bài tập và cách giải bất đẳng thức toán học

Trong thời đại công nghệ thông tin với việc kết nối internet bạn có thể giao lưu học hỏi được rất nhiều về các phương pháp làm bài bất đẳng thức, hoặc học hỏi với nhiều cuốn sách về bất

Trang 1

www.vietmaths.com

Trang 2

www.vietmaths.com

Trang 3

(b − c)2

Không mất tính tổng quát giả sử a ≥ b ≥ c

Ta có:

Nên theo định lí S.O.S ta có điều phải chứng minh

230

Mục lục

1.1 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM) 6

1.2 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình điều hoà (AM-HM) 6

1.3 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 6

1.4 Bất đẳng thức Holder 7

1.5 Bất đẳng thức Chebyshev 7

1.6 Bất đẳng thức Minkowski 7

1.7 Bất đẳng thức Schur 7

1.8 Bất đẳng thức Vornicu - Schur 8

1.9 Bất đẳng thức Bernoulli 8

1.10 Ba tiêu chuẩn SOS thường gặp 8

2 Một số đánh giá quen thuộc 9 3 Tuyển tập bất đẳng thức 10 3.1 Bài 1.1 đến bài 1.40 10

3.2 Bài 2.1 đến bài 2.40 37

3.3 Bài 3.1 đến bài 3.40 56

3.4 Bài 4.1 đến bài 4.40 77

3.5 Bài 5.1 đến bài 5.40 100

3.6 Bài 6.1 đến bài 6.40 128

3.7 Bài 7.1 đến bài 7.40 144

3.8 Bài 8.1 đến bài 8.40 163

3.9 Bài 9.1 đến bài 9.40 188

3.10 Bài 10.1 đến bài 10.40 206

3

www.vietmaths.com

Trang 4

Lời nói đầu

Biển vẫn mãi nhấp nhô với những con sóng dạt vào bờ, thuyền vẫn mãi lênh đênh theo từng con

sóng đi vào đại dương, và trong đất liền cuộc sống vẫn có nhiều bất cập còn đang xảy ra, , tất

cả những điều đó đều là các bất đẳng thức trong phạm trù đặc thù của từng lĩnh vực Trong toán

học cũng vậy nói đến bất đẳng thức là chúng ta nói đến một lớp bài toán khó mà ẩn chứa bên

trong có nhiều lời giải đẹp lạ kì làm say đắm biết bao nhiêu người

Trong thời đại công nghệ thông tin với việc kết nối internet bạn có thể giao lưu học hỏi được rất

nhiều về các phương pháp làm bài bất đẳng thức, hoặc học hỏi với nhiều cuốn sách về bất đẳng

thức đang bày bán trên thị trường nhưng để có một cuốn sách bất đẳng thức hay với sự hội tụ

tinh hoa kiến thức của nhiều người thì điều đó chính là điểm mạnh của cuốn sách bất đẳng thức

mà các bạn đang cầm trên tay

"Tuyển Tập Bất Đẳng Thức" với khoảng bốn trăm bài toán bất đẳng thức chọn lọc được gửi tới

từ các bạn trẻ, các thầy cô giáo yêu toán trên mọi miền của tổ quốc, ở đó bao gồm các bài toán

bất đẳng thức mới sáng tạo, các bài toán bất đẳng thức khó, các bài toán bất đẳng thức hay và

thú vị mà các bạn trẻ muốn chia sẻ với mọi người Điều đó tạo nên sự hấp dẫn, tính cập nhật và

thời đại của cuốn sách này

Bạn đọc hãy nhâm nhi với những lời giải hay, những ý tưởng độc đáo, những sáng kiến lạ kì trong

cách giải từng bài toán để từ đó rút kinh nghiệm học tập cho mình, giúp cho bạn thêm yêu, thêm

tin vào việc giải nhiều bài toán bất đẳng thức

Với tinh thần làm việc nghiêm túc, ham học hỏi nhóm biên tập xin được gửi lời cảm ơn sâu

sắc tới tất cả các bạn đã tham gia gửi bài và giải bài, đồng thời cũng xin bày tỏ sự cảm

ơn và kính trọng tới thầy giáo Châu Ngọc Hùng - THPT Ninh Hải - Ninh Thuận đã nhiệt

tình cố vẫn kĩ thuật latex Nhóm biên tập cũng xin gửi lời cảm ơn tới ban quản trị diễn đàn

ngày hôm nay chúng ta có một cuốn sách hay, có giá trị cao về kiến thức chuyên môn mà lại hoàn

toàn miễn phí về tài chính

"TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC" chính thức được phát hành trên cộng đồng mạng những

người yêu toán, để từ đó thổi một luồng gió mới đem lại nhiều điều mới lạ cho học sinh, là tài

liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên trong việc giảng dạy và học tập bất đẳng thức

Do thời gian gấp rút và trình độ có hạn, dù rất cố gắng song những sai sót là khó tránh khỏi rất

mong nhận được sự thông cảm, chia sẻ, góp ý của các bạn để nhóm biên tập hoàn thiện cuốn sách

Thay mặt nhóm biên soạn, tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 8 năm 2011

Đại diện nhóm biên soạn

Chủ biênHoàng Minh Quân-Batigoal

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

s32a(a + b)(a + b + c)

s2a

Cộng vế theo vế (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

10.39 Cho x, y, z, t là các số thực không âm Chứng minh rằng:

Như vậy, phép chứng minh hoàn tất

10.40 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Trang 5

10.36 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a2+ b2+ c2 = 3 Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức này đúng vì theo AM-GM và điều giả sử ta có

|(a − b)(b − c)(c − a)| = (a − b)(a − c)(b − c)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

10.38 Cho a, b, c, d là các số thực dương Chứng minh rằng:

s32a(a + b)(a + b + c)

• Hoàng Minh Quân - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội

• Tăng Hải Tuân - THPT Nguyễn Đức Cảnh - TP Thái Bình

• Lê Đức Cảnh - THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định

• Đào Thái Hiệp - PTNK - ĐHQG HCM

• Phạm Tuấn Huy - PTNK - ĐHQG HCM

• Phạm Quang Hưng - THPT Cao Bá Quát - Hà Nội

• Phạm Tiến Kha - THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM

• Nguyễn Văn Khánh - THPT Chuyên Bắc Ninh - TP Bắc Ninh

• Nguyễn Thị Nguyên Khoa - THCS Nguyễn Tri Phương - TP Huế

• Mạc Đức Trí - Hải Dương

LATEX

Hỗ trợ kĩ thuật Latex

• Châu Ngọc Hùng - THPT Ninh Hải - Ninh Thuận

• Các thành viên trong nhóm biên soạn

Trang 6

1.2 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình điều hoà

Thực chất đây là một hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Hai trường hợp thường

được sử dụng nhất của bất đẳng thức này là khi n = 3 hay n = 4

Với n = 3, ta có

a + b + c

a+ 1b +1c,1

Cauchy - Schwarz dạng phân thức:

q

yz

+

10.35 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

Hay:

Điều này đúng theo AM-GM

Vậy bài toán được chứng minh xong

Bất đẳng thức này luôn đúng theo Vasile Cirtoaje

Bài toán được chứng minh xong

www.vietmaths.com

Trang 7

Áp dụng AM-GM hai lần ta sẽ có ngay điều phải chứng minh

abc(a + b + c)

10.34 Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn xy + yz + zx = 3

ij

!

Cho các số thực không âm a, b, c Khi đó với mọi số thực dương r, ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, hoặc a = 0 và b = c, hoặc các hoán vị tương ứng.Hai trường hợp thường được sử dụng nhất của bất đẳng thức Schur là r = 1 và r = 2

Với r = 1, ta có bất đẳng thức Schur bậc ba

Trang 8

Với r = 2, ta thu được bất đẳng thức Schur bậc bốn

7 x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác;

8 x, y, z là bình phương độ dài ba cạnh của một tam giác;

9 ax, by, cz là độ dài ba cạnh của một tam giác;

10 ax, by, cz là bình phương độ dài ba cạnh của một tam giác;

sao cho x = t(a), y = t(b), z = t(c)

Điều cuối cùng là vô lí, do đó bài toán của ta đúng

Phép chứng minh hoàn tất

abc(a + b + c)Chuẩn hóa cho a + b + c = 3, bất đẳng thức trở thành

www.vietmaths.com

Trang 9

Từ đó ta có ngay hàm f (x) nghịch biến trên (1; +∞).

10.31 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

Ta có điều phải chứng minh

10.32 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

2 Một số đánh giá quen thuộc

1 Với mọi số thực a, b, ta luôn có

Chứng minh Để ý rằng

do đó ta có điều phải chứng minh

2 Với mọi số thực a, b, c, ta luôn có

do vậy ta có điều phải chứng minh

Lưu ý Từ đánh giá này ta suy ra

9

www.vietmaths.com

Trang 10

b và c và cộng vế theo vế các bất đẳng thức thu được, ta có

Thay m = a − 4, n = b − 5, p = c − 6 ta suy ra a + b + c ≥ 10 hay P ≥ 16

Cuồi cùng, với a = 4, b = 5, c = 7 (thoả mãn các điều kiện đã cho) ta có P = 16 nên ta kết luận

16 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Bất đẳng thức cuối luôn đúng, vậy ta có điều phải chứng minh

rabc

Trang 11

a + b + cTương tự 2 biểu thức còn lại và cộng vế theo vế ta được:

10.29 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh rằng:

rabc

1

Đến đây ta cộng vế theo vế các bất đẳng thức thu được để có

do vậy từ giả thiết a, b ≥ 0 ta suy ra

Trang 12

Lời giải Bất đẳng thức ban đầu mang tính hoán vị giữa các biến nên không mất tính tổng quát,

ta giả sử a = max {a, b, c}

Với a ≥ b ≥ c thì vế phải là biểu thức không dương, trong khi vế trái là biểu thức không âm nên

bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng Do vậy ta xét trường hợp a ≥ c ≥ b Khi đó bình

phương hai vế ta thu được bất đẳng thức tương đương sau:

Để ý rằng các biến không âm, và với việc sắp thứ tự như trên thì

Các bất đẳng thức trên đều mang tính đối xứng giữa các biến nên không mất tính tổng quát ta

hoàn toàn có thể giả sử a ≥ b ≥ c Khi đó không khó để ta suy ra

10.25 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta thu ngay điều phải chứng minh

10.27 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

Trang 13

(ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

Cách 3 Đặt x = ab + bc + ca Khi đó sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc

Bài toán được chứng minh hoàn toàn

= 0nên ta suy ra

ab

b + c

.Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự và cộng lại, ta suy ra dãy các đánh giá sauab

bc

ca

a + b

+

ca

Trang 14

Lời giải 2 Bất đẳng thức ban đầu mang tính hoán vị giữa các biến, nên không mất tính tổng

quát, ta giả sử b = max {a, b, c}

Ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM như sau

.Như vậy để kết thúc chứng minh, ta cần chỉ ra rằng

(b − a)(b − c)

là một đánh giá đúng do ta đã giả sử b = max {a, b, c}

Lời giải 3 Bất đẳng thức ban đầu mang tính đối xứng giữa các biến nên không mất tính tổng

quát, ta giả sử b nằm giữa a và c

Ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM như sau:

(a − b)(b − c)

tuy nhiên đây lại là một đánh giá đúng do ta đã giả sử b nằm giữa a và c

Nhận xét Lời giải đầu tiên không mang nhiều ý nghĩa lắm, vì nó đơn thuần chỉ là biến đổi

tương đương kèm theo một chút tinh ý trong sử dụng các đánh giá quen thuộc và cơ bản Ở đây

ta bàn thêm về hai lời giải bằng AM-GM

Do vậy, một cách tự nhiên ta nghĩ ra hai hướng để giải quyết bài toán trên bằng AM-GM:

1 Biểu diễn A = X + Y , với X và Y là hai đại lượng thích hợp, sau đó áp dụng bất đẳng thức

= 3

1

Trang 15

10.21 Cho ba số thực không âm a, b, c, d, e Chứng minh rằng:

Lời giải

Nếu abcde = 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Với abcde 6= 0 ta có bất đẳng thức tương đương với

Thực hiện tương tự cho các hạng tử còn lại, sau đó cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

10.23 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

và ta có được lời giải thứ hai Cần lưu ý rằng đây không phải là cách chọn duy nhất

Hướng 2 Xét hiệu sau

Để ý rằng trong hiệu trên thì hệ số của biến b bằng

Trang 16

và như vậy ta đã có lời giải thứ ba.

1.10 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Đến đây ta cộng thêm 2(ab + bc + ca) vào mỗi vế để có

Bất đẳng thức cuối luôn đúng, phép chứng minh hoàn tất

Luôn đúng theo Schur bậc 3

Trở lại bài toán, bất đẳng thức của bài toán mà ta cần chứng minh tương đương với

www.vietmaths.com

Trang 17

Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM.

10.17 Cho ba số thực dương x, y, z Chứng minh rằng:

10.18 Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

Vậy, ta cần chứng minh được

Sử đụng đánh giá trên, kết hợp với bất đẳng thức AM-GM, ta được:

Bất đẳng thức này có thể được chứng minh bằng nhiều cách khác nhau

Để ý rằng ta có đánh giá cơ bản sau:

17

www.vietmaths.com

Trang 18

do vậy để có kết luận cho bài toán ta cần chỉ ra rằng

2

hay a + b + c ≥ 3, là một đánh giá đúng do ta đã chứng minh ở trên

Thực hiện phép khai triển tương đương ta được ab + bc + ca ≥ 3 Tuy nhiên bất đẳng thức này

đúng nhờ vào giả thiết của bài toán Lưu ý rằng từ giả thiết ta có

1.14 Cho a, b, c, d là các số thực dương thoả mãn a + b + c + d = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Đây là 1 điều hiển nhiên đúng theo AM-GM, do đó phép chứng minh của ta hoàn tất

Lời giải 2 Đặt p = a + b + c, q = ab + bc + ac, r = abcBất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Bất đẳng thức cuối đúng, vậy ta có điều phải chứng minh

Trang 19

Do đó ta có điều phải chứng minh.

.Khi đó ta đưa bất đẳng thức về dạng đồng bậc là

vuut

11256

Trang 20

Như vậy để kết thúc chứng minh, ta cần chỉ ra rằng

Trước hết ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM như sau:

Khi đó, bất đẳng thức tương đương với:

Nên theo định lí S.O.S ta có Bất đẳng thức (1) đúng

Do đó ta có điều phải chứng minh

10.13 Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của:

www.vietmaths.com

Trang 21

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

1.17 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

vào hai vế để được

Đến đây ta áp dụng AM-GM như sau:

1.18 Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

Trang 22

1 Chứng minh (1 − 4ab)2+ (1 − 4bc)2+ (1 − 4ca)2 ≤ 3.

Trước hết ta có

1 = a + b + c ≥ a + b ≥ 2

√ab,

từ đó suy ra 1 ≥ 4ab Đến đây ta sử dụng giả thiết các biến không âm để có

Dễ thấy bất đẳng thức trên tương đương với mỗi bất đẳng thức trong dãy sau:

tức là bất đẳng thức ban đầu đã được chứng minh

Như vậy ta có điều phải chứng minh

10.10 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng

2+ b2− c2

2ab2

=

abc2

r

ab

=(a + b)

Trang 23

3ab3b + c

10.9 Cho a; b; c dương và a + b + c = 3 Chứng minh rằng

Sử dụng bất đẳng thức Minkowski, kết hợp với bất đẳng thức AM-GM và giả thiết, ta được

Sau khi khai triển và rút gọn, ta được bất đẳng thức hiển nhiên đúng

23

www.vietmaths.com

Trang 24

tính tổng quát, ta giả sử a ≥ b ≥ c Khi đó a + b − c ≥ 0 và c + a − b ≥ 0.

Nếu b + c − a < 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng do (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) ≤ 0 < 1 Do

đó ta chỉ cần giải quyết bài toán trong trường hợp b + c − a ≥ 0 Lúc này ta đặt x = b + c − a, y =

c + a − b, z = a + b − c Khi đó ta viết lại điều kiện như sau

Lời giải 2 Bất đẳng thức cần chứng minh mang tính đối xứng giữa các biến, do đó không mất

tính tổng quát, ta giả sử a ≥ b ≥ c Khi đó a + b − c ≥ 0 và c + a − b ≥ 0

Nếu b + c − a < 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng do (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) ≤ 0 < 1 Do

đó ta chỉ cần giải quyết bài toán trong trường hợp b + c − a ≥ 0 Lúc này ta đặt x = b + c − a, y =

c + a − b, z = a + b − c Khi đó ta viết lại điều kiện như sau

Ta sẽ giải quyết bài toán bằng phương pháp phản chứng Thật vậy, giả sử rằng xyz > 1 Khi đó,

từ giả thiết, ta suy ra

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc trong bộ 3 số sau và các hoán vị (a, b, c) =

10.6 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn

xyz(x + y)(y + z)(z + x) = (xz + yz)(yx + zx)(zy + xy)

10.7 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn

Trang 25

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 13 2

Điều này hiển nhiên đúng Bất đẳng thức được chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc trong bộ 3 số sau và các hoán vị (a, b, c) =

!.ab +

√5

!

√54

!.ab +

√15

!

√156

!+

√29

!

√298

Cộng vế theo vế các đánh giá trên lại, ta được

trái với (∗) Mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả sử ban đầu là sai, do vậy xyz ≤ 1

Sau khi khai triển và rút gọn, ta được

Trang 26

Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức thứ hai Đây là bất đẳng thức đối xứng nên không mất

Gọi (x; y; z) là một hoán vị của (a; b; c) sao cho x ≥ y ≥ z

Khi đó theo bất đẳng thức hoán vị ta có:

Như vậy ta sẽ chứng minh:

Bất đẳng thức cuối luôn đúng, nên ta có điều phải chứng minh

10.4 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của

rab

rbc

rca

2Lời giải

Với giả thiết a + b + c = 1 thì:

rab

2

b

2

c

rbc

Trang 27

10.2 Cho hai số thực dương x; y thỏa mãnx + y = 2 Chứng minh rẳng:

Trang 28

Để ý rằng theo bất đẳng thức Holder, ta được đánh giá sau với mọi số thực dương a, b, c:

1

Như vậy, để kết thúc chứng minh, ta cần chỉ ra rằng

Lời giải 3 Bất đẳng thức ban đầu mang tính đối xứng giữa các biến, do đó không mất tính tổng

quát, ta giả sử a ≥ b ≥ c Khi đó ta có

9.37 Cho bai số thực dương x; y; zc thỏa mãnxy + yz + zx = xyz Chứng minh rẳng:

9.38 Cho hai số thực dương a; b; c Chứng minh rẳng:

Trong 3 số x, y, z phải có 2 số cùng lớn hơn hoặc cùng nhỏ hơn so với 3, giả sử đó là x vày

Mặt khác từ giả thiết suy ra xyz = xy + z + zx

www.vietmaths.com

Trang 29

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

abBây giờ ta chỉ cần chứng minh:

1

Trang 30

Coi đó là một phương trình theo ẩn x Xét biệt thức của phương trình trên, ta thấy rằng để

phương trình trên có nghiệm thì

Bất đẳng thức cuối đúng theo AM-GM

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =

√3

Là tương tự cho các biểu thức còn lại, với chú ý:

Trang 31

9.28 Cho các số thực dương a; b; c Chứng minh rẳng:

Tương đương

9.30 Cho hai số thực dương a; b Chứng minh rẳng:

Trang 32

và vì x2+ y2 ≥ 2xy theo bất đẳng thức AM-GM nên

ý rằng từ đây ta có m, n, p < 2), và bất đẳng thức đã cho được viết lại thành

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

Hơn nữa, ta cũng có

(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (a + bc)(b + ac)(c + ab)

Sử dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số :

(b + 1)(a + c) = (ab + c) + (bc + a) ≥ 2p(ab + c)(bc + a)(c + 1)(a + b) = (ac + b) + (bc + a) ≥ 2p(ac + b)(bc + a)Nhân vế theo vế ta chỉ cần chứng minh:

9.25 Cho các số thực không âm x; y; zc thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức:

Lời giải

2 + b2+ c2)2Lời giải

Ta tách ra để chứng minh đơn giản với 2 biến như sau

Trang 33

Áp dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu ta có:

9.24 Cho các số thực dương a; b; c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rẳng:

√

2Bất đẳng thức này được suy ra từ 2 bất đẳng thức:

Chứng minh trường hợp tổng quát:

Sử dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số, ta chỉ cần chứng minh:

3

Như vậy, ta suy ra

4.2

= 64,hay

Trang 34

ban đầu được chứng minh xong.

9.19 Cho các số thực dương a; b; c thỏa mãn a + b + c ≤ 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểuthức:

9

ab

ab2b

2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz:

P

9.21 Cho các số thực dương x; y; zc thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rẳng:

Trang 35

√

Câu hỏi mở:Các bạn có thể giải quyết bài này theo cách trên được không? Vì sao?

Cho các số thực dương a; b; c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng:

3

r1

3

r1

√

1

Trang 36

(x − y)(y − z) ≥ 0.

1.39 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

1.40 Cho a, b, c là các số thực không âm thay đổi bất kì Chứng minh rằng:

Lời giải Bất đẳng thức ban đầu mang tính đối xứng giữa các biến, nên không mất tính tổng

quát, ta giả sử a = max{a; b; c} Khi đó thực hiện biến đổi tương đương, ta thu được dãy bất

đẳng thức tương đương với bất đẳng thức cần chứng minh

a(a − b)(a − c) + b(b − a)(b − c) + c(c − a)(c − b) ≥ 0,

3 + 3) > 6Dấu bằng chỉ xảy ra khi a = b = c = 1

Ta có các bất đẳng thức sau: (1 − a)(1 − bc) + (1 − b)(1 − c) ≥ 0 ⇔ abc + 2 ≥ a + b + c

9.15 Cho các số thực không âm a; b; c thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểuthức:

Trang 37

(a − b)(b − c)(c + a) + b(2a − c)(2c − a) ≥ 0.

Tuy nhiên đánh giá cuối cùng đúng do a ≤ b ≤ c, đồng thời c ≤ 2 ≤ 2a và a ≤ 2 ≤ 2c Từ đó ta

suy ra bất đẳng thức ban đầu được chứng minh xong

Biến đổi như sau:

a + b + c − abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc = (a + b)(b + c)(c + a)

(a + b + c)

a

Trang 38

Như vậy, để kết thúc chứng minh, ta cần chỉ ra rằng

b

ca

Thực hiện phép biến đổi tương đương, ta thu được đánh giá cơ bản sau

ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) ≥ 6abc

Do vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh xong

Bất đẳng thức ban đầu mang tính đối xứng giữa các biến nên không mất tính tổng quát, ta giả

sử 2 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ 1 Từ đây ta có các đánh giá sau

mà dấu bằng đạt tại biên)

Lời giải 2 Bất đẳng thức ban đầu mang tính đối xứng giữa các biến nên không mất tính tổngquát, ta giả sử 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 2

Dễ thấy bất đẳng thức ban đầu tương đương với mỗi bất đẳng thức trong dãy sau:

(a + b + c)(ab + bc + ca) ≤ 10abc,ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) ≤ 7abc,

www.vietmaths.com

Trang 39

do vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh xong.

2

1x

2

13y

1

16z

Để ý rằng ta có đánh giá cơ bản sau

b

a+

rZX

a(a + b)

+ a(b − c)

1

a(a + b)

≥ 0,tương đương

Trang 40

2 Riêng với trường hợp k = 1, ta có thể chứng minh bài toán dựa trên bất đẳng thức sau (đây

là một bài trong Belarusian Mathematical Olympiad 1998): Cho a, b, c là các số thực dương

Việc chứng minh cũng như áp dụng xin để dành cho bạn đọc

2.5 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

√

c ≥ ab + bc + caLời giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với

Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức AM-GM, ta có hai đánh giá:

Định dạng
Số trang	116
Dung lượng	1,35 MB