bài giải toán cao cấp chương i ma trận và định thức

DANH SÁCH CÁC THÀNH VIÊN

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

BÀI GI I TOÁN CAO C P NHÓM ẢI TOÁN CAO CẤP NHÓM ẤP NHÓM

CH ƯƠNG I: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC NG I: MA TR N VÀ Đ NH TH C ẬN VÀ ĐỊNH THỨC ỊNH THỨC ỨC

Bài 1:Tính đ nh th c ịnh thức ức 1.

|−sina cosa sina cosa| =sin 2a+cos2a =1

2.−11 10 10

−1 −1 0 = -1 12.|−1 01 1|=-1.1=1

−i2d2

¿

=ab-c2 +i2d2

4.|11 11 −1 −11 1

1 1 −1 1 | d2=d2+(−1)d1

→ |10 10 −21 10

1 −1 −1 1|=−2.|01 −1 −10 0

5)|2 1 1 x 1 2 1 y

1 1 2 z

1 1 1 t|=x|1 2 11 1 2

1 1 1|−y|2 1 11 1 2

1 1 1|+z|2 1 11 2 1

1 1 1|−t|2 1 11 2 1

1 1 2|=x− y+ z+4 t

6)Ta có

Det(A)=|11 2−x1 2 22 33

2 3 1 9−x2|d2=d2+(−1) d1

d4=d4+(−1)d3

→ |10 1−x1 2 20 30

0 0 0 4−x2|

↔(1-x 2 )(4-x 2 )|1 1 2 30 1 0 0

2 3 1 5

0 0 0 1|d3=d3+(−2)d1

→ (1-x 2 )(4-x 2 )|1 10 1 20 30

0 1 −3 −1

d3=d3+(−1)d2

→ (1-x 2 )(4-x 2 )|1 10 1 20 30

0 0 −3 −1

Vậy Det(A) = (1-x2)(4-x2)(-3) = -3x4+15x2-12

Bài 3: Tìm ma tr n ngh ch đ o c a các ma tr n sau:ận nghịch đảo của các ma trận sau: ịnh thức ảo của các ma trận sau: ủa các ma trận sau: ận nghịch đảo của các ma trận sau:

a/ A = (1 2 −30 1 2

c/ C = (26 53 74

gi

i ải

a/

( A|I )= (1 2 −30 1 2

0 0 1 |1 0 00 1 0

0 0 1) d1=d1−2 d2

→ (1 0 −70 1 2

0 0 1 |1 −2 00 1 0

d1=d1+7 d3

d2=d2−2 d3

→ (1 0 00 1 0

0 0 1|1 −20 1 −27

0 0 1 ) = (I|A−1 )

A−1 = (1 −20 1 −27

B−1 = det ⁡(B)1 (B11 B12 B13

B21 B22 B23

B31 B32 B33)T(*) Det(B) = -3

Th vào (*) ta đế vào (*) ta được : ược :c :

B−1= −31 (−67 −53 −36

1 1 −3)T

Do đó : B−1 = (−73 2

−1 3 5

−1 3

c/

C−1 = det ⁡(C)1 (C11 C12 C13

C21 C22 C23

C31 C32 C33)T(*) Det(C) = -1

Th vào (*) ta đế vào (*) ta được : ược :c :

C−1 = -1(−11 −4138 −2729

C−1

= (−381 −141 −341

d/ |11 11 −1 −11 1

1 1 −1 1 |d2=d2+(−1)d1

→ |10 10 −21 10

1 −1 −1 1|=−2.|01 −1 −10 0

1 −1 1 |=0 → det ( D )=0

→ D không có ma tr n ngh ch đ oận nghịch đảo của các ma trận sau: ịnh thức ảo của các ma trận sau:

C−1 = (−381 −141 −341

Bai5:Tìm ma tr n X th a: A.X=B ận nghịch đảo của các ma trận sau: ỏa: A.X=B

a) A=(2 13 4) B=(2 55 2) A-1=(−3 /5 2/54 /5 1/5)

A.X=B

→X=B.A-1 = (2 55 2) (−3 /5 2/54 /5 1/5) =(3/54/5 −11/518 /3 )

b)A=(−1 −1 20 1 2

1 1 1) B=(12

3) A-1=(−11 −2/3 −2/31/3 4 /3

A.X=B→X=A-1B=(−7 /311/3

5 /3 )

Bài 7 : Cho h phệ phương trình : ương trình : ng trình : {2 x1 +3 x2+2 x3=9

−x1+2 x2+3 x3=14

3 x1+4 x2+x3=16

1/ Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n các h s ận nghịch đảo của các ma trận sau: ịnh thức ảo của các ma trận sau: ủa các ma trận sau: ận nghịch đảo của các ma trận sau: ệ phương trình : ố 2/ Gi i h phảo của các ma trận sau: ệ phương trình : ương trình : ng trình trên

Gi i ải

1/ Ta có ma tr n E = ận nghịch đảo của các ma trận sau: (−1 2 32 3 2

E−1 = det ⁡(E)1 (E11 E12 E13

E21 E22 E23

E31 E32 E33)T

Det(E) = -10

E12 = 10 E22 = -4 E32 = -8

E−1 = −101 (−10 10 −105 − 4 1

−1 2

5

4 5

10

−7

10 )

2/ Gi i h phảo của các ma trận sau: ệ phương trình : ương trình : ng trình :

Do det(E) = -10 ≠ 0 nên h phệ phương trình : ương trình : ng trình có nghi m duy ệ phương trình :

nh t ất

Tính

E1=|14 2 39 3 2

16 4 1|=60 E2=|−1 14 32 9 2

3 16 1|=−94 E3=|−1 2 142 3 9

{ x1=det ⁡( E1)

det ⁡(E)=−6

x2=det ⁡(E2)

det ⁡(E)=9,4

x3=det ⁡(E3 )

det ⁡(E)=−3,6

BÀI 9:

{ 2 x+(m+2) y +5 z=1 x+ y+2 z=1

x+(m+1) y +(m+2) z=m2

1 Tìm m đ h đã cho là h cramer?tìm nghi m?ể hệ đã cho là hệ cramer?tìm nghiệm? ệ phương trình : ệ phương trình : ệ phương trình :

2 Tìm m đ h vô nghi m?ể hệ đã cho là hệ cramer?tìm nghiệm? ệ phương trình : ệ phương trình :

Gi i:ảo của các ma trận sau:

1.Đ h đã cho là h cramer:ể hệ đã cho là hệ cramer?tìm nghiệm? ệ phương trình : ệ phương trình :

Ta có: A=[12 m+21 25

=m2-m≠0  {m≠ 0 m≠ 1

2, Ta có

m2−m+1]

d2=d2+(−2) d1

d3=d3+(−1)d1

→ [1 10 m 12

0 m m| −11

m2−m]

d3 =d3 +(−1)d 2

→ [1 10 m 11

m2−m+1]

 Đ h vô nghi m:ể hệ đã cho là hệ cramer?tìm nghiệm? ệ phương trình : ệ phương trình : ↔rank(A)<rank(´A)

↔ m-1=0 → m=1

BÀI 11:

{ 2 x +(m+5) y−z=4 x +2 y−z=1

x+(m+3) y +(m−1)z=m+3

1.Tìm m đ h vô nghi m?ể hệ đã cho là hệ cramer?tìm nghiệm? ệ phương trình : ệ phương trình :

2.Tìm m đ h vô s nghi m?tìm nghi m t ng quát trong ể hệ đã cho là hệ cramer?tìm nghiệm? ệ phương trình : ố ệ phương trình : ệ phương trình : ổng quát trong

TH đó?

Gi iảo của các ma trận sau:

1.Ta có:

1 m+3 m−1| 14

m+3]d2=d2−2 d1

d3=d3−d1

→

¿

Đ h vô nghi m ể hệ đã cho là hệ cramer?tìm nghiệm? ệ phương trình : ệ phương trình : ↔ran(A)<rank(´A) ↔{m+1=0 m=0 ↔{m=−1 m=0

2.Đ h có vô s nghi m ể hệ đã cho là hệ cramer?tìm nghiệm? ệ phương trình : ố ệ phương trình : ↔ranh(A)=rank(´A) ↔m=0

´A =[1 2 −1

0 0 0 |12

0]

KHI ĐÓ: {x+2 y−z =1 y=2 →{x=t−3 y =2

z =t