Không gian véc-tơ Bài 1: a) X =2X1+X2−X3
b) X là tổ hợp tuyến tính của các véc-tơ X X1, 2,X 3
1, 2, 3: 1 1 2 2 3 3
k k k X k X k X k X
⇔ hệ phương trình
k k k
có nghiệm
Tìm m để r A( )=r A( )° : m= −5
Bài 2: Hạng của hệ véc-tơ bằng hạng của ma trận liên kết với nó
Cơ sở của hệ véc-tơ là các véc-tơ tương ứng tạo thành định thức con khác 0
a) Hạng bằng 2, cơ sở là {X X1, 2} Ta có X3 =X1+3X2;X4 =2X1−X2
b) Hạng bằng 3, cơ sở là {X X1, 2,X3} Ta có X4 = − −X1 X2+X3
Bài 3: a) Hạng của hệ véc-tơ là 2 ⇒ hệ phụ thuộc tuyến tính
b) Hệ véc-tơ X X1, 2,X3,X là cơ sở của 4 4
R ⇔ định thức của ma trận liên kết ≠0
0
m
Vậy không tồn tại m để hệ véc-tơ là cơ sở của R 4
Bài 4: a) A là không gian véc-tơ con
b) B không là không gian véc-tơ con
c) C là không gian véc-tơ con
d) D không là không gian véc-tơ con
e) E là không gian véc-tơ con
Lưu ý: Mọi bao tuyến tính là không gian véc-tơ con
Trang 2Hệ phương trình tuyến tính
Bài 1: a) ( ;1 2; 3; 4) ( 1; 2; 1 8; )
3 3 3
x x x x = − −
b) ( ;x x x1 2; 3)=(1; 2; 1)−
c) ( ;1 2; 3; 4) (2 3 2 ; ;1 2 ; )
x x x x = − α− β α − β β
d) ( ;x x x x x1 2; 3; 4; 5)= − − − −( 16 α β 5 ; 2γ − α−2β −6γ +23; ; ; )α β γ e) ( ;x x x x1 2; 3; 4)=( ; ; 2α β α+5β −9 ; )γ γ
f) ( ;x x x x1 2; 3; 4)= −( 2 ; ; ; 2 )α α β β
Bài 2: a) Với m∉ −{1; 3}: hệ có nghiệm duy nhất (0; 0; 1 ; 1 )
1 1
m− −m
Với m=1: hệ vô nghiệm
Với m= −3 : hệ có vô số nghiệm: (1 5 ; 1; 1; )
4− α α+4 α+2 α
b) Hệ có nghiệm duy nhất (31 53 54; 49 52 41; ;5 )
m− m− − m −m
c) Với m∉ −{1; 2}: hệ có nghiệm duy nhất
2
1 1 ( 1)
Với m=1: hệ có vô số nghiệm (1− −α β α β; ; )
Với m= −2 : hệ vô nghiệm
d) Với m≠5 : hệ vô nghiệm
Với m= −5 : hệ vô số nghiệm ( 4; 5 4 ; )
2
α