15 đề thi thử đại học môn toán (có lời giải)

PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần a hoặc phần b a.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=1.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được

ĐỀ SỐ 1

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số ( 2) 3( 1) 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=−2

b) Tìm m>0để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là y CĐ,y CT thỏa mãn

2y CĐ+y CT =4

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình (tanx+1)sin2x+cos2x+2=3(cosx+sinx)sinx

Câu 3 (1,0 điểm) Giải bất phương trình log (2 ) log (4 18 ) 0

2

2 1

Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân d

723

3

6 ln 0

∫

+++

e e

e I

x x x

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có SC⊥( ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3và

1200

=

∠ABC Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB và ) ( ABCD bằng ) 450. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD và

khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD

Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2 ≤3y Tìm giá trị nhỏ nhất của

.)3(

8)

2(

4)

1(

1

2 2

2

+

++

++

=

z y

x P

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b)

a Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường thẳng AC là ,

,031

7 − =

+ y

x hai đỉnh B,D lần lượt thuộc các đường thẳng d1:x+y−8=0,d2:x−2y+3=0 Tìm tọa độ các đỉnh của

hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm

Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng ,

1

71

51

4:1

d Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(−1;2;0), ⊥d1 và tạo với d2 góc 600

Câu 9.a (1,0 điểm) Tìm hệ số của 7

x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

, biết rằng n là số nguyên dương

thỏa mãn 4C n3+1+2C n2 = A n3

b Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng , d1:x − y−2=0 và d2:x + y2 −2=0 Giả sử d1 cắt d2 tại I Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(−1;1) cắt d1 và d2tương ứng tại A,B sao cho

42

Câu 9.b (1,0 điểm) Cho tập E ={1,2,3,4,5} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một

khác nhau thuộc tập E Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5

;1

30

'

;1

30

x

x y

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −3) (, −1; +∞); nghịch biến trên (−3 −; 1)

* Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=−3, y CĐ =1, hàm số đạt cực tiểu tại x=−1, y CT =−3

10

1)

2(0

'

2

1 2

m x x

x x m

x m x y

Chú ý rằng với m>0 thì x <1 x2 Khi đó hàm số đạt cực đại tại x1=−1 và đạt cực tiểu tại

.1

2 = m−

.1)1)(

2(2

1)1(,

2

3)1

3

−

⇔

.2

331

10

)8)(

1

m

m m

m m

Đối chiếu với yêu cầu m>0 ta có giá trị của m là

2

331,

1 =− +

= m m

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

(tanx+1)sin2x+1−2sin2 x+2=3(cosx+sinx)sinx

x x

x x x

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

cos(sin

0)cos3)(sincos(sin

0cos)sin(cos3sin)1(tan

sin)sin(cos32cos3sin)1(tan

2 2

2 2

=+

−

⇔

−

=+

−

⇔

x x

x

x x

x x

x x x x

x

x x x

x x

42

12

cos

cossin

Z

k k x

k x

x

x x

π π

π π

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x= +k x=± +k ,k∈Z

3

,

ππ

π

0,5

018

4

018

,02

x x

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

log 2 log (4 418 )

2

4184

0)252)(

2(4

048

4)

4(20

04

2 3

2 4 2 4

t

t t t t t

t t t

t t

t t

e x = − ⇒ x = Khi x=0⇒t=2, khi x=ln6⇒t=3

+

−+

=

3 2 2 3

2

132

27)3(23

d2

t t t

t t

t

t t

=++

=

3 2

3 2

d12

11t

12d)12)(

1(

t

t t t t

63

80ln)5ln7(ln)3ln24ln2(12ln1ln2

2

3 2

−+

CB CK CBK

∠

.2

345tan 0 a CK

.2

33120sin

2

BC AB

4

33

3

.

a S

3

Gọi O=AC∩BD Vì BD⊥ AC, BD⊥SC nên BD ⊥ (SAC) tại O Kẻ OI ⊥SA⇒OI là

đường vuông góc chung của BD là SA

Sử dụng hai tam giác đồng dạng AOI và ASC hoặc đường cao của tam giác SAC suy ra

.10

5352

10

53),

81

1

b a b

12(

1)

1(

1

+

++

++

=

z y

x

8)

121(

8

+

++++

≥

z y

x

2

4.64)

322(

64

+++

=++++

≥

z y x z

y x

)106(

4.64

2 =+

≥

Dấu đẳng thức xảy ra khi x=1,y=2,z=1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt khi x=1,y=2,z=1

0,5

),8

;(8

d

)8

;32(− + − + −

32

−

=

−+

996

0131380

d

b d

b

d b AC

I

BD u AC

1)

1

;1(

)8

;0(

15

2

;11(

)ktm()3

;10(6

34

92

92

2252

92

637

2 2

2

A

A a

a a

a a

Suy ra A(−11;6)⇒C(10;3)

0,5

Giả sử ∆ có vtcp u∆ =(a;b;c),a2 +b2+c2 ≠0

.00

3)2(

22

160cos

411

260

),

2 2 2

0

c b a

c b a

+++

2

2,

c b c a

c b c a

Với a=c,b=2c, chọn c=1⇒u∆ =(1;2;1) ta có

12

21

1:x+ = y− = z

∆Với a=−2c,b=−c, chọn c=−1⇒u∆ =(2;1;−1) ta có

11

22

1:

Ta có ( 1) ( 1)( 2), 3

6

)1((

)1(.42

3,01112

3),23(3)1(3)1(2

2

2 2

=

⇔

≥

=+

−

⇔

≥+

−

=

−+

−

⇔

n

n n

n

n n

n n

11 0

11 2 11

k k

k

x C

x x

C x

x

Số hạng chứa 7

x là số hạng ứng với k thỏa mãn 22−3k =7⇔k =5.Suy ra hệ số của 7

26

16

;542

)4

;6(

56

40

6445

0

0 2

B

B b

b b

−

=+

43

)1(0

32)()1

;4

;2(

0.//

)

(

C B A

C B A P

H

n u d

2 2

C B A

C B A P

M

++

−

⇔

.17501722

B A

B A B

AB A

Với A = B, ta có C = B, không thỏa mãn (2)

Với 5A =17B, ta có

5

19,

5

17

B C

135

25

3

.)()()(

2 2

1 60

1 60

1 24

1 24 1 60

1 60

1 36

=+

=

∪

C C

C C C C

C C B P A P B A P

25

1225

131)(

ĐỀ SỐ 2

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số

2+

−

=

x

x m

y có đồ thị là (H m), với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=1

2 Tìm m để đường thẳng d:2x + y2 −1=0 cắt (H m) tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích là

8

3

=

S

Câu II (2,0 điểm)

1 Giải phương trình sin3x.(1−cotx)+cos2x.(cosx−sinx)=cosx+sinx

2

112log)1(log

3 3

2

)3ln(

dx x

x

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SC⊥( ABC) và tam giác ABC vuông tại B Biết rằng

)0(3

chóp S.ABC theo a

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn 13x+5y+12z=9 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

x z

zx z

y

yz y

x

xy A

+

++

++

=

2

62

3

B PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b)

a Theo chương trình Chuẩn:

Câu VIa (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho các đường thẳng d1:2x + y+3=0;

.087

:

;012

3

:

d Tìm điểm P∈d1 và Q∈d2 sao cho ∆ là đường trung trực của đoạn thẳng PQ

2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD và có

)1

;3

;1(),0

;2

;1(),

Câu VIIa (1,0 điểm) Trong Kỳ thi tuyển sinh năm 2013, trường A có 5 học sinh gồm 3 nam và 2 nữ cùng đậu vào khoa

X của một trường đại học Số sinh viên đậu vào khoa X được chia ngẫu nhiên thành 4 lớp Tính xác suất để có một lớp

có đúng 2 nam và 1 nữ của trường A

b Theo chương trình Nâng cao:

Câu VIb (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm K(3; 2) và đường tròn

0142:

)

(C x2 +y2− x− y+ = với tâm là I Tìm tọa độ điểm M∈(C) sao cho ∠IMK=600

2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng

2

12

31

2:

2

;2

;2(),0

A ∈ Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 3 2

Câu VIIb (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

.337923

)1( 3332

1

=

−+++

C

- Hết -

3' 2 < ∀ ≠−+

−

x y

Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;−2) và (−2;+∞)

y − −

y

∞+1

+

−

x x

m x

170

)1(22)2.(

2

01617

2

m

m m

m

Ta có

.1617.2

24

)(

.2)(

.2)(

)

1 2 2

1 2 2

1 2 2 1

31617.2

2.22

1.2

1

.2

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

2

1 (1,0 ñiểm)

ðiều kiện: sinx≠0⇔ x≠kπ, k∈Z

Phương trình ⇔sin3 x+cos3 x−(sin2 xcosx+cos2 xsinx)=cosx+sinx

0)cos(sin

cossin2

0)1cossin2cos)(sin

cos

=+

⇔

=

−

−+

+

⇔

x x

x x

x x x

x x

k x

k x

=

4

20

)4sin(

0cos

π π

π π

01

012

01

)1.(

121

2 3

−

=+

⇔

x x

x

x x x

=+

−

−

=+

−

⇔

1

;0

2

;10

023)

12(1

121

2 2 2

2

x x

x x x

x

x x x

x x

x x

x

dx dv x

x v dx x

x

,3

3 2

32

)3ln(

1

x

dx x

x

3

1 2

32

12ln3

14ln

1)

1(tan3.)1(tan3

6 3

6

2 2

1

ππ

16ln3

13312ln3

14

+

=+

Gọi H, K là hình chiếu của C lên SA, SB

Ta chứng minh ñược CK ⊥(SAB), SA⊥(CHK)

Suy ra ∆CHK vuông tại K và SA ⊥ KH

Do ñó α =∠CHK

Từ

19

1319

13sin

ðặt SC = x>0 Trong tam giác vuông SAC ta có

.3

31

11

2 2

2 2 2

2 2 2

x a

x a CH

CS CA

2 2 2

x a

x a CK

(3

)3

(2

2 2

2 2

=+

+

⇒

x a

x a

2

1.3

1

3

1

a BC

AB SC S

13

3

13

13

x x

xy y

x

xy

+

=++

≤

=

≤++

);

2(9

1

zx z

y z y

yz

+

≤++

6)2(9

3)2(9

13

;(0123

2 2

;2

2 1 2

1 2

x x x x

=++

−

=++

−+

⇔

3

40

3523

26

03911180

2

543.7).(

1

02

5342.7

2 1 2

1

2 1 1

2 1

2

2 1 2 1

x

x x

x

x x x

x x

x

x x x x

t y

t x

CD

13

21:

CD t t

⇔

3

2

;3

8

;35

)0

;2

;3(

311

014

3 2

D

D t

t

t t

5

0,5

Với mỗi học sinh có 4 cách sắp vào một lớp nào ñó trong 4 lớp

Suy ra số cách sắp xếp lớp cho 5 học sinh vào 4 lớp là 5

Số cách chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ trong 5 học sinh là 1

2 2

3.C

Với mỗi cách chọn trên, có 4 cách xếp 3 học sinh ñó vào một lớp và có 2

3 cách xếp 2 học sinh không ñược chọn vào 3 lớp còn lại

Suy ra số cách sắp xếp có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ vào một lớp là 1 2

2 2

3 .3

274

3 4

5

2 1 2 2

;2(

)32

;2(

M M

31

1,

C x C x C C

R x x nC x

C x C C x

n(1+ )n− 1 = n1 +2 n2 +3 n3 2 + + n n n− 1, ∀ ∈

Cho x=−3 ta có

1 1

1 2

3 2

1

)2(3

)1(

333

n n n

3 3 2 2 1

)2(33)

1(

3332

n n n

ĐỀ SỐ 3

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số

3

5)23()1(3

−

−+

−+

−

y có đồ thị (C m), m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=2

2 Tìm m để trên (C m) có hai điểm phân biệt M1(x1; y1), M2(x2; y2) thỏa mãn x1.x2 >0 và tiếp tuyến của (C m) tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng d:x − y3 +1=0

Câu II (2,0 điểm)

=+

2

5cos2cot2sin

1sin

x x

−+

=+

−

.4

31)3(2

2

51

x x y

y x

Câu III (1,0 điểm) Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung

quanh Ox

0,.1

AA và B1C bằng 2a (a>0) Tính thể tích khối lăng trụ theo a

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xy+ yz+zx=3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2 3

2 3 2 3 2

)1()1()1

+++

B PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b)

a Theo chương trình Chuẩn:

Câu VIa (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho elip 1

34:)(

2 2

=+ y

x

E có hai tiêu điểm F1, F2 lần lượt nằm bên trái

và bên phải trục tung Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) sao cho MF12 +7MF22 đạt giá trị nhỏ nhất

2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng

1

32

31

)(,0922

:

)

(P x+ y− z+ = Q x− y+z+ = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) và cắt (Q)

theo một đường tròn có chu vi 2 π

Câu VIIa (1,0 điểm) Giả sử z1, z2 là hai số phức thỏa mãn phương trình 6z−i = 2+3iz và

b Theo chương trình Nâng cao:

Câu VIb (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho parabol (P):y2 =4x Lập phương trình đường thẳng d đi qua tiêu điểm của (P), cắt (P) tại A và B sao cho AB = 4

2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x+y+2z+4=0, đường thẳng

1

11

12

2:

và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x=1, y+z−4=0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P)

Câu VIIb (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn 2z−i = 2+z−z và

z

i

31−

1

1 (1,0 ñiểm)

Khi m=2 hàm số trở thành

3

5 4 3

2 3 2

− + +

−

a Tập xác ñịnh: R

b Sự biến thiên:

* Chiều biến thiên: Ta có y'=−2x2+2x+4; y'=0⇔x=−1∨ x=2

y'>0⇔−1< x<2; y'<0⇔x<−1∨x>2 Suy ra hàm số ñồng biến trên khoảng (−1;2) và nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;−1),

)

; 2

( +∞

* Cực trị: Hàm số ñạt cực tiểu tại x= −1 và y CT =−4; ñạt cực ñại tại x=2 và y Cð =5

* Giới hạn: =−∞

+∞

xlim ; =+∞

−∞ → y xlim 0,5 * Bảng biến thiên x −∞ −1 2 + ∞

' y − 0 + 0 −

y ∞ +

5

−4

−∞

c ðồ thị: y"=−4x+2 Ta có 2 1 0 "= ⇔x= y Suy ra ñồ thị có ñiểm uốn là 2 1 ; 2 1       Nhận xét: ðồ thị nhận ñiểm uốn       2 1 ; 2 1 là tâm ñối xứng 0,5 2 (1,0 ñiểm) Ta có hệ số góc của d:x − y3 +1=0 là 3 1 = d k Do ñó x1, x2 là các nghiệm của phương trình y' −= 3, hay −2x2+2(m−1)x+3m−2=−3 0 1 3 ) 1 ( 2 2 2 − − − − = ⇔ x m x m (1) 0,5 I (2,0 ñiểm) Yêu cầu bài toán ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1.x2 >0











−

<

<

−

−

<

⇔









>

−

−

>

+ +

−

=

∆

⇔

3

1 1

3 0

2

1 3

0 ) 1 3 ( 2 ) 1 (

m

m m

m m

Vậy kết quả của bài toán là m<−3 và

3

1

1< <−

0,5

O

1

5

y

x

4

−

2 1 2 1

ĐỀ SỐ 3

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

1sin

2sin

1

=

−+

−

⇔

x

x x

x

x x

02coscos2.2cos

0cossin2

cos21sin

sin2

−

⇔

x x

x

x x

x x

23

242

1cos

02cos

Z m k m x

k x

ππ

ðối chiếu ñiều kiện, nghiệm của phương trình là 2 , ,

3

;2

=

−

)2(4

1)4(2

)1(2

7

2 2 2

a a b

b a

Thế (1) vào (2) ta ñược

4

1822

0)65)(

2)(

1(

012872

2

2 3 4

=++

−

−

⇔

=+

−

−+

⇔

a a a a

a a a a

.1

2 + − = ⇔ =−

x e

;.1

x y e x

1

;2

1,

0.1

2 d)12( x e x

d

e v x

2 1

1 2 1

2 1

2

1d)12

2 1

1 2 2

2

12

1 1

a BC BB

x z yz y

z y xy x

y

Khi ñó

)(

3)

1(

)1(

)1

z y x z y x z

x z y

z y x

y x

.3)3)(

(

3)(

3)(

)(

3)

(3

2

2 2 2

+

−++++

=

+++

−++

=

++

−+++++

≥

z y x z y x

z y x z

y x

z y x z y x zx yz xy

3)(x+ y+ z 2 ≥ xy+ yz+zx = Suy ra x+ y+z≥3

Do ñó A≥3

Dấu ñẳng thức xảy ra khi x= y=z=1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3, ñạt ñược khi x= y=z=1

0,5

1 (1,0 ñiểm)

Giả sử M(x0; y0)∈(E) Khi ñó 1

34

2 0 2

2 0 2

0 2

2 2

; 2 [ 0

f x f

Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R > 0 Vì I ∈ d nên I(−t+1;2t−3;t+3)

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên

3

22))(

Suy ra 1

3

)211())

(

;(

2 2

−

=

−

223

41

3

)211(9

)22

t

t t

;2

−+

19

1)

3()32()16()6

(

3)32()16(63

26

2 2 2

2 2

⇔+

=

−

z y

x x

y y

x

xi y i

y x iz

i z

))(

(9

1

1 2 2 1 1

2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2

1z + z z =

.3

19

19

2)(

))(

( 1 2 1 2 12 2 2 1 2 2 1

2 2

( 2 = có p=2 Suy ra tiêu ñiểm F(1; 0)

)2

;1(

)2

;1(4

A x y x

Vậy x=1 thỏa mãn

TH 2 d không vuông góc với Ox Khi ñó pt d:y=k(x−1)

Tọa ñộ A, B là nghiệm của

k kx y

4

4)(

2 2

2 2

kx

k kx y

Giả sử A(x1;kx1−k),B(x2;kx2−k) với x1, x2 là nghiệm của phương trình (*)

Ta có

2 2 1 2 2 1 2 2

1 2 2 2

]4))[(

1())(

1

2 2 4

2 2 2

k

k k

k

Vậy phương trình d: =x 1 hay x−1 =0

0,5

⇔++

=

+

⇔

5390

00

905391263

t

t t

t t

t t

* Với t =0 Ta có I(2;−1;1),R=3 Suy ra phương trình mặt cầu

.9)1()1()2(x− 2+ y+ 2+ z− 2 =

53

143

;53

37

;53

2 2

53

12953

14353

3753

32

123

i i

i Giả sử z=r(cosϕ+isinϕ),r>0

)3cos(

23

r z

i

Theo giả thiết ta có

3

23

πϕ

34)

3(4)13

ĐỀ SỐ 4

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số

2

34

2 4 − 2 +

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2 Tìm m để phương trình sau có đúng 8 nghiệm thực phân biệt

.2

1

|2

342

x x

2 Tính các góc của tam giác ABC biết sin4A.sin2A+sin2B.sin2C=1

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân d

)cos3(cos3sin

2cos4cos

π

x x x

x

x x

I

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O';OO'=a. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường

tròn đáy tâm O, điểm 'A thuộc đường tròn đáy tâm O' sao cho OA , OB vuông góc với nhau và AA' là đường sinh của hình trụ Biết góc giữa đường thẳng AO' và mặt phẳng (AA'B) bằng 300. Tính thể tích khối trụ theo a

Câu V (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x≥1, y≥1 và 3(x+ y)=4xy Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.11

3 2 2

3 3

+

=

y x y x P

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b)

a Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho đường tròn ) 25

4

5()3(:)(C x+ 2 + y− 2 = và đường thẳng

012

1

1:

11

∆ x y z Xác định tọa độ các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng ∆ và 1 ∆ sao cho đường thẳng 2

MN vuông góc với mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng ∆ 1

Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn |z − i| = 2 và (z−1)(z+i) là số thực

b Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có điểm M(3;1) là trung điểm

cạnh AB, đỉnh C thuộc đường thẳng x − y+6 =0 và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình 2x − y=0 Xác

định tọa độ các đỉnh A, B, C

2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho ba đường thẳng ,

2

13

1

2:,1

12

31

22

.563

)2(loglog

log

1 1

3 3

+

=+

−

y x

x y

x

x y

'

;1

01

0'

x

x y

x

x y

Suy ra hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng (−1;0), (1;+∞) và nghịch biến trên mỗi

y − 0 + 0 − 0 +

y

∞+ +∞

23

342

| x4− x2+ =m2−m+ có 8 nghiệm phân biệt ⇔ ðường thẳng

1

0< 2− + <

.10

−

2 3

2 1

x

ĐỀ SỐ 4

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

22

11

x x

x x

x x

7220

843

3)1)(

13()2(4)1)(

13(224

⇔

=++

⇔+

=+++

+

⇔

x x

x

x x x

x x x

ðối chiếu ñiều kiện, ta có nghiệm của phương trình là

3

722,

0 =− +

= x x

)1(2

)22cos(

6cos

2)22cos(

2cos2

cos42cos4

12cos2

1)22cos(

2

1)2cos1(2cos2

3 2

=

−+

−

⇔

=

−+

−

⇔

C B A

C B A

A A

A C

B A

4

,2

12

5,

6

,56

,36

,61)22cos(

16cos

π π

π π

π π

π π π

C B A

C B A

C B A

C B A

C B A

C B A

C B

tan2)cos3(cos3sin

sin3sin2)

cos3(cos3sin

2cos4cos

2 2

3 3

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

ln2

d2

3 1

1 2 1

3 1

' AA

BB ; M là trung ñiểm của A ' B' Ta có

'''B O A

∆ vuông cân tại O' Suy ra O'M ⊥ A'B'

Do ñó O'M ⊥(AA'B)

Suy ra ∠ AM O' =300

30sin

'' O M0 O M

.'''''

a A O O A AA

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình 0

1+ =

y x

Suy ra

xy y

x y

x xy y

x

3)(3)(

−+

3

1684

9 2

=

a a a

9)

( = 3− 2 − + ≤a≤

a a a a f

2

3(3

82

93)(' = 2− + 2 = − + 2 > ∀a∈

a a

a a a a a f

BBT a 3 4

)(

Dựa vào BBT ta suy ra

3,14

y x

y x a

0,5

)

12

4

12()3(4

⇒

3

20

6

2

a

a a

* ∆ ñi qua 1 B(1;0;1) có véctơ chỉ phương u1(1;1;−2); AB(0;−2;2)

Suy ra mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n=[AB,u1]=(2; 2; 2)

1222

12

2

1)

=+

:

Vì M(3;1) là trung ñiểm AB nên B(6−a;2−2a)

Trung ñiểm I của BC có tọa ñộ

2

28

;2

2

286

02

;4(

)4

;7()

4

;2(

)2

;1(2

10

20

B

B A

A a

a a

a CA

;32

;1

(

)21

;3

;2(

),1

;2

;1(

2 1

s t s

t s t AB

s s

s B B

t t t A A

−

−

−+

⇒

∆

∈

t s u

21

2:

2

=

⇔

=+

ĐỀ SỐ 5

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số

1

3+

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến bằng 2 2

Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình

2

1)32cos(

)

sin21

x x

3

32

2 2

2 4

=+

y x y

y x

y x x

Câu III (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

1e

2,

1e

+

=+

=

x x

3,

=

=

=SB SC a AB a BC a a

SA Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a

Câu V (1,0 điểm) Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm thực

−+

−

x x m x x

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b)

a Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm P(1 ; 1), Q(4 ; 2) Lập phương trình đường thẳng d sao

cho khoảng cách từ P và Q đến d lần lượt bằng 2 và 3

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm 

1

;3

1

t z

t y

t x

Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC

Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm hệ số của 3

x trong khai triển biểu thức [1−2x(1−3x)]n, với n là số nguyên dương thỏa mãn

.7AC

Cn n+1− n n−2 = 2n−1−

n

b Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng d:2x + y3 =0 và ∆: 13x+18=0

Viết phương trình chính tắc của hyperbol có một tiệm cận là d và một đường chuẩn là ∆

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trung điểm của AC là 

5

;2

t z y

t x

23

44

t z

t y

t x

Viết phương trình đường thẳng chứa

phân giác trong của góc A

Câu VIIb (1,0 điểm) Cho hàm số

x

x x

= có đồ thị (H) Tìm a để đường thẳng y = ax+1 cắt (H) tại hai điểm A,

B nằm trên hai nhánh khác nhau của (H) sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất

- Hết -

4' 2 > ∀ ≠−+

x y

Suy ra hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng (−∞;−1) và (−1;+∞)

y − −

y

+ ∞

1 1 −∞

c ðồ thị: ðồ thị cắt Ox tại

(3 ; 0); cắt Oy tại (0 −; 3)

ðồ thị nhận giao ñiểm

)1

;1(−

I của hai tiệm cận làm

()

;

0

0 0 0

M Khi ñó phương trình tiếp tuyến tại M là

1

3)

()1(

4:

0

0 0 2

−+

−+

=

∆

x

x x x x

y

4 ( 1) ( 2 6 0 3) 0

0 2

)36()1(42

2)

;(

4 0

0 2 0 2 0

=+

+

−

−++

I d

−+

⇔

31

016)1(8)1(

0 0

2 0 4 0

x x

x x

* Với x0 =1, ta có phương trình tiếp tuyến y = x−2

* Với x0 =−3, ta có phương trình tiếp tuyến y = x+6

−

x

ĐỀ SỐ 5

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

1)(

sin21

=

⇔

=

−+

−

⇔

=

−+

⇔

x x

x x x

x x

x x

x

x x x

x x

x x

x x x

x x

x

x x

x

2sin32cossin

cos3

0sin

0)2sin32coscos

3sin(sin2

12sinsin322cossin2cossin32sin21

12sinsin322cossin22sin32cos

1)2sin32)(cossin21(

2

x x

+

−

=+

⇔

3

218

222

63

2

263

2

ππ

ππ

ππ

π

πππ

k x

k x

k x

x

k x

x

3

218,

22

=++++

⇔

3

62

2 2

2 2 2 4

y y x

y x y y x x

=

−+++

⇔

3

06)()(

2 2

2 2 2

y y x

y x y x

=+

⇔

332

2 2

2 2

y y x

y x

y x

⇔

)2(6

3

)1(1

2

2 2 2 2

y

y x y

y x

1,1)

1(

y x

y x

=

x e

y là nghiệm của pt

.02

11

Suy ra hình phẳng ñã cho giới hạn bởi các ñường , 0

1

2,

+

=+

e y e

y

x x

=

3 ln

0

d1

2

e e

S

x

0,25

ðặt = x+1

e

t Suy ra

12

dd

+

=

x x e

x e

1

d2

x Khi x=0⇒t= 2; khi

23

12d

1

221

d2

2

t t t

t t

t

t t t t

−

=+

Từ (1) và (2) suy ra ABC∆ vuông tại B có H là tâm

ñường tròn nội tiếp Do ñó

.3

2 2

a AH SA SH

a BC

AB

* SH là trục ñường tròn ngoại tiếp ABC∆ , trong

mặt phẳng (SAC) ñường trung trực của SA cắt SH tại O là tâm mặt cầu

Gọi K là trung ñiểm SA Khi ñó hai tam giác vuông

SH

SK SA

SO = Suy ra bán

kính mặt cầu . 2a

SH

SA SK SO

Suy ra diện tích mặt cầu là 4 2 16 2

a R

−+

x x m x

.111

)1()1(1

11

1)

1(11

4 4

4

m x

x x

x x

m x

x x

x

x x x

x x

x m

−

=

−+

−+

−+

f Ta có '()= 22 −1>0, ∀t∈(0;1)

t t f

++

++

=+

++

⇒

)2()(

4)(

)1(3

2

|24

|

|

|3

|24

2 2

2 2

B A C

B A

C B A

C B A

B A

C B A

B A

C B A

±

=++

⇔

)1(5

711

)1(5

)24(2)(

3)

1

(

b B

A C

a B

A C C

B A C

B A

+

=

⇔

B A A

B A C AB

A

B A C B

A B

A

B A C

34050

68

5)

(4)3(4

5

2 2

2 2

2201

2 1

2 1

1

2

A t

t t t t

−+

=++

=++

)1

;0

;0(

)0

;1

;1(01

13

)1()22(2

3

13

00

3

23

11

2 1

2 1

1 2

C

B t

t t

t t

;0

;1(

)2

;1

;0(

AB n

.2

5,

1

;2

1

;11

211

012

)1()

1()1(

)1()1()2()

1(

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

−

−++

=+

−+

−

+

−+

−

=

−++

−

c b a

c b a

c b a c b

a

c b

a c

b a

0,5

Từ giả thiết ta có n≥2 và

7)2)(

1(2

)1()1(n+ −n n− = n− n− −

n

10

10

109

0,25

Khi ñó, theo khai triển nhị thức Niu-tơn ta ñược

.)6(

6.)21()

21(]6)21[(

)]

31(21

10 2

9 1

10 10 10

2 10

x C x

x C

x x

x x

21( − x C − x x

Hệ số của 3

x trong biểu thức (1−2x)10 là 3 3

10(−2)

2.(

.)

2

9 1 10 3 3

Từ giả thiết

2 2

2 2

2 2

4 2

9

4(13

324)(

13

32413

32413

1832

13183

2

a a

a b

a c

a c a

a b

c a a

b

=+

=+

4,

36 2

1636:)(

2 2

5

33

441

2 1

2 1

2

2 1

−

=

B t

t t

t z

t y

t t

=++

−

=

−

−+

−

10

32

25

2

52

33

2

12

441

2 1

2 1

2

2 1

t t t

t t

t t

23

5

;2

Chọn u AD = AD2 =(2;1;7) ta có phương trình

7

51

32

ax x

x x

có hai nghiệm trái dấu 0

2)1( − 2− =

⇔ a x (1) có hai nghiệm trái dấu

.10

)1(2

01

* Giả sử A(x1; y1),B(x2; y2) Khi ñó y1 =ax1+1, y2 =ax2 +1 và x1, x2 là hai nghiệm của

2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2

x x x

x a

x x a

y y x

x

.21616)222(821

2181

2181

1.81

8)1(

=

a

a a

a a

a a

a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (a−1)2 =2⇔a=1+ 2 (do a>1)

Vậy giá trị của a là a=1+ 2

0,5

ĐỀ SỐ 6

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số

3

1)2()12(3

++++

−

y có đồ thị (C m), m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=2

2 Gọi A là giao điểm của (C m ) với trục tung Tìm m sao cho tiếp tuyến của (C m) tại A tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng

3

1

Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình (x+4)2−6 x3+3x =13

2 Giải phương trình

1cos

sin2sin

3cot

)1cos2(

−+

=

−

x

x x

2

x I

x x

x

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a>0 và

.60'

1)(

1(

21

1

2 2

=

c b a c

b a

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b)

a Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(1;1) và hai đường thẳng

.04:

,053

(P đi qua A, Hsao cho (P cắt ) Oy, Oz lần lượt tại B, C thỏa mãn diện tích của tam giác ABC bằng 4 6

Câu VIIa (1,0 điểm) Cho tập A={0,1,2,3,4,5,6,7} Hỏi từ tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4

chữ số khác nhau sao cho mỗi số đó đều lớn hơn 2013

b Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho các điểm A(1; 2), B(4;3). Tìm tọa độ điểm M sao cho

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm C(0;0;2), K(6;−3;0) Viết phương trình mặt phẳng )

(α đi qua C, K sao cho (α) cắt Ox, Oy tại A, B thỏa mãn thể tích của tứ diện OABC bằng 3

Câu VIIb (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

+

0loglog

21

1033

3 2 3

2

y x

y x

- Hết -

x

x y

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;1/2) và (2;), hàm nghịch biến trên

)2

;2/1

63

1(

16

3

13

12

12

OB OA S

123

1218

y

2

4 5

x

ĐỀ SỐ 6

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

Nhận thấy x0 không thỏa mãn nên (1) tương đương với 83 6 3 0

x

x x

Điều kiện: sinx0,cosx1 hay xk

Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với

1cos

sin2sin

3coscos

x x

1cos

sin2sin

)1)(cos3cos2

x x

x x

x 3)sin2 2sin2

cos2

x

Đặt 3.2x  2t Với x0t1, với x1t2

2ln2.3

hay

2ln3

22

2.3

12ln5

14

9ln2ln5

NI  nên NI = MA’ và NI // MA’

Suy ra MN // A’I Do đó MN // (DA’C’)

4

54

'2

'''

'

2 2 2

3'

.'2

''

'cos

2 2 2

DI I A D A I

10

5352

3

|'cos

|)',

2 2

2

4

1)1(2

1)(2

1)(

1)(

Suy ra 3

)3(

541

b a

Đặt 1tabc1,t Khi đó ta có 3

)2(

542







t t

0,5

)2(

542

)(







t t t

410)('

;4

1)

2(90)2(

3.542)(

t t

t t

Suy ra BBT

t 1 4 

)(

Dựa vào BBT suy ra

4

1



P Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t4abc1

Vậy giá trị lớn nhất của P là

4

1, đạt được khi abc1

0,5

1 (1,0 điểm)

)4

;(),

53

2

)1(3

2

MB MA

MB MA

5)

3

;1(3)63

;1(2)

1

(

2

1 2

2 1

1

x

x x

x x

3

;1(3)63

;1(2)

2

(

2

1 2

2 1

x x

x x

c

z b

y x

2

11

c

3844

46

4)2()2()(2

1],[2

6

16,8

v u

v u

2134

c b

c b

c b

Vậy có 3 mặt phẳng (P) thỏa mãn là (P):x y z1 hay 2x yz40,

12132132

AM

AM AB

2

1135

cos)

2()1(.10

)2(1)1(3

2 2

0 2

2

y x

y x

y x

;1(

)0

;0(1

,2

2,15

53

2

M v

u

v u

v u

v u

)

b

y a

)2(9

06322:)(2

3,

6

3,3

z y x

z y x b

a

b a

y x y x y x

y

log2

1

3 3

3

2 3

* Với x , thay vào phương trình thứ nhất ta được y 32 x3x 10x0 (ktm)

13

13013.103

ĐỀ SỐ 7

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H của hàm số )

2 Tìm trên (H các điểm ) A,B sao cho độ dài AB=4 và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y=x

32sin2

)sin2(cos3cos2sin

=

−

+

−+

x

x x x

=

−++

2362

244

2 2

2 2 4

y x y x

y y x x

Câu III (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

2

4

)2ln(

x

x x y

+

+++++

=

y z x z y x P

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b)

a Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác, ABC phương trình các đường thẳng chứa đường cao ;

và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt là x − y2 −13=0 và 13x − y6 −9=0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(−5;1)

2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm , A(1; 0; 0), B(2;−1; 2),C(−1;1;−3), và đường thẳng

.2

22

( ABC theo một đường tròn sao cho bán kính đường tròn nhỏ nhất

Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn z−3i =1−i z và

z

z−9 là số thuần ảo

b Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn , (C):x2+ y2−4x+2y−15=0. Gọi I là tâm

đường tròn (C Đường thẳng ∆ đi qua ) M( −1; 3) cắt (C tại hai điểm A và B Viết phương trình đường thẳng ∆ )

biết tam giác IAB có diện tích bằng 8 và cạnh AB là cạnh lớn nhất

2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm , M( −1; 1; 0), đường thẳng

1

11

12

02:

)

(P x+y+z− = Tìm tọa độ điểm A thuộc mặt phẳng (P biết đường thẳng AM vuông góc với ∆ và khoảng )

cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ bằng

233

Câu VIIb (1,0 điểm) Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1−z2 = z1 = z2 >0 Hãy tính

4

1 2 4

z A

2

1lim

2

x y

2

x y

y  

y

 

1

 1

 

Vì đường thẳng AB vuông góc với yx nên phương trình của AB là yxm

Hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình x m

1

, hay phương trình 2

,012)3(

2 1 2

2   x x  y y 

AB

.13

0328

)12(4)3(

84

)(

8)(

16)(

)(

2 2

2 1

2 2 1

2 1 2

2 1 2

2 1 2

m m m

m

x x x

x x

x m

x m x x

x

* Với m3 phương trình (1) trở thành x26x70x3 2 Suy ra hai điểm A,

B cần tìm là (3 2; 2),(3 2; 2)

* Với m1 ta có hai điểm A, B cần tìm là (1 2;2 2) và (1 2;2 2)

Vậy cặp điểm TM:(3 2; 2), (3 2; 2)hoặc(1 2;2 2),(1 2;2 2)

32

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

0)2cos3)(sin3cos2(

0)2cos3)(

3cos2()3cos2(sin

03cos2cos3sin32sin

x

x x

x x

x x x

13sin

2

3cos

k x

k x

x x

Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là x k2 , k

10)2()2(

2

2 2

2

y y

x

y x

12

3,419

)(4

1023

)2(6)4)(

2(

2 2

uv v

u

uv v u v

u uv

v u v

v u

4

uv

v u

1,3

v u

v u

1

2

y

x y

Vậy nghiệm (x, y) của hệ là (1;3),(1;3)

4

)2ln(

x x

x

là hình phẳng giới hạn bởi các đường

.0,1,0,4

)2ln(

4

)2ln(

d4

)2

x x

x

x v

x

4d),2ln(

42ln2d2

4)

2ln(

4

0

1

2 0

1

2

1

0 2

x

x x

x S

cos4d

2

0 0

6

2 0

t

t x

x

x I

Suy ra 2ln22 3

S

0,5

.

a S

332

4

S

AC HC AH S

AC HC AH r

ABC AHC

2 2 2

()(

11

42

82

8)2(8

8)

y

y z

x z x z x P

2

2822

2)2)(

(

812

z x

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1, y2, z3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 26, đạt được khi x1, y2, z3

072

M y

x

y x

86

2

a

a a

a IB

6)1(23

842))(,(

2 2

Đặt zabi (a,b) Ta có |z3i||1i z| tương đương với

|1

|

|)3(

|

|)(1

|

|)3(

)2(922

92

9

2

2 3

a a a

i a i a i a i a z

Đường tròn (C) có tâm I(2;1), bán kính R2 5 Gọi H

là trung điểm AB Đặt AH  x(0 x2 5) Khi đó ta có

ktm(2

48

208

2

IA AB x

x x

x AB

b a IH

AB I d

3

40

0)43(2

|2

|2)

,(

;1(),1

;1

;1

;2(],

t y

t x

d

31

21

1

;1

162142

33)

8

;7

1(a 2b2a2b2 hay

2

3,

cos 2

3 2

i i

3

4 sin 3

4 cos

4 cos

ĐỀ SỐ 8

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x (3m 1)x 2(m 1), m

4

+++

−

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=0

2 Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành một tam gíác có trọng tâm là gốc toạ độ

Câu II (2,0 điểm)

1 Giải phương trình 2log (1 2 1) log (5 ) log (3 )

2 1 2

cos

3sintan)2cos2

x

x x

x

Câu III (1,0 điểm) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

,1+

= x

x

e

xe

y trục hoành và đường thẳng x=1 xung quanh trục hoành

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AC=a, BC=2a, ∠ACB=1200 và đường thẳng A'C

tạo với mặt phẳng (ABB'A') góc 300. Gọi M là trung điểm BB' Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , CC' theo a

Câu V (1,0 điểm) Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm

23

3

1221

3 2

a xy x x

x xy y

x

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b)

a Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:2x + y+3=0 và elíp 1

14:)(

2 2

=+ y

x

E Viết phương trình

đường thẳng ∆ vuông góc với d và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1

2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x−y+2z+9=0 và hai điểm A( −3; 1;2), B( −1; 5; 0)

Tìm tọa độ của điểm M thuộc (P) sao cho MA.MB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu VIIa (1,0 điểm) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lên bảng Tính xác suất

để số vừa viết thỏa mãn trong số đó mỗi chữ số đều lớn hơn chữ số đứng trước nó

b Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P):y2 =4x có tiêu điểm F Gọi M là điểm thỏa mãn điều kiện

42

4

;2

;3(),2

;5

;

1

B Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho MA2 −MB2−MC2 đạt giá trị lớn nhất

Câu VIIb (1,0 điểm) Hai bạn An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn Họ quy ước chơi với nhau nhiều nhất 5

séc, ai thắng trước 3 séc là người thắng cuộc và trận đấu kết thúc Tính xác suất để trận đấu kết thúc sau séc thứ

tư, biết rằng xác suất An thắng trong mỗi séc là 0,4 và séc nào cũng có người thắng

- Hết -

2 0

'

; 2

0 0

'

x

x y

2 0

'

x

x y

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (− 2 ; 0 ) và ( 2 ; + ∞ ) ; hàm số nghịch biến trên các

2

; 2 6

⇔

= +

−

− + +

3 / 1

3 / 2 0

2 3 9 0 ) 1 4 9 ( 2 2

m

m m

m m

m m

Kết hợp với (1) suy ra giá trị của m là .

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

x

x

x x

⇔

2 5

3

5 log ) 1 2 1 (

2

.4

1711

;10

)13112)(

1(4)12()3

1 = −

= x x

0,5

2 (1,0 điểm)

2 0

cosx≠ ⇔x≠π +kπ k∈ Z Với điều kiện đó phương trình tương đương với

sin 2xsinx− cos 2xsinx+ sin 3x= cosx(sinx+ cosx)

0 ) cos )(sin 1 sin 2 ( cos

) cos (sin cos ) cos (sin 2 sin

) cos (sin cos sin 2 cos cos 2 sin sin 2 cos sin 2 sin

= +

−

⇔

+

= +

⇔

+

= +

+

−

⇔

x x x

x

x x x x

x x

x x x x x x

x x

x x

x

, 0 ) cos )(sin 1 sin 2

62

1sin01sin

4 1

tan 0 cos sinx+ x= ⇔ x= − ⇔x= −π +kπ

4,

26

5,2

e

e dv x

Theo công thức tích phân từng phần ta có

2

1 ln 1 )

1 ln(

1 1

1

1 1

1 1 1

) 1 (

0 1

0 1

1

0 1

0 0

1 1

0

2

+

− +

= +

− + +

− + +

−

= +

+ +

e e

x e

dx e

e e

e

dx e

x dx e

xe

x

x x x

x x

x

Thay vào (1) ta được thể tích khối tròn xoay là

2

1 ln

30 )) ' ' ( , ' (

3 7

120 sin 2 2

, 7

0

a a

a a AB

S CH a

7

5 '

' 7

3 2 2 ' CH a AA A C2 AC2 a

3 7

5 '.

3 2

a a

a S AA

+) Mặt phẳng (ABB'A') chứa AM và song song CC'

7

21 7

3 ))

' ' ( , ( ) ' , (AM CC d C ABB A CH a a