Những Bất đẳng thức th-ờng gặp
Những kiến thức th-ờng gặp (a+b)2 4ab
Bất đẳng thức hay dùng cho a+b 0
2
( 2
b a b
a n n
)n , n là số tự nhiên Dấu bằng xảy ra khi a= b với n chẵn, a2 = b2 nếu n lẻ
giải ph-ơng trình: Giải ph-ơng trình (x+1)6+ (x + 5)6 = 18- 8 5
6 6
) 2
1 5 ( 2
) 5 (
)
1
9 - 4 5 x = -
2
1
5
Bài 1
ab
c ca
b bc
a3 3 3 ; với a, b, c d-ơng
Giải: a4 + b4 2a2b2 a4 + b4 + c4 a2b2 + b2c2 + c2a2
a2b2 + b2c2 2ab2c a2b2 + b2c2 + c2a2 abc(a + b + c)
a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) , chia abc a b c
ab
c ca
b bc
a
3 3
3
Bài 2
Chứng minh:
) )(
a
a
+ b (b a)(b c)
b
+ c (c b)(c a)
c
1 Với a, b, c > 0
Giải: (ab)(ac) ab ac(a+b)(a+c)-( ac ab)2 (a bc)2 0
c b a
a ac
ab a
a c
a b a
a
a
( )( )
Cộng ba vế lại có (đpcm)
Bài 3
Cho a, b, c là ba số d-ơng và
c b a
1 1
1 = a + b + c Chứng minh:
a + b + c 3abc
Giải: Từ
c b a
1 1 1
= a + b + c ab + bc + ca = abc(a+b+c)
a2 + b2 + c2 ab + bc + ca a2 + b2 + c2+ 2(ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca)
(a+b+c)2 3(ab + bc + ca) = 3abc(a+b+c) a + b + c 3abc
Bài 4
1
1 1
1 1
1
ab
Trang 2với a, b, c là các số d-ơng và a2 + b2 + c2 = 6
Giải: Sử dụng
z y x z y
x
9 1
1
1 1
1 1
1
ca bc
9
bc ca ab
a2 + b2 + c2 ab + bc + ca dấu bằng khi a = b = c
3
9 3
9
2 2
2
bc ca a b c
dấu bằng khi a = b = c = 2
Bài 5
Gọi a, b, c là ba cạnh tam giác Chứng minh a3 + b3 + 3abc > c3
Giải: a+b> c và a2 - ab + b2 > 0, a3 + b3 + 3abc = (a+b)(a2-ab+b2) + 3abc >
> c(a2-ab+b2) + 3abc = c(a+b)2 > c3
Bài 6
Cho a, b, c là ba số d-ơng và có tổng bằng 3
Chứng minh a b c ab + bc + ca
Giải: a2 +b2+c2 +2(ab+bc+ca) = 9 ab+bc+ca =
2
9 a2 b2 c2
Thay vào ta cần chứng minh: a2 +b2+c2 + 2( a b c ) 9
a2 + 2 a= a2 + a + a 33 2
a a
Cộng các vế ta có (đpcm)
Bài 7
Cho a, b là các số thực thoả mãn a2 + b3 a3 + b4 Chứng minh:
a3 + b3 2
Giải:
Cách 1: Tr-ớc hết chứng minh a + b2 a2 + b3
Giả sử a + b2 < a2 + b3 2(a2 + b3) > a + b2+ a3 + b4 2(a2 + b3) vô lý
a + b2 a2 + b3 a3 + b4 2(a + b2) a2 + b3 + a3 + b4
(1+a2 ) + (1+b4) 2(a + b2) a2 + b3 + a3 + b4 a3 + b3 2
Cách 2: Bằng ph-ơng pháp phản chứng Giả sử a3 + b3 > 2 Chứng minh:
a2 + b3 < a3 + b4
3 3 2
2
2 2
b a b
a2 + b2 3 3 3 2
) (
2 a b
) (
) (a b a b =a3+b3
a2 - a3 < b3- b2 , nh-ng 0 b2(b - 1)2 b3 - b2 b4 - b3 a2- a3 < b4 - b3
a2 + b3 < a3 + b4
Bài 8
Cho a, b, c là các số thực đặt M = a + b + c + 2 a2 b2 c2 abbcca
Chứng minh M max{3a, 3b, 3c} và một trong 3 số:
M 3a; M 3b; M 3cbằng tổng hai số kia
Giải: 3(b - c)2 0 4b2 + 4c2 - 4bc b2 + c2 + 2bc
Trang 34(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) (2a - b - c)2
2 a2 b2 c2 abbcca 2a - b – c cộng hai vế với a + b + c
T-ơng tự M 3b, M 3c M max{3a, 3b, 3c}
đặt x = M 3a, y = M 3b, z = M 3c a=
3
2
x
M
,b=
3
2
y
M
,c=
3
2
z
M
) ( 2
1 ) ( 2
1 ) ( 2
1
a c c
b b
x2 + y2 + z2=2 4 4 4 2 2 2 2 2 2
x z z y y x z y
x4+y4+z4 - 2x2y2- 2y2z2 – 2z2x2 = 0
(x2+y2)2 - 2z2(x2+y2) + z4 - 4x2y2 = 0
(x + y + z)(x + y - z)(x + z - y)(y + z - x) = 0
Bài 9
Cho 4 số thực a, b, c, d và a2 + b2 1 Chứng minh:
(ac + bd - 1)2 (a2 + b2 - 1)( c2 + d2 - 1)
Giải: Nếu c2
+ d2 1 bất đẳng thức đúng
Chúng ta chứng minh c2 + d 2 < 1, đặt x = 1- a2 - b2 và y = 1- c2 - d 2
0 x, y 1 Bđt (2 - 2ac - 2bd)2 4xy ((a-c)2+(b-d)2+x+y)2 4xy
((a-c)2+(b-d)2+x+y)2 (x + y)2 4xy
Bài 10
Cho a, b, c là ba số d-ơng và ab+bc+ca = 1 Chứng minh
a
c c
b b
a3 3 3
1
Giải: a3+b3 ab(a+b)
b
a3
+ b2 ab+a2 cộng lại (cđpcm)
Bài 10
Chứng minh: 2 2
3
c b
a
+ 2 2
3
a c
b
+ 2 2
3
b a
c
c b
a
Giải: a2 + b2 2ab từ đó 2 2
3
c b
a
= a - 2 2
2
c b
ab
a -
2
b
Bài 11
Cho a, b, c, d là các số d-ơng và có tổng bằng 1 Chứng minh:
2
1
2 2
2 2
d d c
c c b
b b
a
a
Giải:
b
a
a
2
+ 4
b a
a
Dờu bằng khi a = b = c=d =
4
1
Bài 12
Cho a, b, c với 0 < a, b, c 1 Chứng minh:
Trang 41)
c b
a
1 1
1
a + b+ c
2) k k k
c b
a
1 1
1
ak + bk + ck (k là là số tự nhiên)
Giải:1) (a-1)(b-1)(c-1) = abc - ab - bc - ca + a + b + c-1=
c b
a11
1
c b
a11
2) 0 <a 1 0 < ak - 1 0
(a-1)(b-1)(c-1) 0 (ak-1)(bk-1)(ck-1) 0
(ak-1)(bk-1)(ck-1) = akbkck- akbk- bkck- ckak+ak+bk+ck-1 0
k k
k
c
b
a
1
1
1 ak + bk + ck
Bài 13
Cho a, b, c là các số không âm và có tổng bằng 1 Chứng minh:
a2b + b2c + c2a
27
4
(CanMO1999)
Giải: Gọi x =max{a, b, c}
a b c a2b + b2c + c2a a2b + b2c + c2a + c(ab + (a-b)(b-c))=
= a2b+ 2abc +bc2 = (a + c)2b = 4(
2
1 -2
1 b)(
2
1
- 2
1 b)b
27
4
dấu bằng khi a =
3
2 , b = 3
1 , c = 0
* a c b a2b + b2c + c2a = a2c + c2b + b2a + (a-c)(c-b)(a-b)
a2
c + c2b + b2a
27
4
( trở lại tr-ờng hợp trên)
dấu bằng xảy ra khi hoán vị a =
3
2 , b = 3
1 , c = 0
Bài 14
Cho a, b, c là các số d-ơng Chứng minh:
1 8 8
c ca
b
b bc
a
a
(IMO-2001)
Giải: Cách 1- f(a, b, c) = f(ka, kb, kc) đặt abc = 1
3
1
1 8
a
bc
a
a
8
a , y = 1 + 83
b , z = 1 + 83
c
1 1 1
1
z y
xy + yz + zx + 2 xyz ( x y z) xyz
Trang 5x = 1 + 83
a
9 24
1 9
a
=
3 2 2
9
a a
3
3
a a
) (
27
3 4
abc xyz
9
y z xyz
x
Cách 2
Chứng minh:
3 3 3 3
2
a a bc
a
a
bc a
a c
c b b
a
3 3 2 3 2
3
) ( )
c c b
c c b b a
)
c
c
b
c c b b a a a
8 4
) (
2 bc a bc bc a
2 3 2 3 3
3
) ( ) (a a b bc c a a 8bc3 a2 3 a2(a2 8bc), t-ơng tự
3 3 3 3
2
b b ca
b
b
3
2
c c ab
c
c
Mở rộng
k kab
c
c kca
b
b kbc
a
a
3
2 2
Bài 15
Chứng minh bất đẳng thức abbcca abc
7
9 7
2
với a, b, c là các số d-ơng và có tổng bằng 1(Chọn đội tuyển QG 2004)
Giải: Nếu a
9
7
1
7
9a bc
7
9abc
, a+ b+c = 1 b + c
9
2 , do a < 1
ab + ac <
7
2 9
2
ab + bc + ac abc
7
9 7
2
Nếu a <
9
7 1 -
7
9a
> 0, bc
4
) (bc 2
, bc
4
) 1 ( a 2
ab + bc + ac - abc
7
9 = bc(1- a
7
9 ) + a(b+c)
7
2 ) 1 ( 4
) 1 ( ) 7
9 1 (
2
a a a a
(7 - 9a)(1 - a)2 + 28a(1 - a) 8 (a + 1)(3a - 1)2 0
Dấu bằng khi a = b = c =
3 1
Bài 16
Cho a, b, c là các số d-ơng a+b+c = abc Chứng minh:
2
1
1
a
+ 2
1
1
b
+ 2
1
1
c
2
3
Giải: Đặt a = tg , b = tg , c = tg, vói , , (0,/2) và + + =
Trang 6tg( + + ) =
ca bc ab
abc c b a tg tg tg tg tg tg
tg tg tg tg tg tg
1
cos + cos + cos = cos + cos - cos( + ) = 2cos(
2
)cos(
2
)-2cos2
2
+1
2cos
2
- 2cos2
2
+1=2sin
2
- 2sin2
2
+ 1= ( 2 sin
2
1 2
3
2
-1)2
2
3
Bài 17
Cho a, b, c là các số d-ơng Chứng minh:
) (
1
c a
1
a b
1
b c
) (
2
27
c b
a Giải:
) (
1
c a
1
a b
1
b c
3
a c c b b a
a + b + c 3
3 abc
, a + b + c =
2
1 (a+ b+b+c+c+a) 3 ( )( )( )
2
3
a c c b b
2
9
abc a c c b b
Bài 18
Tìm hàm số f(x) biết rằng với mọi số thực x, y, z ta có:
f(x + y) + f(y + z) + f(z + x) 3f(x + 2y + 3z)
Giải: Thay x = y = -z f(2x) f(0)
Thay x=z=-y f(2x) f(0) f(x) = const
Bài 19
Chứng minh [ n n 1 n 2] = [ 9n 8], với n số tự nhiên
Giải Thực ra đây là chứng minh bđt:
( n 1 n)( n 1 n) = 1 n 1 n=
n
n 1
1
>
>
1 2
1
n
n = n 2 n 1 2 n 1 > n 2 n
2
1
n < 3 n 1= 9n 9
Chứng minh n n 1 n 2 > 9n 8 với n =0 và n = 1 đúng
n 2, n(n+2)-(n+
9
7 )2 =
81
49 9
4n > 0 với n 2, n(n 2 ) > n +
9 7
Từ 2 n 1 > n 2 n 2( n n 1 n 2)>3( n 2 n)
( n n 1 n 2)2 >
4
9
(2n+2+ n(n 2 ))>
4
9
(2n+2 +2n+2
9
7
) =9n+8
Bài 20
Cho a, b, c là các số d-ơng có tích bằng 1 Chứng minh:
Trang 7
2
1 2
1 2
1 1
1 1
1 1
1
b b c a c a b c
a
Giải: đặt x = a + b+ c và y = ab + bc + ca (x, y 3)
9 2 4
12 4
2
3 4
2
2
y x
y x y xy
x
x
y
x
x 3x2y + xy2 + 6xy - 5x2 - y2 - 24x - 3y - 27 0
(3x2y - 5x2 - 12x) + (xy2 - y2 - 3x - 3y) + (6xy - 9x - 27) 0 , đúng x, y 3
Bài 21
a, b, c là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh:
1 < ab + bc + ca - abc
27 28
Giải: Giả sử c b a , từ 2- a = b + c > a a < 1
Xét: ab+bc+ca-abc-1 = a(b+c)+bc(1-a)-1=a(2-a)+bc(1-a)-1=(1-a)(bc+a-1)
b < 1, c <1 (b-1)(c-1)>0 bc + 1- b-c> 0 bc+a-1>0 Vế trái đpcm
bc
4
)
(bc 2
= (1-2
a
)2=1- a+
4
2
a bc+a-1
4
2
4
) 1 ( a a2
27 1
(3a+1)(3a-2)2 0
Bài 22
Cho a, b, c là ba số d-ơng Chứng minh:
1) a6b6 + b6c6 + c6a6 + 3a4b4c4 2a3b3c3(a3+b3+c3)
2) a6+b6+c6+3a2b2c2 2(a3b3+b3c3+c3a3)
Giải:
1) Chia hai vế cho a4b4c4 Đặt x =
bc
a2
; y=
ac
b2
; z =
ab
c2
z y
x + 3 2(x+y+z)
)
1
1
y
x + 2(x-1)(y-1) + (yz-1)2 0, vì xyz = 1 nên bao giờ cũng tồn tại hai trong ba số x,
y, z cùng lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn 1
2) T-ơng tự nh- trên chia hai vế cho a2b2c2 ; đặt x = 2
c
ab
; y = 2
a
bc
; z = 2
b
ac xyz = 1sau đó trở lại nh- 1)
Bài 23
Cho a, b là các số d-ơng nhỏ hơn 1 Chứng minh
2
1
1
a
+ b 1 ab
2 1
1
2
Trang 8Giải:
2
1
1
a
1 1
1 ( 2 1
1
2 2
ab b
2 1
1 1
1
2 2
(2+a2+b2)(1+ab) 2(1+a2+b2+a2b2) a2+b2 +2 a2b2- (a2+b2)ab-2ab 0
(ab-1)(a-b)2 0 dấu bằng khi a= b
Bài 24
Gọi R, r là bán kính đ-ờng tròn ngoại, nội tiếp tam giác và r1 là bán kính đ-ờng tròn qua
ba tiếp điểm của đ-ờng tròn nội tiếp với các cạnh tam giác
Chứng minh: 2r1 r Rr1
Bài 25
Chứng minh: 2
) (n
n n1 (n 1 )!n1 (n 1 )! (với n là các số tự nhiên n 2)
Bài 26
c
ab b
ac
a
bc
b)
ca bc
ab c
b
a
1 1
1 1 1
c)
a
c
a
b
2
2
+
b a
b c
2 2
+
c b
c a
2 2
0 , hd
a c
a b
2 2
= ((b c) (c a))
a c
a b
đặt u = a+b, v=b+c, z = c+a
Bài 27
Cho a, b, c là các số thực d-ơng có tích bằng 1 Chứng minh:
(a-1+
b
1 )(b-1+
c
1
)(1+c-c
1 ) 1
Giải: Đặt a =
y
x
; b =
z
y
; c =
x
z abc = xyz
(a-1+
b
1
)(b-1+
c
1 )(c- 1+
c
1 ) = (
y
x
-1+
y
z
)(
z
y
-1+
z
x
)(
x
z
-1+
z
x
) 1 (x+z-y)(y+x-z)(z+x-y) xyz trở lại bài toán đơn giản
Bài 28
a, b, c là ba cạnh tam giác Chứng minh 2 2
2
2
c b
bc a
2
2
c a
ac b
2
2
a b
ba c
>3
H-ớng dẫn : a2 > (b-c)2 a2 + 2bc > b2 + c2
Bài 29
a, b, c, d là các số d-ơng và
d c
b a
< 2 Chứng minh 2 2
2 2
d c
b a
< 8
Trang 9H-ớng dẫn :(c + d)2 < 2(c2 + d 2) , (a+b)2 > a2 + b2
) (
2
2
d
c
b
a
<(
d c
b a
)2 < 4
Bài 30
a, b, c > 0 Chứng minh:
bc a
bc
2
2 +b ca
ca
2
2 c ab
ab
2
2 1
bc a
a
2
2
2
+b ca
b
2
2
2
+c ab
c
2
2
2
Giải: b2 + c2 2bc a2 + b2 + c2 a2 +2bc
bc a
a
2
2
2
2 22 2
c b a
a
bc
a
a
2
2
2
+b ca
b
2
2
2
+c ab
c
2
2
2
2 22 2
c b a
a
+ 2 2 2
2
c b a
b
+ 2 2 2
2
c b a
c
= 1
VP + 2VT = 3 3 = VP + 2VT VT + 2 VT 1
Bài 31
Cho a, b, c là các số thực d-ơng Chứng minh:
2 2
2
)
(
2
)
2
(
c
b
a
c
b
a
2
) ( 2
) 2
(
a c b
a c b
2
) ( 2
) 2
(
b a c
b a c
8
2
) ( 2
) 2
(
c b a
c b a
2
) ( 2
) 2
(
c b a
c b a
2
) ( 2
) 2
(
c b a
c b a
) 1
2 2
2 2
2
) ( 2
) (
4 ) (
2
c b a
ac ab bc c
b
a
2 2 2
) ( 2
) (
4 ) (
2
c a b
bc ba ac c
b a
2 2 2
) ( 2
) (
4 ) (
2
b a c
ac cb ab c
b a
1 Sử dụng (x+y)2 2(x2+y2)
VT
) (
2 2
) (
4 ) (
6
2 2 2
2 2 2
c b a
ac bc ab bc ab ac ac ab bc c
b a
Bài 32(đề thi ts Nguyễn Trãi)
Cho a, b, c > 0 , a < bc và 1+a3 = b3 + c3 Chứng minh 1 + a < b + c
Giải: (1+a)(1-a+a2) = (b+c)(b2-bc+c2)
1 + a < b + c 1-a+a2 > b2- bc+c2
Giả sử 1+a b+c b2- bc+c2 1-a+a2 (b+c)2 - 3bc (1+a)2 - 3a > (1+a)2 - 3bc
(b+c)2 > (1+a)2 b +c >1 + a
Bài 33
a, b, c là các số thực d-ơng và ab + bc + ca = 1 Chứng minh:
c b a
1 1 1
3(a+b+c)
Trang 10Giải: qui đồng abc(a+b+c)
3 1
abc(a+b+c) =(abac+bcba+cacb)
3
) (abbcca 2
=
3
1
dấu bằng a=b=c=
3 1
Bài 34
Cho các số thực d-ơng a, b, c Chứng minh:
1<
2 2
b a
a
+ 2 2
c b
b
+ 2 2
a c
c
2
2 3
Giải: P =
2 2
b a
a
c b
b
a c
c
P =
2 2
2
1
1 1
1 1
1
z y
Với x=b/a; y=c/b; z = a/c xyz = 1
P > 1 dễ dàng
Sử dụng
2
1
1
a
+ b 1 ab
2 1
1
2 với ab <1
Giả sử z 1 Q =
xy
1
2 1
1
2 do xyz =1 ; đặt t=1/z
Q =
t t
t
1
2
t t
t
1
2 1
2
=
t
t t
t
1 2 1
2
; (1+t 2 ( 1 t2))
t
t
t
t
1
2
1
2
2
2 3
2t + 2 2 ( 1 t) 3t + 3 bình ph-ơng có: (t-1)2 0
Bài 35
Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền là a và hai cạnh góc vuông là b, c
Chứng minh (bc) b (bc) c 2 2a a
Giải: b + c (bc)2 (bc)2 2a;
(b + c) b + (b - c) c (bc)2 (bc)2 bc 2a 2a
dấu bằng không xảy ra: (b + c) : (b - c) = b : c 1 : 1
Bài 35
a, b, c (0; /2) Chứng minh:
) sin(
) sin(
) sin(
sin
c b
c a b
a
a
+
) sin(
) sin(
) sin(
sin
a c
a b c b b
+
) sin(
) sin(
) sin(
sin
b a
b c a c c
0 Chứng minh: Giả sử a b c
P
) sin(
) sin(
) sin(
sin
c b
c a b a
a
-
) sin(
) sin(
) sin(
sin
a c
b a c a b
+
) sin(
) sin(
) sin(
sin
b a
c b c a c
=
Trang 11Bài 36
Sử dụng định lý Lagrăngs (f(x) liên tục [a; b] và có đạo hàm (a; b) tồn tại c (a; b) thoả mãn f(b)-f(a) = (b-a)f ' (c)
Chứng minh rằng x = 5 không là nghiệm bất ph-ơng trình:
sin(x 1 ) 3 cosx sinx3 cos(x 1 ) 3 cosxcos(x 1 )
cos
sin )
1 cos(
) 1 sin(
3
x
x x
x
, xét hàm số
3
cos
sin ) (
x
x t
3
2 ,
cos cos 3
1 cos 2 ) (
x x
x x
áp dụng bđt Cosi f ,(x) 1 f(x+1) - f(x) > 1
Bài 37
x
) 1 cos(
cos cos
) 1 sin(
) 1
Chứng minh rằng x = e là nghiệm của bất ph-ơng trình
Giải > e; e-1 >1, 71828 >
2
sine>0; sin(e-1) > 0; cose<0; cos(e-1) <0
3
cos
sin
)
(
x
x
t
f ; (e-1; e) (;
2 ) ; f(e)-f(e-1) > 1 Ph-ơng pháp dồn biến
Để chứng minh f(x1, x2, , xn) 0 ta đ-a về
f(x1, x2, , xn) f( x1x2 , x1x2 , x3 , xn)
Hoặc f(x1, x2, , xn) f(
2
2
1 x
x
, 2
2
1 x
x
, x3 , xn)
chứng minh f( x1x2 , x1x2 , x3 , xn) 0 hoặc f(
2
2
1 x
x
, 2
2
1 x
x
, x3 , xn) 0 Bài 36: a, b, c > 0 và abc = 1
Chứng minh a2 + b2 c2 + 3 ab + bc + ca + a + b + c
Giải: f(a, b, c) = a2 + b2 c2 + 3 - (ab + bc + ca + a + b + c)
) , , ( )
,
,
(a b c f a bc bc
f = ( b c)2[( b c)2 a 1 ]
a bc c
b ) 4 4 4 1
Chứng minh f(a, bc, bc) 0; a a
a
a2 ( 1 1 )2 2 2
a2+2 2a + 1 a + 2 a
Bài 37: Cho a, b, c là các số d-ơng Chứng minh
) (
3 ) (
2 a b c a b c abc
Xét f(a,b,c) 2 (a2 b2 c2) 33 a2b2c2 (abc)2, giả sử a b c
f(a,b,c) f(a, bc, bc)= 2 2 2 3 2 2 2 2
) (
3 ) (
2 a b c a b c abc -
2 2
2 2 2
) 2 ( 3
)
2
(
2 a bc a b c a bc = ( b c)2[( b c)2 2a]
Trang 12dÔ dµng chøng minh b + c 2a
) 2 ( 3
) 2 (
bc a c
b
a
a2 33 2 2 2 4 ( cosi cho 4 sè)