Môn bất đẳng thức và áp dụng BDTAGSR

Bất đẳng thức AG suy rộngĐịnh lý 3.2.. Bất đẳng thức AG suy rộng Cho trước hai cặp dãy số dương Khi đó Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi... Các phương pháp đã nêu ở trên để chứng minh

3.2 Bất đẳng thức AG suy rộng

Định lý 3.2 (Bất đẳng thức AG suy rộng)

Cho trước hai cặp dãy số dương Khi đó

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Nhận xét 3.2 Các phương pháp đã nêu ở trên để chứng minh bất đẳng thức

AG đều có thể sử dụng (có cải biên) để chứng minh Bất đẳng thức AG suy rộng

Chứng minh Đặt

Sử dụng bất đẳng thức

Ta thu được hệ

Suy ra

Vậy nên

hay

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay

Hệ quả 3.3

Giả sử cho trước hai cặp dãy số dương với

Khi đó

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong đó

Định lý 3.3 Với mọi dãy số dương ta đều có

Chứng minh Do vai trò của các số hạng là như nhau nên ta có thể coi vế phải

của bất đẳng thức là biểu thức dạng Đặt

Ta nêu một cách chứng minh khác đối với bất đẳng thức

Thật vậy, nếu đặt

thì ta có

Do đó

Dễ thấy

Nên

Từ đó ta thu được

Đây chính là điều phải chứng minh

Bạn đã hoàn thành Mục 3.2 Chương 3