Bài tập xác suất thống kê số (56)

Sai số trong điều tra thống kê chịu sự chi phối của quy luật số lớn, vì vậy điều tra chọn mẫu là một trường hợp vận dụng của quy luật số lớn 2 Tốc độ phát triển trung bình là trung bì

Bài tập cá nhân:

( Bài kiểm tra cuối kỳ )

Họ và tên : Nguyễn Mai Đô

Câu 1: Lý thuyết (2đ)

A.Trả lời đúng ( Đ ), sai ( S ) cho các câu sau và giải thích tại sao?

1) Điều tra chọn mẫu là một trường hợp vận dụng quy luật số lớn ( Đúng )

Vì: Khi điều tra chọn mẫu nếu điều tra càng nhiều đơn vị, các sai lệch ngẫu nhiên sẽ có khả năng bù trừ, triệt tiêu nhau làm cho sai số chung càng nhỏ Sai số trong điều tra thống kê chịu sự chi phối của quy luật số lớn, vì vậy điều tra chọn mẫu là một trường hợp vận dụng của quy luật số lớn

2) Tốc độ phát triển trung bình là trung bình cộng của các tốc độ phát triển liên hoàn ( Sai )

Vì : Tốc độ phát triển trung bình là trung bình nhân của các tốc độ phát triển liên hoàn vì

các số này có mốc so sánh khác nhau

3) Liên hệ tương quan là mối liên hệ không hoàn toàn chặt chẽ ( Đúng )

Vì : Đây là mối liên hệ không hoàn toàn chặt chẽ giữa tiêu thức nguyên nhân (biến độc lập) và tiêu thức kết quả (biến phụ thuộc) Với mỗi giá trị của biểu thức nguyên nhân sẽ

có thể có nhiều giá trị tương ứng của tiêu thức kết quả

4) Nghiên cứu sự biến động của số trung bình qua thời gian cho thấy xu hướng phát

triển của hiện tượng ( Đúng )

Vì: Số trung bình biểu hiện giá trị số đại diện theo một tiêu thức nhất định Số trung bình

có đặc điểm san bằng chênh lệch giữa các đơn vị về trị số của tiêu thức nghiên cứu Vì vậy sự biến động của số trung bình qua thời gian có thể cho ta thấy được xu hướng phát triển cơ bản của hiện tượng số lớn

5) Xác định tổ chứa Mốt chỉ cần dựa vào tần số của các tổ.( Sai )

Vì: Để xác định tổ chứa Mốt ta cần dựa vào tần số tổ và khoảng cách tổ

B Chọn phương án trả lời đúng nhất :

1) Hệ số hồi qui phản ánh :

a) ảnh hưởng của tất cả các tiêu thức nguyên nhân đến tiêu thức kết quả

b) ảnh hưởng của tiêu thức nguyên nhân đang nghiên cứu đến tiêu thức kết quả

c) Chiều hướng của mối liên hệ tương quan

d) Cả a), b)

e) Cả a), c)

Chọn phương án: c

2) Đại lượng nào phản ánh chiều hướng của mối liên hệ tương quan:

a) Hệ số tương quan

b) Hệ số chặn ( bo )

c) Hệ số hồi qui ( b1 ).

d) Cả a), b)

e) Cả a), b) , c)

Chọn phương án: e

3) Ước lượng là :

a) Việc tính toán các tham số của tổng thể mẫu

b) Từ các tham số của tổng thể chung suy luận cho các tham số của tổng thể mẫu

c) Từ các tham số của tổng thể mẫu suy luận cho các tham số tương ứng của tổng thể chung

d) Cả a), b)

e) Cả a), c)

f) Cả a), b), c)

Chọn phương án: c

4) Những loại sai số có thể xảy ra trong điều tra mẫu là :

a) Sai số do ghi chép

b) Sai số do số lượng đơn vị không đủ lớn

c) Sai số do mẫu được chọn không đều

d) Cả a), b)

e) Cả a), b), c)

Chọn phương án: e

5) Khi xác định số đơn vị mẫu điều tra để ước lượng số trung bình, nếu không biết

phương sai của tổng thể chung thì có thể :

a) Lấy phương sai lớn nhất trong các lần điều tra trước

b) Lấy phương sai nhỏ nhất trong các lần điều tra trước

c) Lấy phương sai trung bình trong các lần điều tra trước

d) Cả a và b

e) Cả a,b,c

Chọn phương án: a

Bài 2: (1,5đ)

Một doanh nghiệp muốn ước lượng trung bình năng suất một giờ công là bao nhiêu sản phẩm Một mẫu gồm 60 công nhân được chọn ngẫu nhiên cho thấy năng suất trung bình một giờ công nhân là 30 sản phẩm với độ lệch chuẩn là 5

1 Tìm khoảng ước lượng cho năng suất trung bình một giờ công của công nhân doanh nghiệp trên độ tin cậy là 95%

2 Nếu ông chủ của doanh nghiệp đặt ra tiêu chuẩn là sẽ sa thải những công nhân có mức năng suất một giờ công thấp hơn 25 sản phẩm thì liệu sa thải này có xảy ra không?

Bài làm:

Theo đề ra ta có: n = 60; = 30; S = 5

Với độ tin cậy là 95% ⇒ 1-α = 95% ⇒ = 1 - 0,95 = 0,05 ⇒ = 0,025

Do chưa biết phương sai tổng thể chung,khoảng ước lượng được xác định theo công thức:

Trong đó: n - 1 = 60 – 1 = 59

Tra bảng A2 ta được: t 0,025;59 = 2,001 Thay vào (1) ta được:

30 – 2,001 *

60

5

≤ µ≤ 30 + 2,001 *

60 5

Khoảng ước lượng là: 28,708 ≤ µ ≤ 31,292

Vậy với độ tin cậy 95%, năng suất trung bình của công nhân từ 28,708 sản phẩm đến 31,292 sản phẩm một giờ

2 Theo câu trên ta có: 25 < 28,708 ≤ µ≤ 31,292, vậy nên ông chủ doanh nghiệp sẽ

không sa thải công nhân nào vì không có công nhân nào có năng suất dưới 25 sản phẩm một giờ công

Bài 3: (1,5đ)

Một doanh nghiệp sản xuất xe máy PS xây dựng hai phương án sản xuất một loại sản

phẩm Để đánh giá xem chi phí trung bình theo hai phương án ấy có khác nhau hay không người ta tiến hành sản xuất thử và thu được kết quả sau: (triệu đồng/sản phẩm) Phương án 1: 24 27 25 29 23 26 28 30 32 34 38 26

Phương án 2: 26 32 35 38 35 26 30 28 24 26

Cho rằng chi phí theo cả hai phương án trên phân phối theo quy luật chuẩn Với độ tin cậy 95% hãy rút ra kết luận về hai phương án trên

Bài làm:

Gọi : µ1 là chi phí trung bình của phương án sản xuất 1 ;

µ2 là chi phí trung bình của phương án sản xuất 2

Giả thiết: H0 : µ = 1 µ 2

H1 : µ ≠ 1 µ 2

Ta tiến hành kiểm định giá trị trung bình của hai tổng thể chung khi chưa biết

phương sai của hai tổng thể chung σ1 và σ 2 và mẫu nhỏ (n1=12; n2=10, đều < 30). Vậy tiêu chuẩn kiểm định được chọn là thống kê t

Xác định t theo công thức:

) 1 1 (

2 1

2 1

n n s

X X

t = − × + (2) Trong đó: n1=12; n2=10

Ta có:

1

12

26 38 34 33 30 28 26 23 29 25 27

) = 28,5

2

10

26 24 28 30 26 35 38 35 32

= 30

S2 = [(n1 – 1) + (n2 – 1) ] / (n1 + n2 – 2)

Trong đó S1 và S2 được xác định theo công thức: S2 =

Thep hương án 1:

1 = 28,5; 213

=> =

11

213=19,364 Phương án 2 tính được:

2 = 30; 206

=> =

9

206= 22,889

S2 = [(12 – 1).19,364 + (10 – 1).22,889] / (12 + 10 – 2) = 20,95

Thay vào (2) ta được: t =

10

889 22 12

364 19

30 5 28

+

−

= -0,7654 Với = 0,05, Tra bảng ta có: ; (n1 + n2 – 2) =2,086

< ; (n1 + n2 – 2) => chấp nhận giả thiết H0.

Vậy chi phí trung bình của hai phương án sản xuất xe máy PS được coi là giống nhau

Bài 4: (2,5đ)

Dưới đây là dữ liệu về khối lượng sản phẩm thép trong 30 tháng gần đây của một nhà máy (đơn vị: triệu tấn)

1 Biểu diễn tập hợp số liệu trên bằng biểu đồ thân lá (Stem and leaf )

2 Xây dựng bảng tần số phân bố với 5 tổ có khoảng cách tổ bằng nhau

3 Vẽ đồ thị tần số và cho nhận xét sơ bộ về khối lượng sản phẩm thép trong 30 tháng nói trên

4 Tính khối lượng sản phẩm thép trung bình 1 tháng từ tài liệu điều tra và từ bảng phân

bố tần số So sánh kết quả và giải thích

Bài làm:

1 Biểu diễn tập hợp số liệu trên bằng biểu đồ thân lá ( Stem and leaf )

2 Xây dựng bảng tần số phân bố với 5 tổ có khoảng cách tổ bằng nhau

Ta có khoảng cách tổ:

Xmax - Xmin 7,8 - 3,0

h = - = - = 0,96

n 5

Ta lập được bảng tần số phân bổ với 5 tổ cách đều nhau như sau:

TT Lượng biến Tần số Tần suất Tần số tíchluỹ Tần suất tíchluỹ

3 Vẽ đồ thị tần số và cho nhận xét sơ bộ về khối lượng sản phẩm thép trong 30 tháng gần nói trên:

Biểu đồ tần số

Nhận xét: Khối lượng sản phẩm sản xuất trong 30 tháng gần đây tập trung nhiều ở mức năng suất cao, từ mức trên 5,88 đến 6,84 và 7,8 triệu tấn/tháng

4 Tính khối lượng trung bình 1 tháng theo 2 cách:

* Theo bảng phân bố tần số thì khối lượng thép trung bình 1 tháng là:

Tổng 30 169,68

Giá trị trung bình = 169,68/30 = 5,656

* Theo tài liệu điều tra thì khối lượng thép trung bình/tháng là:

= 5 , 61

i

i n

x X

Nhận xét: Kết quả tính toán trên cho thấy khối lượng sản phẩm thép trung bình 1

tháng được tính theo bảng phân bổ tần số cao hơn so với cách tính trực tiếp từ tài liệu điều tra Vậy có thể thấy theo cách tính từ bảng phân bổ tần số không chính xác vì đã có

1 lần sai số khi ta tính giá trị trung bình tổ

Bài 5: ( 2,5đ)

Một công ty đã tiến hành một bài kiểm tra cho các nhân viên bán hàng khi tuyển dụng Giám đốc bán hàng rất quan tâm đến khả năng dựa trên kết quả kiểm tra này để dự đoán kết quả bán hàng Bảng dữ liệu dưới đây chỉ ra kết quả bán hàng trung bình hàng ngày của 10 nhân viên được chọn ngẫu nhiên và điểm kiểm tra của họ: (đơn vị tính DT: triệu đồng)

1 Với dữ liệu trên, xác định một phương trình hồi quy tuyến tính để biểu hiện mối liên

hệ giữa điểm kiểm tra và doanh thu tuần, phân tích mối liên hệ này qua các tham số của

mô hình và kiểm định các tham số

2 Hãy đánh giá cường độ của mối liên hệ và sự phù hợp của mô hình trên ( qua hệ số tương quan và hệ số xác định)

3 Kiểm định xem liệu giữa điểm kiểm tra và doanh thu ngày thực sự có mối liên hệ tương quan tuyến tính không?

4 Giám đốc quyết định chỉ nhận những người có mức doanh thu tối thiểu là 15 triệu Một người có điểm kiểm tra là 6 liệu có được nhận không với độ tin cậy 95%

Bài làm:

1 tuần có 7 ngày: như vậy ta có bảng mô tả quan hệ giữa doanh thu bán hàng theo tuần với điểm kiểm tra của chính nhân viên đó đơn vị tính DT: triệu đồng

DT

1 Xác định mô hình tuyến tính của tổng thể chung:

Ta có mô hình tuyến tính của tổng thể mẫu:

X b b

x

Y X Y X b

σ

×

−

×

=

X b Y

Tính các giá trị XY,X,Y,XY và 2

x

σ :

1 , 7 10

71

=

=

10

9 , 16

2 = = σ

b1 = [953,4 – (126,7*7,1)] /1,69 = 31,852

b0 = 126,7 – (31,852 * 7,1) = -99,449 => Y = -99,449 + 31,852X

Phân tích mối quan hệ X, Y qua mô hình hồi quy tuyến tính

- Hệ số b0 là tham số tự do, b0 = -99,449 thể hiện sự ảnh hưởng của các nhân tố khác, ngoài trừ trình độ, năng lực của nhân viên bán hàng (thông qua điểm kiểm tra đánh giá khi tuyển dụng) b0 = -99,449 cũng cho thấy rằng, doanh nghiệp phải tuyển dụng những nhân viên bán hàng có trình độ ( thông qua điểm đánh giá khi tuyển dụng) thì mới có doanh thu cao

, 126 10

1267 =

=

10

=

7

- Hệ số b1 là tham số hồi quy, phản ánh ảnh hưởng của biến độc lập đến giá trị của biến phụ thuộc Hệ số b1 = 31,852 > 0 phản ánh sự ảnh hưởng của biến x và y là cùng chiều b1 = 31,852 phản ánh rằng, nếu trình độ của nhân viên bán hàng thông qua chỉ số điểm khi tuyển dụng tăng lên 1 (điểm) thì doanh thu tuần sẽ tăng thêm 31,852 (triệu đồng)

2 Đánh giá cường độ của mối liên hệ và sự phù hợp của mô hình trên

Giữa điểm đánh giá và doanh thu có mối quan hệ cùng chiều Khi điểm đánh giá tăng lên 1 đơn vị thì doanh thu tăng lên 31,85 (triệu đồng)

3 Kiểm định xem liệu giữa điểm kiểm tra và doanh thu ngày thực sự có mối liên hệ tương quan tuyến tính không?

t = (b1 - 1) / Sb1 , với Sb1 = ; =

Lập bảng tính sau:

y i x i

2

)

= 16,9; = 30,9822

= = 1,9679, S b1 = 1,9679 / = 0,4787

t = 4,55029 / 0,4787 = 9,5055

/2 = 0,025 tra bảng A2 ta được: t /2;n-2 = t0,025; 8 = 2,306.

= 9,5055 > t0,025; 8 nên bác bỏ H0 Vậy không có mối liên hệ tương quan tuyến tính

4 Giám đốc quyết định chỉ nhận những người có mức doanh thu tối thiểu là 15 triệu Một người có điểm kiểm tra là 6 liệu có được nhận không với độ tin cậy 95%

Ta có phương trình hồi quy tuyến tính : = + x

Ta xác định các tham số , , , ∑ qua bảng sau:

Σx =71 Σy=181 Σxy=1362 Σx2= 521 Σy2= 3657 = 181 => = 18,1 ; = 71 => = 7,1 ; = 1.362 => = 136,2

∑ = 521 => = 52,1; ∑ = 3.657 => 2

y = 365,7 = - => =52,1 – 7,12 = 1,69

= - => =365,7 – 18,12 = 38,09

b1=( - ) / =

69 , 1

1 , 18

* 1 , 7 2 ,

= - =-14,207

Ta có phương trình: = + x=-14,207 + 4,550x (3)

Theo đề ra ta có: x=6; ymin= 15

Thay vào phương trình (3) ta được: y= -14,2071 + 4,5503 * 6 = 13,095 <15

Vậy doanh thu tại x= 6 nhỏ hơn mức doanh thu tối thiểu nên với độ tin cậy 95% người này sẽ bị loại