Môn bất đẳng thức và áp dụng BDTAGSR ham PTCQ

Hàm phân thức chính quyHàm phân thức chính quy là việc mở rộng rất tự nhiên của bất đẳng thức giữa TBC và TBN.. Nếu có hàm số trong đó Thì ta gọi biểu thức này là hàm phân thức chính quy

3.2 BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG

• BÀI GIẢNG

3.2 Bất đẳng thức AG suy rộng

Tiếp theo ta xét phần mở rộng bất đẳng thức giữa TBC và TBN Có rất nhiều

mở rộng ta xem xét 2 mở rộng lớn được sử dụng trong lý thuyết

- Mở rộng thứ 1:

Định lý 3.2 (Bất đẳng thức AG suy rộng)

Cho hai cặp dãy số dương Khi đó ta sẽ có bất đẳng thức

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bằng phương pháp đã nêu ở trên ta có thể chứng minh bất đẳng thức giữa TBC và TBN suy rộng không mấy khó khăn

Chứng minh Đặt

Sử dụng bất đẳng thức

Ta thu được hệ

Vì vậy khi nhân vào ta được bất đẳng thức bất kỳ

3.2 BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG

• BÀI GIẢNG

Mở rộng thứ 2: Đo độ chênh lệch giữa TBC và TBN Định lý 3.3 Với mọi dãy số dương ta đều có

Và như vậy ta đo được độ chênh lệch đó

- Khi và lệch pha nhau thì hiệu giữa TBC và TBN sẽ dương

- Khi chúng trùng nhau thì nó sẽ giảm dần

3.3 Hàm phân thức chính quy

Hàm phân thức chính quy là việc mở rộng rất tự nhiên của bất đẳng thức giữa TBC và TBN Căn cứ vào bất đẳng thức giữa TBC và TBN suy rộng

Định nghĩa 3.3.

Nếu có hàm số trong đó

Thì ta gọi biểu thức này là hàm phân thức chính quy

3.3 HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

• BÀI GIẢNG

Ví dụ 3.11. Dễ dàng kiểm chứng các hàm số

Ta nhận thấy các tính chất:

- Các hệ số không âm

- Tổng các tích của hệ số nhân với số mũ = 0 đều thỏa mãn Vậy và là các hàm phân thức chính quy:

Tính chất 3.3. Nếu là các hàm phân thức chính quy, thì ứng với mọi

Tính chất 3.4. Nếu và là các hàm phân thức chính quy, thì với mọi cặp số dương hàm số

cũng là hàm phân thức chính quy

3.3 HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

• BÀI GIẢNG

Tính chất 3.5. Nếu và là các hàm phân thức chính quy, thì hàm hợp của 2 hàm đó

cũng là hàm phân thức chính quy

Tính chất 3.6. Đặc biệt, luỹ thừa của hàm phân thức chính quy

cũng là hàm phân thức chính quy

Như vậy có thể coi đa thức là hàm phân thức chính quy mà có hệ số tự do khác

0 thì cũng là hàm phân thức chính quy với tổ hợp là các hệ số không âm

Định nghĩa 3.4 Có thể mở rộng hàm phân thức chính quy cho hàm nhiều biến

Thì ta cũng xây dựng được tính chất tương tự theo từng biến

Thì ta gọi hàm đã cho là hàm phân thức chính quy nhiều biến

Như vậy ta có thể xây dựng các cấu trúc của hàm phân thức chính quy nhiều biến thông qua hàm phân thức chính quy ít biến bằng cách mở rộng hệ thức này

3.3 HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

• BÀI GIẢNG

Một số hàm phân thức chính quy 2 biến

Ví dụ 3.12.

Chúng ta xem xét các hàm số

Đây là 2 hàm phân thức chính quy độc lập ta có thể cấu thành thành hàm phân thức chính quy 2 biến cùng với hệ số đó, giữ nguyên thứ tự của các biến ta được

Là hàm phân thức chính quy 2 biến

Và tương tự ta có cấu trúc để dựng hàm phân thức chính quy nhiều biến

Định lý 3.5. Với mỗi hàm phân thức chính quy trên tập

Thì ta đều có

3.3 HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

• BÀI GIẢNG

Hay nói cách khác các hàm phân thức chính quy đạt giá trị nhỏ nhất trên tập các

số dương tại các điểm bằng 1

(Với cặp số dương thì

Từ đó chỉ ra rằng biểu thức chính quy cho ta hệ quả của hàm phân thức chính quy xác định trên tập dương sẽ có gía trị nhỏ nhất đạt tại

Hàm phân thức chính quy này cho phép xây dựng nhiều cấu trúc của các bài toán mà khi tính toán rất phức tạp nhưng nếu biết được hình thức đó thì ta còn

mở rộng hàm phân thức chính quy:

- Từ đạt tại điểm 1 thành đạt tại một điểm tùy ý nào đó bằng cách dùng phép đồng dạng

- Không đòi hỏi các hệ sô bằng 0 mà hệ số có thể bằng hằng số nào đó rồi chúng

ta biến đổi để trở về hệ số bằng 0

Và như vậy có thể mở rộng khái niệm hàm phân thức chính quy cho các hàm số tổng quát hơn