Xác định a để đường thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C Bài43đ Cho hai đường tròn O và O’ ở ngoài
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN Ân thi Năm học 2009-2010
Môn thi : Toán 9 ( Thời gian 150 phút)
Bài1(1,5đ)
a/ Tính 6 2 5 − − 6 2 5 +
b/ Cho a +b +c = 0 , a,b,c ≠0 Chứng tỏ rằng
12 12 12
a +b +c = |1 1 1
a b c+ + |
c/ Hãy chứng tỏ x= 3 5 2 + − 3 5 2 − là nghiệm của phương trình x3 +3x – 4 = 0
Bài2(2đ)
a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức
2
A
Với x = 2 − 3,y= + 2 3
b/ Giải phương trình x+ + 9 x− = 7 4
Bài3(2,5đ)
a/ Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 1
B
− +
= + +
b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0)
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, C Xác định a để đường thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C
Bài4(3đ) Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
AB và tiếp tuyến chung trong EF ( A ,E ∈(O) , B , F ∈(O’) )
a/ Gọi M là giao điểm của AB và EF Chứng minh rằng ∆AOM và ∆BMO’ đồng dạng
b/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BF
c/ Gọi N là giao điểm của AE và BF Chứng minh rằng ba điểm O , N , O’ thẳng hàng
Bài5(1đ) Cho hình vuông ABCD Tính cosMAN¼ biết rằng M ,N theo thứ tự là trung điiểm của BC, CD
Đáp án thang điểm
Bài 1:
a/ 6 2 5− − 6 2 5+ = 5−2 5+1− 5+2 5+1= ( ) (2 )2
1 5 1
= | 5 − 1| - | 5 + 1| = 1 − 5 − 5 − 1 = − 2 5
b) CM 12 12 12
a +b +c = 1 1 1
a b c+ +
Trang 2Ta có 12 12 12
+ +
−
+ +
=
−
+ +
abc
c b a c
b a ac
bc ab c
b
1 1 1 1
1 1 2 1 1
Mà a +b +c = 0 , a,b,c ≠0 =>
+ +
abc
c b a
Vậy 12 12 12
2
1 1 1
+ +
c b
c b a
1 1 1 + +
c) Hãy chứng tỏ x= 3 5 2 + − 3 5 2 − là nghiệm của phương trình x3 +3x – 4 = 0 Tacó : x3 =
2 5 3 2 5 2
5 2
3 = + − + − + + − − −
= 4 – 3 3 5 + 2 3 5 − 2 3 5+2−3 5−2 = 4 - 3 3 ( 5 + 2)( 5 − 2).x
= 4 – 3x
* x3 = 4 – 3x <=> x3 + 3x + 4 = 0
Vậy x= 3 5 2 + − 3 5 2 − là nghiệm của PT x3 + 3x + 4 = 0
Bài2(2đ)
a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức
2
A
Với x = 2 − 3,y= + 2 3
Giải : ĐK : x > 0 , y > 0
2
A
=
+ +
+ +
+
−
xy
y x y
x y
x xy
y x xy xy
y x
2 1
.
xy xy
y
x−
:
+
+ +
+
2 2
2
y x xy y
x xy
y x
xy xy
y
x−
:
+
+ +
2
2
y x xy
y xy x
xy xy
y
x−
+
+
2 2
y x xy
y x
xy
y
x−
Khi x = 2 − 3,y= + 2 3 thì A = (2 3)(2 3) 2 3 2 3
3 2 3 2
+
−
−
= +
−
+
−
−
=> A2 = 4 – 2 = 2 Do A < 0 => A = - 2
Trang 3b/ Giải phương trình x+ + 9 x− = 7 4 (1)
ĐK: x ≥ 7
(1) => ( x+ + 9 x− 7) 2 = 4 2
<=> 2x + 2 + 2( (x+ 9)(x− 7)) = 16
<=> 2( (x+ 9)(x− 7) ) = 16 – 2( x + 1)
<=> (x+ 9)(x− 7) = 8 – (x + 1) (2)
Nếu 8 – ( x+ 1) < 0 <=> x + 1 > 8 <=>x > 7 thì (2) Vô nghiệm => (1) Vô nghiệm Nếu 8 – ( x+ 1) ≥ 0 <=> x + 1 ≤ 8 <=> x ≤ 7
Kết hợp với ĐK đầu bài => x = 7 Thử x = 7 vào pt(2) ta có 0 = 0
Vậy x = 7 là nghiệm của pt (2) là nghiệm của PT (1)
Bài3(2,5đ)
1
1 2 3 1
2 4 2 3 3 3
2
2 2
2 2
≤ + +
+
−
= +
+
−
−
− + +
x x
x x
x
x x x
x
GTLN B = 3 khi và chỉ khi x = -1
1 1 3
1 2 3
1 1 3
1 2 2 1 3
1 3
3 3
3 3 3
2
2 2
2 2
2 2
2
≥ + +
− +
= + +
+
− +
+ +
+ +
= + +
+
−
x x
x x
x
x x x
x
x x x
x
x x
GTNN B =
3
1
khi và chỉ khi x = 1
4 A
O C x
3
Đường thẳng đi qua hai điểm A( 0 ;4) và C( 3; 0) có dạng y = ax + b
A(0;4) ∈ đường thẳng y = ax + b ⇔ 4 = a.0 + b ⇔b = 4
B(3;0) ∈ đường thẳng y = ax + b ⇔ 0 = a.3 + b ⇔3a + 4 = 0 ⇔a =
3
4
−
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A và C là : y =
3
4
− x + 4
Đường thẳng y = ax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cạnh BC của hcn OABC tại M(3; y0) (y0 > 0) sao cho chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C nghĩa là SOMC =
3
1
SOABC
⇔ OC CM OA.OC
3
1
2
Trang 4Mà OC = |3| = 3 , CM = | y0| = y0 ( do y0 > 0), OA = | 4| = 4 , OC = | 3| = 3
Từ (1) tacó
2
1
.3.y0 =
3
1
4 3 ⇔y0 =
3 8
Vậy đường thẳng y =ax đi qua M(3;
3
8
) ⇔ 3
8
= a.3 ⇔a =
9 8
Bài 4:
2
2
E
1 1
N O
O'
F
a) Chứng minh rằng ∆AOM và ∆BMO’ đồng dạng
Ta có AB là tiếp tuyến của (O) => OAM· = 1v
AB là tiếp tuyến của (O’) => · '
1
EF là tiếp tuyến của (O’) và (O’) => OM là phân giác ·AME , O’M là phân giác · '
BO F
- Xét tứ giác BO’FM có FO B FMB· ' + · = 1800
·EMA FMB+ · = 1800
=> ·FO B EMA' = ·
Mà ¶' · '
2
1
2
O = FO B (OM là phân giác ∠AME )
¶ 2 1·
2
M = EMA ( O’M là phân giác ∠BO’F)
=> ∠O2’ = ∠M2
Mà ∠OAM = O’BM = 1V
=> ∆AOM đồng dạng ∆BMO’ ( g-g)
b/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BF
Ta có OM là đường trung trực của AE => OM ⊥ AE
O’M là đường trung trực của BF => O’M ⊥BF
Mà ∠O1’ =∠O2’ , ∠M1 = ∠M2 , ∠O2’ = ∠M2 => ∠O1’ = ∠M1
Ta có ∠FMO’ + ∠O1’ = 900 => ∠FMO’ + ∠M1 = 900 => ∠O’MO = 900
=> O’M ⊥MO
Mà O’M ⊥BF => BF // MO , OM ⊥ AE ( cmt) => BF ⊥AE
c/ Gọi N là giao điểm của AE và BF Chứng minh rằng ba điểm O , N , O’ thẳng hàng
Trang 5Bài5(1đ)
a
2a
a N
M
Đặt ∠BAM = ∠DAN = β và cạnh hình vuông là 2a thế thì BM = DN = a
Suy ra AM = AN = a 5 ( theo định lý pitago trong tam giác vuông có cạnh a, 2a) Vậy cosβ =
5
2 5
2 =
=
a
a AN DN
Và sin MAN = cos 2β ( hai góc phụ nhau)
= 2cos2 β - 1 =
5
3 1 5
2 2
2
=
−
Mà sin2MAN + cos2MAN = 1 => cos2MAN = 1 – sin2MAN = 1 -
25
16 25
9
=
=> cosMAN =
5 4