PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN THAM SỐ HOÁ TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Kiều Đình Minh GV.THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ Phương trình và hệ phương trình là trung tâm của
Trang 1PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
THAM SỐ HOÁ TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Kiều Đình Minh
(GV.THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ)
Phương trình và hệ phương trình là trung tâm của Toán học sơ cấp và vì thế mà nó thường xuất hiện trong tất cả các kỳ thì Có nhiều phương pháp giải phương trình và hệ phương trình như biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, đánh giá, Bài viết này tác giả muốn đề cập đến một
phương pháp giải đẹp và rất sáng sủa bởi cách tham số hoá để đưa về các hằng đẳng thức.
Chúng ta cùng tìm hiểu qua các thí dụ sau:
Thí dụ 1: (THTT) Giải phương trình
x4 − 2x2 − 16x+ 1 = 0
Lời giải
Viết phương trình đã cho dưới dạng (x2 + α)2 = 2(1 + α)x2 + 16x−(1 − α 2) Ta cần chọn α sao cho
vế phải có dạng một bình phương đúng
∆′ = 8 2 + 2(1 + α) (1 − α 2)= 0 ⇒ α = 3
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
(x2 + 3)2 = 8(x+ 1)2 ⇔(x2 + 2 2x+ 3 + 2 2)(x2 − 2 2x+ 3 − 2 2)= 0 ⇔x= 2 ± 2 2 − 1
Thí dụ 2: (THTT) Giải phương trình
54x3 − 9x+ 2 = 0
Lời giải
Ta tìm cách viết vế trái của phương trình dưới dạng x3 +a3 +b3 − 3abx Như vậy thì a, b là nghiệm của hệ phương trình
3 3
3
3
3
3
3
, 18
1
.
54
2
b a b
a
b
a
⇒
=
=
+
là nghiệm của phương trình
2 3
1 2
54
1 0
18
1 54
2
2
2 − t+ = ⇔t= ⇒a=b=
t
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
2 3
1
; 2 3
2 0
18
1 2 3
2 2
3
2
2 2
+
⇔
=
−
−
− + + +
x
Thí dụ 3: (KĐM) Giải phương trình chứa căn
−x+ 3 = 2 1 −x− 1 +x + 3 1 −x2
Trang 2Lời giải.
Tập xác định D=[ ]− 1 ; 1
Ta tìm α , β sao cho
=
=
⇔
= +
−
=
−
⇔
− + +
= +
−
2
1 3
1 )
1 ( ) 1 ( 3
β
α β
α
β α β
x
khi đó phương trình viết lại như sau
( 1 +x) + 2 ( 1 −x) − 2 1 −x + 1 +x− 3 1 −x2 = 0
đặt u= 1 +x,v= 1 −x(u,v≥ 0 ), ta được
−
=
=
⇔
−
= + +
−
= +
⇔
= +
−
=
⇔
= +
−
−
⇔
=
−
−
− +
−
⇔
=
− +
− +
2 3 5 3
1 1 1
1 2 1
0 1 2
0 ) 1 )(
2 ( 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 0 3 2
2
x
x x x
x x
v u
v u
v u v u v
uv v u uv u
uv u v v u
Thí dụ 4: (VMO 2010) Giải hệ phương trình
2 3( 4 ) 4( 8 ) ( )
240
2 2 3 3
4 4
I y
x y
x y x
y x
−
−
−
=
−
=
−
Lời giải
Hệ đã cho được viết lại như sau
+
−
= +
−
+
=
) 2 ( 32 12
2 4 3
) 1 ( 240
2 3
2 3
4 4
y y
y x x x
y x
Suy ra
) 3 ( 240 32
12 2
4 3
32 12
2 240 4
3
2 3
4 2
3 4
2 3
4 2
3 4
+ +
− +
= +
− +
⇔
+
− +
+
= +
− +
y y
y y
x x
x x
y y
y y
x x x x
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
Ta cần chọn λ sao cho ( )3 có dạng
(x−a) (4 = y− 4)4 ⇔ x4 − 4a x3 + 6a2x2 − 4a3x+a4 = y4 − 4by3 + 6b2y2 − 4b3y+b4 ( 4 )
So sánh ( )4 và ( )3 thì
−
=
=
=
⇔
=
−
=
−
−
=
=
−
=
−
−
=
=
−
8 4 2
240
32 4
12 6
2 4
4 4
3 6
4
4 4 3 2
3 2
λ λ
λ λ λ λ λ
b a
a b b b b a a a
Như vậy ta có
( ) ( )
−
=
−
=
⇔
−
=
−
−
=
−
⇔
−
=
−
y x
y x y x
y x
y x
6
2 4
2
4 2
4
+) x= y− 2 thay vào ( )1 ta được
8y3 − 24y2 + 32y+ 224 = 0 ⇔(y+ 2) (8y2 − 40y+ 112)= 0 ⇔ y = − 2 ⇒x= − 4
Trang 3+) x= 6 −y thày vào ( )1 ta được
y3 − 9y2 + 36y− 44 = 0 ⇔(y− 2) (y2 − 7y+ 22)= 0 ⇔ y= 2 ⇒x= 4
Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm là
=
=
−
=
−
=
2
4
; 2
4
y
x y
x
.■
Nhận xét: Với cách làm này thì cho dù bài toán có các hệ số lớn thì chúng ta vẫn giải quyết
được Có thể hình dung tác giả đã sang tạo bài toán như sau:
Xuất phát từ ( ) (4 )4
4
( )I y y
y x x x
y x y y
y x
x x
y
x
y y
y y
x x
x
x
⇒
+
−
= +
−
=
−
⇒
− +
−
=
− +
−
=
−
⇒
+
− +
−
= +
− +
−
32 12
2 4 3
240 256
96 16
32 24
8
240
256 256
96 16
16 32 24
8
2 3
2 3
4 4
2 3
2 3
4
4
2 3
4 2
3
4
Nếu các bạn để ý một chút thì thấy rằng trong hệ không chứa đơn thức dạng mxαyβ Do đó ta
sẽ tách các ẩn riêng như trên và đưa về hằng đẳng thức Bây giờ, bằng một phép đổi biến ta
có hệ phương trình khó hơn
Thí dụ 5: (KĐM 2008) Giải hệ phương trình
( )II
y x xy y
x
y y x
= + + + +
= + +
) 2 ( 0 13 5 2 5 5
) 1 ( 0 35 2
6
2 2
3 2
Lời giải
Đặt x+ y=u; x−y=v suy ra
2
; 2
v u y v u
thay vào các phương trình của hệ và biến đổi
( )1 trở thành
6
0 280 3
3 2 2
6 0 35 8
2 2
4
.
6
3 3 3
2 2
3 3 2 2 2
2 3
3 2 2
3 2
2 3
2
= +
−
⇔
= +
− +
− +
− +
− +
−
⇔
= +
− +
− +
− +
+
⇔
= +
− +
− +
v u v
uv v u u v uv uv v u v u u
v uv v u u v u v uv u
v u v u v
u
( )2 trở thành
( ) ( )
2 10 10
0 2 13 2 5 2
2 2 4 5 4
.
5
2 2 2
2 2 2
2 2
=
− + +
⇔
=
− + + +
− + +
⇔
=
− +
+ +
− + +
− + +
v u v u v
u v u v
u v u
v u v
u v u v u v
u v
u
Ta có hệ
+
−
= +
+
=
v v u u
v u
4 2 9 3
35
2 2
3 3
Suy ra
u3 + λ(3u2 + 9u)=v3 + 35 + λ(− 2v2 + 4v)⇔u3 + 3 λu2 + 9 λu=v3 − 2 λv2 + 4 λv+ 35 ( 5 )
Ta cần chọn λ sao cho ( )5 có dạng
( ) (3 )3 3 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 ( 6 )
b v b bv v a u a au u
b v a
So sánh ( )6 và ( )5 suy ra
Trang 4
=
=
−
=
⇔
=
−
=
−
=
−
=
=
−
3 2 3
35
4 3
2 3
9 3
3 3
3 3 2
2
λ λ
λ λ λ
b a
b a b b a a
Như vậy ta có (u+ 3) (3 = v− 2)3 ⇔u=v− 5, thay vào ( )3 ta được
+) v= 2 ⇒u = − 3 ta có hệ phương trình
−
=
−
=
⇔
=
−
−
= +
2 5 2 1 2
3
y
x y
x
y x
+) v= 3 ⇒u = − 2 ta có hệ phương trình
−
=
=
⇔
=
−
−
= +
2 5 2 1 3
2
y
x y
x
y x
Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm là
;
2 5 2 1
−
=
−
=
y
x
−
=
=
2 5 2 1
y
x
.■
Cuối cùng để kết thúc bài viết này xin mời các bạn luyện tập qua một số phương trình và hệ phương trình sau:
1 x4 − 8 2x+ 12 = 0 (THTT)
2 2x− 1 = − 3 1 −x + 1 +x + 1 −x2 (KĐM)
3
−
= +
−
−
= +
x y y xy x
xy x
17 8 8
49 3
2 2
2 3
(VMO 2004)