108 bai toan bat dang thuc

Sigma - MATHSLÍI GIÎI THI›UCuèn s¡ch nhä n y ÷ñc nhâm c¡c th nh vi¶n SIGMA-MATHS s÷u t¦m v bi¶n so¤nphöc vö cho cæng ngh» gi¡o döc cõa nhâm.. Appendix: Ghi nhanh mët b i gi£ng lþ thó cõa

108 b i tªp v  v§n · v· b§t ¯ng thùc

Sigma-maths Sigmathsgroup@gmail.com

Sigma - MATHSLÍI GIÎI THI›U

Cuèn s¡ch nhä n y ÷ñc nhâm c¡c th nh vi¶n SIGMA-MATHS s÷u t¦m v  bi¶n so¤nphöc vö cho cæng ngh» gi¡o döc cõa nhâm

Xu§t ph¡t tø c¡c v§n · r§t ìn gi£n ng÷íi håc câ thº nhanh châng l m quen v  th¥nthi»n vîi chuy¶n ng nh B§t ¯ng Thùc(BT), câ c¡i nh¼n tü tin, têng thº tr÷îc c¡c v§n

· v· BT Ngay c£ khi ph£i r±n luy»n c¡c kÿ n«ng º i thi chóng ta v¨n câ õ b£nl¾nh º ¡nh gi¡ vi»c m¼nh ang ph£i thüc hi»n V¨n câ thº th§y m¼nh ang l m to¡n hay

ang l m quen vîi nhúng k¾ n«ng thi cû

Hi vång c¡c gi£ng vi¶n hay c¡c b¤n l¦n ¦u l m quen vîi BT ·u t¼m th§y nhúng i·u

bê ½ch

S¡ch gçm 4 ph¦n:

1 L m quen: Tø c¡c b i tªp ìn gi£n n¥ng cao d¦n, c¡c gi¡o vi¶n câ th¶m t i li»u gi£ngd¤y t½ch hñp v· · t i C¡c b¤n håc sinh câ thº tü thüc hi»n c¡c b i tªp Cuèi ch÷ìngchóng ta ÷ñc l m quen vîi c¡c BT nêi ti¸ng ð d¤ng ìn gi£n nh§t

2 T¼m hiºu BT (d÷îi m­t nh¼n cõa ng÷íi tá má) Trong möc n y chóng tæi giîi thi»uhai · t i cán t÷ìng èi mîi v  thó và â l  ành lþ s­p x¸p v  ành lþ Sapiro ành

lþ ¦u câ thº dòng º chùng minh h ng lo¤t c¡c ành lþ nêi ti¸ng kh¡c nh÷ k¸t qu£ ¡pdöng Tuy b§t ngí nh÷ng ngh¾ k¾ th¼ r§t to¡n BT l  mët quan h» so s¡nh v  s­p x¸p.K¸t qu£ cõa ành lþ s­p x¸p phöc vö l m s¡ng tä quan h» cõa c¡c v§n · ¥y ch½nh l 

sü ph£n ¡nh t¡c döng tèt cõa cæng cö v  nh¢n quan mîi n y V§n · Sapiro l  mët v§n

· t÷ìng èi mîi Vøa ho n th nh sau 45 n«m kº tø khi ra íi ang cán ti¸p töc c¡ckhai ph¡ kh¡c v· chùng minh mîi hay c¡c ph÷ìng di»n ùng döng b§t ngí

3 Ph¦n luy»n tªp: K¸t thóc b¬ng nhúng b i to¡n hay v  lþ thó, cuèn s¡ch cung c§pcho c¡c b¤n nhúng k¸t qu£ nêi ti¸ng düa tr¶n c¡c ki¸n thùc vøa l m quen

4 Appendix: Ghi nhanh mët b i gi£ng lþ thó cõa GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu v· BTbªc 2 v  ùng döng

- Mong b¤n åc âng gâp nhúng þ ki¸n quþ gi¡ º cæng vi»c cõa chóng tæi ng y c ng

ho n thi»n v  phöc vö c¡c b¤n ÷ñc nhi·u hìn

MÖC LÖC Sigma - MATHS

Möc löc

1.1 B§t ph÷ìng tr¼nh 3

1.2 C¡c trung b¼nh th÷íng g°p 3

1.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, i·u háa cõa hai sè 4

1.4 B§t ¯ng thùc trong b§t ¯ng thùc 6

1.5 Trung b¼nh cëng v  trung b¼nh nh¥n cõa nhi·u sè 7

1.6 ành lþ v· c¡c s­p x¸p 9

1.7 B§t ¯ng thùc tam gi¡c 10

1.8 B§t ¯ng thùc CBS 10

1.9 B§t ¯ng thùc Jensen 11

1.10 C¡c b i tªp têng hñp 12

2 Tr¦m ng¥m trong l¥u  i B§t ¯ng Thùc 14 2.1 B§t ¯ng thùc s­p x¸p - hay cán gåi l  BT ho¡n và 14

2.2 B§t ¯ng thùc Shapiro : gi£i xong m  ch÷a thº h¸t 18

3 Luy»n tªp 20 3.1 p döng c¡c BT nêi ti¸ng 20

3.2 B§t ¯ng thùc trong h¼nh håc 22

4 Appendix 23 4.1 Nhúng b§t ¯ng thùc bªc 2 kiºu th¦y Mªu 24

4.2 Trong c«n h¦m b½ mªt cõa c¡c phò thõy ra · 24

4.3 Còng b i thi n y c¡c anh t i BT s³ h nh ëng th¸ n o? 25

3 D¢y sè sau d¢y n o bà ch°n tr¶n, (tùc l  tçn t¤i mët sè K sao cho b§t k¼ ph¦n tû

n o cõa d¢y ·u câ gi¡ trà khæng v÷ñt qu¡ K) H¢y x¡c ành câ tçn t¤i sè K nh÷vªy khæng v  hay t¼m sè K nhä nh§t n¸u câ thº trong méi tr÷íng hñp:

1n(n + 1)

5 ¡y cõa mët h¼nh thang l  a v  c H¢y biºu thà qua a v  c c¡c ¤i l÷ñng sau:

a, ÷íng trung b¼nh cõa h¼nh thang

b, o¤n th¯ng i qua giao iºm cõa hai ÷íng ch²o, song song vîi hai ¡y v  giîih¤n bði hai c¤nh b¶n cõa h¼nh thang

c, o¤n th¯ng n o lîn hìn trong c¡c o¤n th¯ng x¡c ành trong a v  b ? H¢y chochùng minh b¬ng ¤i sè v  h¼nh håc

1.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, i·u háa cõa hai sè Sigma - MATHS

6 (Vªn tèc trung b¼nh, thíi gian v  qu¢ng ÷íng)

a, Mët æ tæ i vîi vªn tèc v1 trong mët thíi gian nh§t ành, v  sau â i vîi vªntèc v2 công trong thíi gian nh÷ vªy Häi tr¶n c£ qu¢ng ÷íng xe æ tæ i vîi vªn tèctrung b¼nh l  bao nhi¶u?

b, Mët æ tæ i tø A ¸n B vîi vªn tèc v1, sau â khi quay l¤i tø B v· A vîi vªn tèc

v2 H¢y x¡c ành vªn tèc trung b¼nh cõa æ tæ trong c£ h nh tr¼nh

7 Tam gi¡c vuæng ABC ÷íng cao CT chia c¤nh huy·n AB thanh c¡c o¤n AT=p,BT=q H¢y biºu thà qua p v  q c¡c ¤i l÷ñng sau:

a, ë d i ÷íng cao CT;

b, ë d i ÷íng trung tuy¸n CF;

c, ë d i h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa CT l¶n CF

1.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, i·u háa cõa hai sè.

8 a, Chu vi cõa mët h¼nh chú nhªt l  P Di»n t½ch (S) cõa h¼nh chú nhªt â n¬m trongkho£ng n o?

b, Di»n t½ch cõa mët h¼nh chú nhªt l  S Chu vi (P) cõa h¼nh chú nhªt â n¬mtrong kho£ng n o?

x + 1x

≥ 2

1.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, i·u háa cõa hai sè Sigma - MATHS

14 Chia o¤n th¯ng AB th nh hai ph¦n sao cho c¡c h¼nh vuæng ÷ñc düng tr¶n c¡c

o¤n th¯ng â ( xem h¼nh v³) câ têng c¡c di»n t½ch

b .

1.4 B§t ¯ng thùc trong b§t ¯ng thùc Sigma - MATHS

22 Cho a1, a2, a3 l  c¡c sè d÷ìng sao cho a1+ a2+ a3 = 1 CMR:

√4a1+ 1 +√

4a2+ 1 +√

4a3+ 1 < 5

23 H m sè hai ©n x, y ∈ R:

f (x, y) = x2+ y2− xy − x − y + 1H¢y x¡c ành gi¡ trà cüc trà (cüc ¤i, cüc tiºu) cõa h m sè

1.5 Trung b¼nh cëng v  trung b¼nh nh¥n cõa nhi·u sè Sigma - MATHS

1.5 Trung b¼nh cëng v  trung b¼nh nh¥n cõa nhi·u sè.

25 Cho x, y, z ∈ R+ CMR:

x + y + z

3 ≥ √3

xyzKhi n o x£y ra d§u b¬ng?

26 Chùng minh b§t ¯ng thùc giúa trung b¼nh cëng v  trung b¼nh nh¥n Ngh¾a l  n¸u

a1, a2, , an l  c¡c sè d÷ìng, th¼

a1+ a2+ + an

n ≥ √n

a1.a2 ankhi n o x£y ra d§u b¬ng?

n + 1

30 Tø c¡c gâc cõa h¼nh vuæng c¤nh 30 cm, ng÷íi ta c­t c¡c h¼nh vuæng nhä rçi g§pvuæng gâc c¡c ph¦n cán l¤i th nh mët c¡i hëp mð n­p Häi ph£i c­t nhúng h¼nhvuæng con câ c¤nh bao nhi¶u cm º h¼nh hëp ÷ñc t¤o th nh câ thº t½ch lîn nh§t ?

1.5 Trung b¼nh cëng v  trung b¼nh nh¥n cõa nhi·u sè Sigma - MATHS

31 (· t i tranh luªn.)

T¼m gi¡ trà cüc ¤i cõa h m sè bªc ba p(x) = 3x3− 7x2+ 4 tr¶n kho£ng [-1,1]

GS ¦u To: p(x) = (2 − x)(1 − x)(3x + 2) Nh÷ vªy ngo i kho£ng h− 1;−3

33.2 ≈ 6, 35

GS Tai Lîn: p(x) = 4 − x2(7 − 3x) Trong mi·n c¦n kh£o s¡t, (7 − 3x) < 0 Do âp(x) ≤ 4 Vªy k¸t qu£ cõa GS.¦u To khæng óng

Häi lªp luªn ai óng? Gi¡ trà cüc ¤i cõa p(x) b¬ng bao nhi¶u?

32 Trong b i tªp n y chóng ta kh£o s¡t h m sè g(x) = x3− 3x2+ 3 :

a, Lªp b£ng mët sè gi¡ trà cõa h m sè;

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5g(x)

b, Thû v³ h¼nh d¤ng cõa h m sè;

c, Cho c¡c gi¡ trà cüc trà àa ph÷ìng, cüc trà to n thº

d, H m sè l§y gi¡ trà y n o, bao nhi¶u l¦n ? Gi£i ¡p c¥u häi n y vîi måi gi¡ tràthüc cõa y

33 T¼m gi¡ trà cüc ¤i cõa h m sè h(x) = x.(4000 − x3)khi x ∈ [0; 100]

34 Cho n l  mët sè nguy¶n d÷ìng v  ∆ l  mët sè thüc (∆ ≥ −n) Kþ hi»u en,∆ l  gi¡trà cüc ¤i cõa t½ch n thøa sè khæng ¥m v  câ têng b¬ng (n + ∆)

1.6 ành lþ v· c¡c s­p x¸p Sigma - MATHS

a, T½nh v  lªp b£ng c¡c gi¡ trà cõa en,∆ n¸u 100 ≤ n ≤ 105 v  −3≤ ∆ ≤3

b, Kh£o s¡t b£ng gi¡ trà H¢y tü ÷a c¡c gi£ thuy¸t cõa b£n th¥n v· gi¡ trà cõa en,∆

v  c¡c mèi li¶n h» ¤i sè cõa gi¡ trà n y

c, Thû chùng minh hay phõ ành c¡c gi£ thuy¸t

¤i l÷ñng n o

a) Nhä nh§t? b) lîn nh§t?

37 (ành lþ c¡c s­p x¸p hay cán gåi l  b§t ¯ng thùc Szucs Adolf )

N¸u a1 ≤ a2 ≤ ≤ an v  b1 ≤ b2 ≤ ≤ bn (ai, bi ∈ R) v  π l  mët giao ho¡ncõa (1, 2, 3, , n) , khi â

a1b1+a2b2+ .+anbn ≥ a1bπ(1)+a2bπ(2)+ .+anbπ(n) ≥ a1bn+a2bn−1+ .+anb1.Khi n o x£y ra d§u b¬ng ?

38 Trong hai biºu thùc d÷îi ¥y a1, a2, a3, a4 l  c¡c sè thüc b§t ký Câ thº kh¯ng ànhbiºu thùc b¶n n y luæn lîn hìn b¶n kia hay khæng? N¸u óng h¢y chùng minh, n¸usai ÷a ra ph£n v½ dö !

1.7 B§t ¯ng thùc tam gi¡c Sigma - MATHS

4a2+ 1 +√

4a3+ 1 ≤ √

21

Khi n o x£y ra d§u b¬ng?

47 CMR BT trong b i 46 t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc Cauchy Bunhyakovski Schwarz

-1.9 B§t ¯ng thùc Jensen Sigma - MATHS

48 Cho a, b, x, y >0 H¢y l¡t m°t ph¯ng b¬ng nhúng mi¸ng v¡n s n k½ch th÷îc (a×b)

v  (x × y ) (h¼nh v³) sao cho c¡c ¿nh cõa ba h¼nh chú nhªt bao quanh t¥m tåa ë,gi£ sû y ≤ b

{(0; 0), (a; b)}, {(−x; b − y), (0; b)}, {(0; −y), (x; 0)}

(b>y l m t÷ìng tü) H¢y t¼m tr¶n b£n v³ mët h¼nh b¼nh h nh, º câ thº chùngminh b¬ng ph÷ìng ph¡p h¼nh håc BT SBS trong tr÷ìng hñp c¡c c°p sè d÷ìng

49 Bi¸t r¬ng a1b1 ≥ 1, a2b2 ≥ 1, , anbn≥ 1trong â ai, bi l  c¡c sè d÷ìng v  c¡c h»

1.10 C¡c b i tªp têng hñp Sigma - MATHSnhi·u sè h¤ng! Tùc l  n¸u a1, a2, a3, , an l  c¡c sè khæng ¥m, th¼

I N¸u a,b,c d÷ìng th¼ p(a, b, c) ≤ q(a, b, c)

II N¸u a,b,c d÷ìng th¼ p(a, b, c) ≥ q(a, b, c)

H¢y chùng minh ho°c phõ ành

1.10 C¡c b i tªp têng hñp Sigma - MATHS

59 N¸u a, b, c l  c¡c sè d÷ìng câ têng b¬ng 1 T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc

63 X¡c ành gi¡ trà cüc tiºu cõa biºu thùc sau, n¸u c¡c tham sè ai (i=1, ,2008) l c¡c sè d÷ìng

65 CMR vîi måi k nguy¶n d÷ìng b§t ký n¸u n l  sè nguy¶n õ lîn th¼ nk < 2n

66 CMR vîi måi a thùc p(n) b§t k¼ l  sè nguy¶n õ lîn thi p(n) < 2n

Sigma - MATHS

2 Tr¦m ng¥m trong l¥u  i B§t ¯ng Thùc.

Muèn th§y To¡n h¢y nh¼n b¬ng m­t cõa ri¶ng m¼nh!Trong cuëc du làch nhä v o l¥u  i BT n y, chóng ta s³ còng th÷ðng thùc hai tuy»tph©m:

- B§t ¯ng thùc s­p x¸p Szucs Adolf hay cán gåi BT ho¡n và

- B§t ¯ng thùc xoay váng Shapio

Sü xu§t hi»n cõa B§t ¯ng thùc s­p x¸p, ngo i k¸t qu£ to¡n håc, cán chùa üng nëi dung

lþ thuy¸t mð ÷íng Ch¿ vîi hai d¢y ÷ñc s­p x¸p ho n to n n¸u nh¥n c¡c sè tøng æimët rçi t½nh têng th¼ gi¡ trà cüc ¤i s³ nhªn ÷ñc khi ta t÷ìng t¡c c¡c d¢y còng chi·u

v  gi¡ trà nhä nh§t nhªn ÷ñc khi chóng tr¡i chi·u ành lþ kh¯ng ành mët quy luªt tünhi¶n khæng ìn gi£n, trong cuëc sèng ng÷íi ta th÷íng cæng nhªn ½t khi kiºm nghi»m.Vi»c chùng minh ành lþ n y công ho n to n düa tr¶n sü s­p x¸p tü nhi¶n: N¸u câ haiph¦n tû g¥y n¶n lçi lãm th¼ ta ch¿ c¦n chuyºn ché hai vªt â - l m màn m°t b¬ng Hiºnnhi¶n gi¡ trà lîn nh§t v  nhä nh§t thº hi»n ð sü cëng h÷ðng hay t½nh tri»t ti¶u trongt÷ìng t¡c cõa hai d¢y sè ành lþ ÷ñc chùng minh n«m 1942, bði mët nh  b¡c håc ng÷íiHungary Szucs Adolf (1880  1945) - t¡c gi£ l  n¤n nh¥n cõa th£m håa ph¡t x½t (1945)

ành lþ r§t trong s¡ng còng chùng minh ch¿ v i dáng n y ¢ g¥y b§t ngí H ng lo¤t c¡cb§t ¯ng thùc danh ti¸ng ÷ñc chùng minh l¤i nh÷ nhúng v½ dö ¡p döng cõa ành lþ n y

V  ¥y ch½nh l  sùc m¤nh mð ÷íng cho c¡c trao l÷u mîi cõa cæng cuëc nghi¶n cùu

LÞ THUY˜T KHÆNG C…N BŒNG m  h¼nh nh÷ ng÷íi ta ang ph¡t huy trong thüct¸ nhi·u hìn khi ch÷a th nh chu©n müc

· t i thù hai l  inh lþ Shapio Ng÷íi ta câ thº coi BT xoay váng n y l  mët t¡c ph©m

Picasso cõa Cëng çng BT Tø khi ra íi nh÷ mët gi£ thuy¸t, ph£i sau 45 n«m mîi

câ c¥u tr£ líi ¦y õ cho c¥u häi °t ra Tr¤ng th¡i óng sai cõa gi£ thuy¸t g¥y sü chó þlîn trong t¥m iºm cõa nhi·u cuëc luªn b n

V· hai · t i nâi ri¶ng n y v  v· BT nâi chung, n¸u x¸p h¤ng c¡c §n ph©m trong n÷îccòng c¡c §n ph©m n÷îc ngo i tæi m¤nh d¤n · xu§t và tr½ top 10 t¡c ph©m cõa PGS.TSKH Nguy¹n Minh Tu§n (NXB ¤i håc quæc gia H  Nëi): Lþ thuy¸t Cì sð cõa h mlçi v  c¡c B§t ¯ng Thùc cê iºn

¥y l  mët t¡c ph©m to¡n håc khi åc câ sùc cuèn hót thó và Nhúng nh  nghi¶n cùu,c¡c b¤n quan t¥m,v  c¡c em håc sinh ·u câ thº t¼m th§y i·u m¼nh c¦n, câ thº sû dönghúu ½ch cho cæng vi»c v  tr¡nh ÷ñc cho b£n th¥n khäi rìi v o váng xo¡y cõa BT và BT

2.1 B§t ¯ng thùc s­p x¸p - hay cán gåi l  BT ho¡n và.

Ph¦n n y tæi dòng nguy¶n mët v«n b£n ti¸ng Anh ¥y l  mët b i gi£ng hay ÷ñc giîisinh vi¶n v  håc sinh chuy·n tay nhau kh¡ rëng r¢i B£n th¥n tæi ¢ b­t g°p khi langthang t¼m t i li»u v  åc c¡c b i vi¸t tr¶n m¤ng

Rearrangement InequalityThe rearrangement inequality (also known as permutation inequality) is easy to under-stand and yet a powerful tool to handle inequality problems

2.1 B§t ¯ng thùc s­p x¸p - hay cán gåi l  BT ho¡n và Sigma - MATHS

Definition: Let a1 ≤ a2 ≤ ≤ an and b1 ≤ b2 ≤ ≤ bn be any real numbers

a, S = a1b1+ a2b2+ + anbn is called the Sorted sum of the numbers

b, R = a1bn+ a2bn−1+ + anb1 is called the Reversed sum of the numbers

c, Let c1, c2, , cn be any permutation of the numbers b1, b2, , bn

P = a1c1+ a2c2+ + ancn is called the Permutated sum of the numbers

67 Rearrangement inequality S ≥ P ≥ R

Proof:

(a) Let P(n) be the proposition: S ≥ P

P(1) is obviously true

Assume P(k) is true for some k ∈ N

For P(k+1), Since the c's are the permutations of the b's, suppose bk+1 = ci and

ck+1 = bj

(ak+1− ai)(bk+1− bj) ≥ 0

⇒ aibj + ak+ibk+1 ≥ aibk+1+ ak+1bj

⇒ aibj + ak+1bk+1 ≥ aici+ ak+1ck+1

So in P, we may switch ci and ck+1 to get a possibly larger sum

After switching of these terms, we come up with the inductive hypothesis P(k)

P(k + 1) is also true

By the principle of mathematical induction, P(n) is true ∀n ∈ N

(b) The inequality P ≥ R follows easily from S ≥ P by replacing b1 ≤ b2 ≤ ≤ bn

by −bn ≥ −bn−1 ≥ ≥ −b1

Note:

(a) If a0

is are strictly increasing, then equality holds (S = P = R) if and only if the

b0is are all equal

(b) Unlike most inequalities, we do not require the numbers involved to be positive

68 Corollary 1: Let a1, a2, , an be real numbers and c1, c2, , cn be its permuation.Then

2.1 B§t ¯ng thùc s­p x¸p - hay cán gåi l  BT ho¡n và Sigma - MATHSare some of the highlights.

70 Arithmetic Mean - Geometric Mean Inequality (A.M ≥ G.M)

Let x1, x2, , xn be positive numbers Then x1+ x2+ + xn

n ≥ √n

x1x2 xn.Equality holds if and only if x1 = x2 = = xn

71 Geometric Mean - Harmonic Inequality (G.M ≥ H.M.)

Let x1, x2, , xn be positive numbers Then √n

xn which then gives the result

72 Root Mean Square - Arithmetric Mean Inequality (R.M.S ≥ A.M)

Let x1, x2, , xn be numbers Then

r

x1 + x2 + + xn2

n ≥ x1+ x2+ + xn

nProof: By Corollary 1, we cyclically rotate xi,

2.1 B§t ¯ng thùc s­p x¸p - hay cán gåi l  BT ho¡n và Sigma - MATHS

73 Cauchy - Bunyakovskii - Schwarz inequality (CBS inequality)

Let a1, a2, , an; b1, b2, , bn be real numbers

2.2 B§t ¯ng thùc Shapiro : gi£i xong m  ch÷a thº h¸t Sigma - MATHS

75 Find the minimum of sin3x

cosx +

cos3xsinx, Consider (sin3x, cos3x), 1

sinx,

1cosx



0 < x < π

2

76 Proof: For (ii) and questions below,

(i) a2 + b2+ c2 ≥ ab + bc + ca Witout lost of generality, let a ≤ b ≤ c(ii) an+ bn+ cn ≥ abn−1+ bcn−1+ can−1 Consider (a, b, c), (an−1, bn−1, cn−1)

,1

a,

1

b,

1c

,

81 Proof: If a, b, c > 0, then: Consider (a, b, c), (log a, log b, log c)

aabbcc≥ (abc)a+b+c3 and use Chebyshev's inequality

2.2 B§t ¯ng thùc Shapiro : gi£i xong m  ch÷a thº h¸t.

N«m 1954, Harold S Shapiro · xu§t mët gi£ thuy¸t v· mët b§t ¯ng thùc têng xoayváng cho n, nh÷ sau:

Cho xi ≥ 0, xi+ xi+1> 0 vîi i ∈ N Khi â:

2.2 B§t ¯ng thùc Shapiro : gi£i xong m  ch÷a thº h¸t Sigma - MATHSPGS TS Nguy¹n Minh Tu§n (Lþ Thuy¶t cì sð cõa h m lçi v  c¡c b§t ¯ng thùc cê iºntrang 313-318) H¢y l÷ñc qua c¡c thíi iºm quan trång trong làch sû cõa ành lþ n y.

- N«m 1956, Lighthill cho ph£n v½ dö BT khæng óng trong tr÷íng hñp n=20

- N«m 1958, Lighthill ch¿ ra r¬ng P(n) sai vîi nhúng n ch®n lîn hìn ho°c b¬ng 14 (n

≥ 14); çng thíi Rankin công chùng minh ÷ñc sai vîi n l´ õ lîn óng mët n«m sau(1959), Zulauf chùng minh ÷ñc r¬ng P(53) l  sai

- C¡c tr÷íng hñp P(6) - Diananda (1959) , P(8)  Djokovic (1963) ¢ chùng minh l 

óng Sau â n«m 1963, Diananda ¢ cho v½ dö chùng minh P(27) sai

- Công còng n«m n y (1963) , Diananda chùng minh ÷ñc i·u tuy»t víi sau:

a, N¸u k0 l  sè tü nhi¶n ch®n v  n¸u P(k0) óng th¼ P(n) óng vîi måi n ch®n khæng v÷ñtqu¡ k0

b, N¸u k0 l  sè tü nhi¶n l´ v  n¸u P(k0) sai th¼ P(n) s³ sai vîi måi n l´ lîn hìn k0

K¸t qu£ cõa Diananda h¤n ch¸ húu h¤n c¡c tr÷íng hñp óng câ thº cõa gi£ thuy¸t.P(n) sai vîi n ch®n lîn hìn ho°c b¬ng 14, v  P(n) sai vîi måi gi¡ trà n l´ khæng nhä hìn27

N«m 1968, Nowosad ¢ kh¯ng ành ÷ñc P(8) l  óng b¬ng mët b£n chùng minh d i 64trang L÷ñng sè li»u v  sè tr÷íng hñp khêng lç công ¢ k¸t thóc qu¡ tr¼nh chùng minh

ành lþ n y b¬ng bót ch¼ v  gi§y

Cuèi còng n«m 1989, Troesch düa tr¶n nhúng t½nh to¡n cõa m¡y t½nh °c bi»t ¢tr¼nh b y b¬ng chùng thuy¸t phöc r¬ng P(n) óng vîi n ch®n khæng v÷ñt qu¡ 12 v  P(n)

óng vîi n khæng v÷ñt qu¡ 23 v  sai vîi c¡c tr÷íng hñp cán l¤i

V· m°t To¡n håc, cæng tr¼nh cõa Troesch kh²p l¤i 45 n«m nghi¶n cùu v  kiºm nghi»m

sü óng sai cõa gi£ thuy¸t Shapiro Cho ¸n n«m 1992, Bushell chùng minh khæng c¦nm¡y t½nh cho tr÷íng hñp n=10 V  ¸n n«m 2002, Bushell v  McLeod cæng bè ph²p chùngminh cho n=12

M°c dò v§n · Shapiro ¢ câ c¥u tr£ líi ho n to n, nh÷ng ch½nh c¡c k¸t qu£ n y v¨ngñi l¶n nhúng c¥u häi cán l m m§t ngõ nhi·u ng÷íi quan t¥m

Mët b i to¡n ph¡t biºu ho n to n sì c§p m  t¤i sao xu§t hi»n líi gi£i phö thuëct½nh ch®n l´ cõa c¡c thæng sè tham gia? Mèi li¶n h» v  kho£ng c¡ch r§t b½ hiºm cõac°p sè (12, 23) công ch÷a câ líi gi£i th½ch thäa ¡ng

Tr÷îc mët b i to¡n ng÷íi ta v¨n c£m th§y bà ëng v¼ khæng tr£ líi ÷ñc cho b£n th¥ntr÷îc c¥u häi:" T¤i sao l¤i ph£i nh÷ vªy?" Kho£ng c¡ch ng­n minh ho¤ cho ë xo­n cõad¢y sè th¼ sü kh¡c bi»t cõa líi gi£i khi xu§t hi»n t½nh ch®n l´ h¼nh nh÷ cán t¤o sü nghingí cõa c¡c tr÷íng hñp lîn hìn con sè 12