Một đường thẳng đi qua G và cắt các đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại hai điểm M và N sao cho 2AM = 3AN.. Tính diện tích tam giác AMN.. Gọi chân đường vuông góc hạ từ điểm M nằm trong t
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2016 -2017 Bài 1: (4đ)
1) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2016x + 1 = 0 và x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2017x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức:
M = (x1 + x3)(x2 + x3)(x1 – x4)(x2 – x4)
2) Cho p và q là hai số nguyên tố và đa thức x2 – px + q có hai nghiệm nguyên dương phân biệt Tìm p và p
Bài 2: (4đ)
1) Giải phương trình: 3 2
2) Giải hệ phương trình:
2 2
Bài 3: (2đ)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = - x2 và đường thẳng (d)
đi qua điểm M(0; -1) có hệ số góc m Gọi A, B là giao điểm của (d) và (P)
Chứng minh rằng: |xA – xB| ≥ 2 (với xA; xB lần lượt là hoành độ của A, B) với mọi m
Bài 4: (4đ)
1) Cho P(x) và một đa thức hệ số nguyên thỏa mãn P(0) = 0, P(1) = 2 Chứng minh rằng P(7) không là số chính phương
2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x 2 3 y z
Bài 5: (2đ)
1) Cho tam giác ABC, chứng minh rằng SABC = 1
2 AB.AC.sinA (với SABC
là diện tích tam giác ABC)
2) Cho tam giác đều ABC, cạnh bằng 6cm, có trọng tâm G Một đường thẳng đi qua G và cắt các đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại hai điểm M và N sao cho 2AM = 3AN Tính diện tích tam giác AMN
Bài 6: (4đ)
1) Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi chân đường vuông góc hạ từ điểm
M nằm trong tam giác đến các cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F Hãy xác định vị trí điểm M để biểu thức P = 1 1 1
MD ME MF đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
2) Trong tất cả các tam giác có đáy bằng a, chiều cao bằng h, tam giác nào
có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất?