Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB.. Trờn một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuụng gúc với AB.. Kẻ OH vuụng gúc với CD tại H.. a Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường trũn tõm
Trang 1PHềNG GD& ĐT ĐOAN HÙNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Môn: Toán
(Thời gian: 150 phút không kể thời gian
giao đề)
Cõu 1: ( 6 điểm )
1) Cho biểu thức: 1 ( 2 5 1 ) : 1
A
x
−
−
a/ Rỳt gọn A
b/ Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A đạt giỏ trị nguyờn
c/ Tớnh giỏ trị của A với x= −7 49(5 4 2)(3 2 13 + + + 2 )(3 2 1 2 2 )− +
2) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn abc cú 3 chữ số sao cho :
( )
2 2
1 2
abc n
cba n
= −
với n là số nguyờn lớn hơn 2.
Cõu 2: ( 4 điểm ).
1) Giải phương trỡnh sau: x+3+ 1−x2 =3 x+1+ 1−x
2) Cho x y z, , là ba số thỏa món: x y z =1 và x y z 1 1 1
x y z
Tớnh giỏ trị của biểu thức: P=( x2013 −1) ( y2014−1) (z2015−1)
Cõu 3: ( 3 điểm ).
1) Tìm các nghiệm nguyờn của phương trỡnh : x2 + xy + y2 = x2y2
2) Cho a, b và c là cỏc số thực khụng õm thỏa món a b c+ + = 1
Chứng minh rằng 1
ab bc ca
c +a +b ≤
Cõu 4: ( 6 điểm )
Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB Trờn một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuụng gúc với AB Trờn tia Ax lấy điểm C, trờn tia By lấy điểm D sao cho
gúc COD = 900 Kẻ OH vuụng gúc với CD tại H
a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường trũn tõm O đường kớnh AB;
b) Chứng minh . 2
4
AB
AC BD= ; c) Nờu cỏch xỏc định vị trớ điểm C trờn tia Ax để diện tớch tam giỏc COD bằng diện tớch tam giỏc AHB
Cõu 5: ( 1 điểm ) Tìm nghiệm nguyên dương của phơng trình : x2+2y2 +2xy +3y- 4 = 0
ĐỀ CHÍNH THƯC
Trang 2—————————————– Hết ——————————————–
híng dÉn chÊm m«n to¸n 9 Năm học: 2014 - 2015
Câu
1.1
(4 đ)
a/Cho biểu thức A= 1- 2 5 1 : 1
4 1
x
ĐK: x 0; 1; 1
4
:
A=1-2
.
b/ Tìm x∈Z để A nguyên
2
1 2
1 2
x
Do x≥ 0;x≠ 1;x Z∈ ⇒ =x 0
Vậy x=0 thì A có giá trị nguyên
c/Với x= − 7 49(5 4 2)(3 2 1 3 + + + 2 )(3 2 1 2 2 ) − +
x=-73 49(5 4 2)(5 4 2) + − = − − = 7 7 49
7
x
1 2.7 13
0,5đ
0,5đ
0,5đ 0,5đ 1đ
0,5đ 0,5đ
Câu
1.2
(2 đ)
Viết được
2 2
abc a b c n cba c b a n n
Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5
=> 4n – 5 + 99 (3) Mặt khác :
100 ≤n2 − ≤ 1 999 ⇔ 101 ≤n2 ≤ 1000 ⇔ ≤ ≤ 11 n 31
⇔ ≤ − ≤ (4)
Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26
0,5 0,5
0,5 0,5
(1)
Trang 3Vậy số cần tỡm abc= 675
Cõu
2.1
(2đ)
Cõu
2.2
(2đ)
-Cõu
3.1
(2đ)
1 x+ 3 + 1 −x2 = 3 x+ 1 + 1 −x (ĐK: − 1 < x< 1) Đặt
=
−
+
= +
⇒
≥
=
−
= +
ab x
a x
b a b x
a x
2
2
1
2 3
) 0 , ( 1
1
Thay vào phương trỡnh đó cho ta cú:
3
a
= +
=
⇔
2
1
b a a
• Với a= 1 ⇒ x+ 1 = 1 ⇔ x= 0 (thỏa món)
•Với
0 1
1 4 1
2 1 1 2
1 1
2 ⇒ + + − = ⇔ + + − + − 2 = ⇔ − 2 = ⇔ =
=
a
(thỏa món)
Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x= 0
-Từ x y z 1 1 1 x y z xy yz zx xy yz xz
Xột tớch ( x− 1) ( y− 1) (z− = 1) (xy x y− − + 1) (z− = 1)
xyz xy xz yz x y z− − − + + + − = − − −xy xz yz x y z+ + + − =
Lần lượt thay x= 1 hoặc y= 1 hoặc z= 1 vào biểu thức P ta đều được P= 0
-*Với x≥ 2 và y≥ 2 ta có:
4 4
≥
≥
⇒ x2y2 ≥ 2 (x2 + y2) = x2 + y2 +x2 + y2≥ x2 + y2 + 2xy> x2 + y2
+ xy
* Vậy x≤ 2 hoặc y≤ 2
- Với x =2 thay vào phơng trình ta đợc 4 + 2y + y2 = 4y2
0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25 đ
0,25 đ 0,25
Trang 4hay 3y2-2y -4 =0 ⇒ Phơng trình không có nghiệm nguyên
- Với x =-2 thay vào phơng trình ta đợc 4 - 2y + y2 = 4y2
hay 3y2+2y -4 =0 ⇒ Phơng trình không có nghiệm nguyên
- Với x =1 thay vào phơng trình ta đợc 1 + y + y2 = y2
hay y = -1
- Với x =-1 thay vào phơng trình ta đợc 1 - y + y2 = y2
hay 1- y = 0 ⇒ y =1
- Với x = 0 thay vào phơng trình ta đợc y =0
Thử lại ta đợc phơng trình có 3 nghiệm nguyên (x, y) là:
(0; 0); (1, -1); (-1, 1)
đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Cõu
3.2
(1đ)
Học sinh phỏt biểu và CM bất đẳng thức phụ sau:
- Với x; y là cỏc số thực dương bất kỳ ta cú: 1 1 1 1
4
+ (1) Đẳng thức
xẩy ra khi và chỉ khi x = y
Thật vậy: Vỡ x; y là cỏc số thực dương theo BĐT Cụsi ta cú
+ + ữ≥ = ⇒
4
- Áp dụng BĐT (1) ta cú:
1 4
+ + + (2’);
1 4
+ + + (3’) Cộng vế với vế của ba đẳng thức trờn ta được:
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1
3
a b c= = =
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 5Cõu 4
(6đ)
Cõu 5
(1 đ)
0,5
a) Vỡ Ax⊥ AB By; ⊥ AB nờn Ax, By là tiếp tuyến của đường trũn (O)
Gọi M là trung điểm của CD => OM là đường trung bỡnh của hỡnh thang
ACDB => OM //AC => gúc ACO = gúc MOC ( So le trong) (1)
Lại cú: OM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giỏc vuụng COD => OM
= MC => tam giỏc OMC cõn tại M => gúc COM = gúc MCO (2)
Từ (1) và (2) suy ra gúc ACO = gúc MCO
=> tam giỏc ACO = tam giỏc HCO (cạnh huyền - gúc nhọn)
=> OH = OA => H thuộc đường trũn tõm O
=> CD là tiếp tuyến của đường trũn tõm O đường kớnh AB
1,5
b) Theo tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta cú AC = CH; BD = DH
CH.DH = OH2 => . 2
4
AB
AC BD=
c) S COD =S AHB => OH 1
HK = ( HK ⊥AB; K thuộc AB ) ( Vỡ tam giỏc COD đụ̀ng dạng với tam giỏc BHA)
=> OH = HK => K trùng O => H là điểm chớnh giữa của nửa đường trũn O =>
AC =
2
AB
vậy điểm C thuộc tia Ax sao cho AC =
2
AB
thỡ S COD =S AHB.
-Biến đổi phơng trình
x2+2y2 +2xy +3y- 4 = 0⇔(x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4= 0
⇔(y+4)(y-1) =-(x+y)2 ≤0
⇒- 4 ≤y≤1 vì y thuộc Z nên y ∈{− 4 ; − 3 ; − 2 ; − 1 ; 0 ; 1}
Sáu cặp (x;y) thỏa mãn phơng trình là
(4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0)
V ỡ x; y nguyờn dương nờn x=1 và y=3
1,5
0,5 1,0 1,0
0,25 0,25 0,25 0,25