Tìm giá trị nhỏ nhất của P.. Chứng minh rằng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.. Tìm m để d cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn I,
Trang 1Đề thi Học sinh giỏi môn toán 9
Câu 1: (2 điểm)
Cho biểu thức sau:
( ) 1
1 2 2
1
2
−
− +
+
− +
+
−
=
x
x x
x x x
x
x
x
P
1 Rút gọn P
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của P
3 Tìm x để biểu thức
P
x
Q= 2 nhận giá trị là số nguyên
Câu 2: (2 điểm)
Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 2(m− 1) (x+ m− 2)y= 2
1 Vẽ (d) với m = 3
2 Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
3 Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất
Câu 3: (2,5 điểm)
1 Giải phơng trình nghiệm nguyên:
( ) 3 0 3
2 2
2 + y + xy− x+y + =
x
2 Cho a, b là các số thực dơng thoả mãn: a + b = 4
Chứng minh rằng: 2 + 3 + +10 ≥ 18
b a
b b
Câu 4: (2,5 điểm)
Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ =Dˆ = 90 0), tia phân giác của góc C đi qua trung điểm I của AD
1 Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn (I, IA)
2 Cho AD = 2a Tính tích AB và CD theo a
3 Gọi H là tiếp điểm của BC với đờng tròn (I) nói trên K là giao
điểm của AC và BD Chứng minh rằng KH song song với BC
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có 3 góc nhọn Chứng minh rằng với mọi số thực khác không x, y, z ta luôn có:
2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
c b a
z y x c
z
b
y
a
x
+ +
+ +
〉 +
Trang 2Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi
Môn: Toán 9
Câ
Điể m
1
1
Điều kiện: 0 <x ≠ 1
1
1
+ +
+ +
−
x x
x x x x P
1
+
−
P
0,25 0,25 0,25
3 4
3 2
1 4
3 4
1 2
1 2
2 2
≥ +
= +
điều kiện xác định
4
1 0
2
1 4
3
0,25
0,25
3
M x
x x
x
x P
x
1 1
2 1
2
− +
= +
−
=
=
Với 0 < x≠ 1 ⇒ + 1 > 2 ⇒M > 1 ⇒ 0 <Q< 2
x
1 1
2
+
−
⇒
=
⇒
x x
x Q
2
5 3 7
; 2
5 3 7 0
1
x
Kết luận: với
2
5 3
7 ±
=
x thì Q∈Z
0,25
0,25 0,25
2
1
Với m = 3: phơng trình đờng thẳng (d) trở thành:
2
4x+y=
Ta có: x = 0; y = 2
y = 0; x = -
2
1
2
0 1
0,25
0,25
2 Gọi điểm cố định mà đờng thẳng (d) đi qua là
M(x0,y0)
Ta có: 2(m− 1)x0 +(m− 2)y0 = 2 với mọi m
2
;
1 0
0 = = −
Kết luận: Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua điểm cố
0,25 0,25
Trang 3định M(1; -2)
3
Từ phơng trình của (d) ⇒ không đi qua gốc toạ độ Gọi
giao của (d) với Ox là
− 1;0
1
m
− 2
2
; 0
m B
Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ O lên AB Ta có:
( )2 ( )2 2
2 2
1 4 2
2 1
1 1
− +
−
=
⇒ +
=
m m
OH OB
OA OH
5
=
Vậy max OH = 5
5
6
=
0,25
0,25 0,5
3
1
3
2 2
2 + y + xy− x+y + =
Vì x,y∈Z ⇒(x+y)∈Z và (x+ 2y− 1)∈Z ⇒(x+ y) và x+ 2y− 1
Là các ớc của -3 sao cho tích của chúng bằng -3
Ta có các trờng hợp:
TH1: x+ y= 1 ;x+ 2y− 1 = − 3 ⇒x= 4 ;y= − 3
TH2: x+ y= − 1 ;x+ 2y− 1 = 3 ⇒x= − 6 ;y= 5
TH3: x+ y= − 3 ;x+ 2y− 1 = 1 ⇒x= − 8 ;y= 5
TH4: x+ y= 3 ;x+ 2y− 1 = − 1 ⇒x= 6 ;y= − 3
Kêt luận: Tập nghiệm của phơng trình:
( ) ( ) ( ) ( ) } { 4 ; − 3 ; − 6 ; 5 ; − 8 ; 5 ; 6 ; − 3
=
S
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
2
2
10 2
5 6 2
3 10 3
+
= + + +
b
b a
a b
a
b b a
Với a,b> 0áp dụng BĐT Cauchy ta có:
⇒
= + +
= + +
2
5 2
6 2
3 2
b
b a
a
Dấu “=” a = b = 2
0,25
0,25 0,25
4
1
Kẻ IH vuông góc BC Vì I nằm trên tia phân giác của góc
D C
B ˆ nên IH IB AB
2
1
=
=
⇒
(I IA)
⇒
BC
⇒ là tiếp tuyến của (I,IA)
vẽ hìn
h
đún
g (0,2 5) 0,75
2 BA vuông góc IA và CD vuông góc với IB suy ra BA, CD lần
lợt là các tiếp tuyến của (I) tại A và B
- Xét (I, IA), có BA, BH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại B; CD,
CH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C Theo tính chất 2 tiếp
0,25
Trang 4tuyến cắt nhau ta có:
3 2 4 3 2 1 4 3 2
1 ˆ ;ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2ˆ ˆ 2 ˆ ˆ
CH CD BH
3 2
0 4
3 2 1
0 ˆ ˆ ˆ ˆ 180 ˆ ˆ 90 180
ˆ
ˆH +H I D= ⇒I +I +I +I = ⇔I +I =
I A
BIC I
H
⇒ ˆ 90 0 vuông tại C
- Xét ∆BICvuông tại C, đờng cao IH, ta có:
2 2 2
2
2
2 2
.
BH
=
=
⇒
=
=
0,5
0,25
3
Vì AB//CD, theo định lý Talet ta có:
KD
BK CD
KD
BK HC
(theo (2))
Theo định lý talet đảo: ⇒ KH // CD
0,25 0,25
5
Với a, b, c là 2 cạnh của 1 tam giác nhọn, ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 b c ;b c a ;a c b
Với mọi a,b∈R,x,y > 0 Ta luôn có: ( )
y x
b a y
b x
a
+
+
≥
2
(1) Thật vậy: (1)⇔(a2y+b2x) (x+ y) (≥ a+b)2xy⇔(ay−bx)≥ 0
(luôn đúng với mọi a, b, x, y)
Suy ra (1) luôn đúng
Ta có:
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
c b a
x a
x c b a
x c
b a
x x a
x c b
x a
x a
x a
x
+ +
>
⇔ + +
= + +
+
≥ + +
>
+
=
(2)
Làm tơng tự ta có:
2 2 2
2 2
c b a
y b
y
+ +
>
2 2 2
2 2
c b a
z c
z
+ +
> (3)
Từ (2) và (3) 22 22 22 2 22 2 22 22 2
c b a
z y x c
z b
y a
x
+ +
+ +
>
+ +
0,25
0,25
0,25
0,25