là các s th c d ng Khi ó ta có:
B 1: xy yz zx 2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 , (B T Bunhiacopxki cho b ba s )
Th t v y, ta có: x2 y2 2xy y; 2 z2 2yz z; 2 x2 2xz
2 2
B 2:
2
y z x x y z , (B t ng Th c Cauchy – Schwarz)
Áp d ng b 1 ta c
2
Suy ra i u ph i ch ng minh
Áp d ng vào gi i bài toán:
Cách 1: Theo B T Bunhiacopxki v i b ba s ta có:
0,25
Trang 6Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
2
x x
Ch ng minh t ng t ta c:
2 2
2 2
2
2
x
y y
z
Mà
( PCM)
Cách 2: Áp d ng b 2 ta có:
2
2
VT
t x xy z 2 a y; zx z 2 b x; yz y 2 c
B T t ng ng:
2
VT
L i có: a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 3 ab bc ca
V y VT 1 Ta có i u ph i ch ng minh
G i A d1 A a( ; 3a 5);B d2 B b( ; 3b 1) IA (a 1; 3a 3) 0;IB (b 1; 3b 1)
3 1 ( 3 3)
0,25
N u a 1 b 1 AB 4 (không th a mãn)
N u 1 3 1 1( 3 3) 3 2
1
b
a
0,25
Theo bài, AB (b a)2 3(a b) 42 2 2 t2 (3t 4)2 8,(v i t b a )
2
2
5 12 4 0 2
5
t
t
0,25
7.a
(1,0
i m)
+) V i t 2 b a 2 b 2,a 4 : 5x y 3 0
+) V i 2 2 6, 8 :13 11 0
V y có hai ng th ng th a mãn yêu c u bài toán
0,25
G i I là trung i m c a AB 3; 3 3; ( 1; 1; 1)
2 2 2
Ph ng trình c a m t ph ng (Q) là 3 0
2
0,25
8.a
(1,0
i m)
ng th ng i qua i m 7; 0;1
4 4
I và có vtcp u (2; 1; 1)
0,25
Trang 7Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!
Ph ng trình tham s c a là
7 2 4
1 4
2 2
4 khi
5 19 5 3
; ;
8 6 8 8
V y 19; 5; 3
6 8 8
M là i m c n tìm
0,25
Gi i h ph ng trình
2
2log 2 2 log 1 6, (1) log 5 log 4 1, (2)
i u ki n 1 1 0 0 1
0,25
t t log1 x(y 2) 2 2t 2 6 2t2 4t 2 0 t 1 y x 3
9.a
(1,0
i m)
Th vào (2) ta c log1 2 log1 4 1 log1 2 1 2 1
4 2 0
2 6
x
x
i chi u v i i u ki n ta c x 2 6;y 1 6 là nghi m c a h ph ng trình
0,25
Ta nh n th y n n d1 d2 d1 d2 ABC vuông t i A
A d d t a i m A th a mãn h ph ng trình 3 5 0 2 ( 2;1)
3 5 0 1
A
0,25
G i H là hình chi u c a A trên BC Do ABC vuông t i A nên 12 12 12
1 1
AB AC nh nh t khi 2
1
AH nh nh t, t c là AH l n nh t
Do AH AI AHmax AI H I
0,25
7.b
(1,0
i m)
Khi ó là ng th ng I và có véc t pháp tuy n n AI ( 1; 1) 1(1;1)
Ph ng trình c a ng th ng là x + y + 1 = 0 0,25
M t ph ng (P) có véc t pháp tuy n là n P (1; 1;1)
Ta có M d1 M( 1 2 ;1t t;1 t);N d2 N(1 t';3 t'; 1 2 ')t 0,25
(2 ' 2 ; 2 ' ; 2 2 ' )
Theo bài, MN// ( )P 2 t' 2t (2 t' t) 2 2 't t 0 t' 2t 1 0,25
Khi ó,
2
(3;3 3;3 ) 3 2( 1) 3 2
2 2 2
8.b
(1,0
i m)
dài MN nh nh t b ng 3 2
2 khi
2; ; , 1;3; 1
V y các i m c n tìm là 2; ;3 1 , 1; 3; 1
2 2
0,25
9.b
(1,0
i m)
Ph ng trình 2 5
2cos 1 0 21
z z (1)
0,25
Trang 8Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
(1) có
2
' cos 1 sin sin
21 21 i 21
V y (1) có các nghi m là
1
2
cos sin
21 21
cos sin
21 21
1 cos sin cos sin 1
n n
0,25
cos cos 1 2cos 1
0,25
Vì n là s nguyên d ng nh nh t nên t (*) suy ra n = 7 0,25