Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m)
Câu 1 (2,0 i m) Cho hàm s y 2 m x3 6mx2 9 2 m x 2 có th là (C m)
a) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s v i m = 1
b) Tìm m ng th ng d y: 2 c t th hàm s (C m ) t i ba i m phân bi t A(0 ; 2), B và C sao cho di n tích tam giác OBC b ng 13 (v i O là g c t a )
Câu 2 (1,0 i m) Gi i ph ng trình tan 2 tan 1 sin 4 sin 2
6
Câu 3 (1,0 i m) Gi i h ph ng trình
2
2
2
x
Câu 4 (1,0 i m) Tính tích phân
2 1
ln 1
e
x
x
Câu 5 (1,0 i m) Cho l ng tr ABCD A B C D có áy ABCD là hình ch nh t, ' ' ' ' AB a AD; a 3 Hình chi u vuông góc c a i m A trên m t ph ng (ABCD) trùng v i giao i m AC và BD Góc gi a ' hai m t ph ng (ADD A và (ABCD) b ng 60' ') 0 Tính th tích kh i l ng tr ã cho và kho ng cách t
i m B' n m t ph ng ( 'A BD theo a )
Câu 6 (1,0 i m) Cho các s th c d ng a, b, c th a mãn a2 b2 c2 ab 2bc 2ca 0
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
P
PH N RIÊNG (3,0 i m) Thí sinh ch c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)
A Theo ch ng trình Chu n
Câu 7.a (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy cho ng tròn ( ) :C x 4 2 y2 4 và i m
E(4; 1) Tìm to i m M trên tr c tung sao cho t i m M k c hai ti p tuy n MA, MB n
ng tròn (C) v i A, B là các ti p i m sao cho ng th ng AB i qua E.
Câu 8.a (1,0 i m) Trong không gian v i h to Oxyz, cho hai ng th ng d1, d2 có ph ng trình 1
:
d L p ph ng trình ng th ng d c t d1 và d2 và vuông góc v i m t ph ng ( ) : 2P x y 5z 3 0
Câu 9.a (1,0 i m) Tìm s ph c z th a mãn 2 2 2
z
B Theo ch ng trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h to Oxy cho Hypebol
2 2
trình chính t c c a elip (E) có tiêu i m trùng v i tiêu i m c a (H) và ngo i ti p hình ch nh t c s
c a (H)
Câu 8.b (1,0 i m) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho m t ph ng P :x 2y z 5 0 và
2
3 : ) (d x y z , i m A( 2; 3; 4) G i là ng th ng n m trên (P) i qua
Th i gian làm bài: 180 phút
Trang 2Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!
giao i m c a ( d) và (P) ng th i vuông góc v i d Tìm trên i m M sao cho dài o n AM ng n
nh t
Câu 9.b (1,0 i m) Trong các s ph c z th a mãn z2 i 1, tìm s ph c z có mô- un l n nh t
V i m = 1 thì hàm s có d ng 3 2
T p xác nh D
3
x
x
Hàm s ng bi n trên các kho ng ;1 ; 3; và ngh ch bi n trên (1; 3)
Hàm s t c c i t i x = 1; y = 2; t c c ti u t i x = 3; y = 2
0,25
Các gi i h n: lim 3 6 2 9 2
i m u n: 'y 6x 12 y'' 0 x 2 U 2;0
0,25
B ng bi n thiên:
x 1 3 +
y’ + 0 0 +
y
2 +
2
0,25
th hàm s có d ng nh hình v :
Nh n xét:
+ th hàm s nh n i m U(2; 0) làm tâm i x ng
+ th hàm s c t tr c Oy t i i m (0; 2)
0,25
b) (1,0 i m)
Ph ng trình hoành giao i m c a hai th : 2 m x3 6mx2 9 2 m x 2 2
2
0,25
1
(2,0 i m)
Hai th c t nhau t i ba i m phân bi t A, B, C khi ph ng trình g(x) = 0 có hai nghi m
0,25
Trang 3Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
phân bi t và khác 0 Ta có i u ki n:
2
2
m
Gi s B x1; 2 ,C x2; 2 , v i x1; x2 là hai nghi m c a ph ng trình g(x) = 0
Theo nh lí Vi-ét ta có 1 2
1 2
6 2 9
m
x x
m
x x
OBC
0,25
2 2
14 6
2
14
m m
m
m
i chi u v i i u kiên ta c 14; 14
13
m m là các giá tr c n tìm
0,25
2
m x
x x
Ph ng trình ã cho t ng ng v i 6sinx cos 2 cos (sin 4x x x sin 2 )x
0,25
6sin cos cos 2 (4sin cos cos 2 2sin cos ) sin (4cos cos 2 2cos cos 2 6) 0
2
2
sin (2cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 (1 cos 2 ) 6 0 sin (2cos 2 3cos 2 cos 2 6) 0
sin (cos 2 1)(2 cos 2 5cos 2 6) 0
0,25
2
(1,0 i m)
2
x k
K t h p v i iêu ki n ta c nghi m c a ph ng trình là x = k ; k Z
0,25
i u ki n: x 4,y 12
(1) 2 (4x x 1) 2y 2y 1 0 (2 )x 2x ( 2y 1) 2y 1 (*) Xét hàm s f t( ) t3 t ta có f t( ) 3t2 1 0, t nên ( )f t ng bi n trên
(*)
2
0
x
0,25
2
x
4x x(4x 1) 6x 2x 8 0 4x 4x 7x 2x 8 0
0,25
x
x
x nên g(x) ng bi n trên n a kho ng [0; )
0,25
3
(1,0 i m)
V y, h ã cho có nghi m duy nh t 1 ; 1
2
0,25
4
(1,0 i m) Ta có
2
1 2 3
ln
Trang 4Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!
( 1)
1
e
G i O là giao i m c a AC và BD, theo bài ta có A O' (ABCD)
G i I là trung i m c a AD Ta có OI AD
'
ADD A ABCD AD
0
A IO
0,25
Suy ra, th tích kh i l ng tr là
3 ' ' ' '
ABCD A B C D ABCD
0,25
Do AB và A B c t nhau t i trung i m c a m i ng nên A và B i x ng nhau qua
( 'A BD)
Suy ra d B A BD; ( ' ) d A A BD;( ' )
'
AH BD
AH A BD
; ( ' )
AH d A A BD
0,25
5
(1,0 i m)
Trong tam giác vuông ABD ta có 2 2 2
2
AH
V y kho ng cách t B n (A BD) b ng 3
2
a
0,25
Ta có a2 b2 c2 2bc 2ca ab a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca ab (a b c)2 ab
t x a;y b x y, 0
0,25
6
(1,0 i m)
Theo b t ng th c Cô-si ta có
2
2
4
x y
Khi ó
2
2
0,25
Trang 5Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
Áp d ng (*) ta c
Ta có
1
a b
P
a b
a b
c c
1
x y
Áp d ng các b t ng th c c b n 2 2
x y x y và
x y x y ta c
P
0,25
xy
P
V y minP = 2 khi x = y = 1 t c a = b = c
0,25
ng tròn (C) có tâm I(4; 0), bán kinh
R = 2
M thu c Oy nên gi s M(0; m)
Ta có IM ( 4; )m ng th ng AB
có m t véc t ch ph ng là u AB ( ; 4)m
ng th ng AB i qua E(4; 1) và có véc
t ch ph ng u AB ( ; 4)m nên có
ph ng trình tham s là 4
1 4
y t
0,25
A thu c ng th ng AB nên có t a d ngA 4 mt;1 4 t
Do
( )
A C
IA MA IA MA
0,25
IA mt t
7.a
(1,0 i m)
(mt) (1 4 )t m 0 Thay (*) vào ta tìm c m = 4
Vi t l i ph ng trình các ng th ng d ng tham s ta c
M t ph ng (P) có m t véc t pháp tuy n là n P (2;1;5)
0,25
Gi s : A d d1 A(1 2 ; 1t1 t1;2 );t1 B d d2 B(2 2 ; ;1 2 )t t2 2 t2
2
1
( )
1
P
t
8.a
(1,0 i m)
Suy ra ( 1; 2; 2).A Ph ng trình ng th ng c n tìm là : 1 2 2
iz z i
9.a
(1,0 i m)
Gi s z = a + bi, v i a, b R
Trang 6Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!
(4 3 ) (3 4 )
1
V y s ph c c n tìm là z = 1 + i
0,25
(H) có các tiêu i m F1 5; 0 ;F2 5;0 Hình ch nh t c s c a (H) có m t nh là A( 4;
Gi s ph ng trình chính t c c a (E) có d ng:
2 2
x y
a b
(E) c ng có hai tiêu i m F1 5;0 ;F2 5;0 a2 b2 52 (1)
0,25
Do M 4;3 E 9a2 16b2 a b (2) 2 2
T (1) và (2) ta có h ph ng trình
0,25
7.b
(1,0 i m)
V y ph ng trình chính t c c a (E) là
2 2
40 15
Chuy n ph ng trình d v d ng tham s ta c:
1 3
x t
y t
z t
G i I là giao i m c a d và (P) I 2t 3;t 1;t 3
Do I P 2t 3 2(t 1) (t 3) 5 0 t 1 I 1;0; 4
0,25
ng th ng d có vect ch ph ng u d (2;1;1), m t ph ng (P) có vect pháp tuy n
1; 2; 1
P
n
d P
Khi ó ng th ng có ph ng trình
1 : 4
y u
0,25
8.b
(1,0 i m)
3
V y 7 4 16; ;
3 3 3
0,25
Trong các s ph c z th a mãn z2 i 1, tìm s ph c z có mô- un l n nh t
Gi s z = a + bi, v i a, b R Ta có z a2 b2
M t khác z2 (a bi)2 a2 b2 2abi z2 i (a2 b2) (2ab 1)i
0,25
Theo bài ta có z2 i 1 (a2 b2 2) (2ab 1)2 1 (a2 b2 2) (2ab 1)2 1
2
0,25
Theo b t ng th c Cô-si ta có a2 b2 2 a b2 2 2ab 2ab z2 2ab
Khi ó z4 a2 b2 2 4ab 2z2 z4 2z2 z2 2 z 2
0,25
9.b
(1,0 i m)
Suy ra, zmax 2 t c khi
2 2
1 1 2
a b
a b
ab ab
a b
a b
V y, có hai s ph c th a mãn yêu c u bài toán là z = 1 + i ho c z = –1 – i
0,25