Dùng đạo hàm để giải phơng trìnhTa biết rằng mọi phơng trình đều có thể đa về dạng f x 0= , trong đó hàm số f x thể hiện đầy đủ tính chất của nghiệm phơng trình này.. Do đó, khi ta kh
Trang 1Dùng đạo hàm để giải phơng trình
Ta biết rằng mọi phơng trình đều có thể đa về dạng f x( ) 0= , trong
đó hàm số f x( ) thể hiện đầy đủ tính chất của nghiệm phơng trình này Do đó, khi ta khảo sát đợc hàm số f x( ), ta có thể có đợc cái nhìn tổng quát về phơng trình, xác định đợc rằng phơng trình đó có bao nhiêu nghiệm, thuộc những miền nào,…những tính chất này tất nhiên không thể rõ ràng nh việc tìm đợc nghiệm cụ thể của phơng trình nhng nó vẫn có nhiều lợi ích khi mà việc tìm lời giải cho bài toán phơng trình đó không còn tiến hành thuận lợi bằng các cách biến đổi tơng đơng, đặt ẩn phụ nữa
Và nh thế, công cụ đạo hàm trong trờng hợp này thực sự thể hiện rõ tính hiệu quả của nó; bằng cách dùng đạo hàm, ta có thể xác định
đợc chính xác số nghiệm của một phơng trình cho trớc; sau đó, ta tiến hành một bớc trong lập luận cho điều kiện đủ của bài toán mà thông thờng gọi là “nhẩm nghiệm” để chỉ ra rằng phơng trình chỉ
có bao nhiêu nghiệm đó thôi và hoàn tất lời giải
1 Sử dụng đạo hàm để giải phơng trình.
Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số ứng dụng trực tiếp của
đạo hàm vào giải phơng trình và thấy rằng có nhiều bài toán thì
đây là cách duy nhất có thể thực hiện đợc
Trớc hết, ta có những kết quả quen thuộc sau:
(1) Trên miền xác định D của hàm số f x( ), nếu f x'( ) 0≥ (hoặc
'( ) 0
f x < ) thì hàm số f x( ) đơn điệu và phơng trình f x( ) 0= có không quá một nghiệm
(2) Nếu hàm số f x( ) liên tục trên [ , ]a b và f a f b( ) ( ) 0< thì phơng
trình f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm trên ( , )a b
(3) Giả sử ( )f x có đạo hàm đến cấp n trên khoảng ( , ) a b Khi đó,
nếu phơng trình f( )n ( ) 0x = có k nghiệm thì phơng trình f(n−1)( ) 0x =
chỉ có tối đa k+1 nghiệm (hệ quả của định lí Rolle)
(4) Nếu hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [ , ]a b và có đạo hàm trên
khoảng ( , )a b thì tồn tại c∈( , )a b sao cho f c'( ) f b( ) f a( )
b a
−
=
Trang 2Vì vậy, việc trình bày lời giải bài toán theo ý này có thể qua hai bớc chính là:
- Dùng đạo hàm chứng minh phơng trình có không quá k nghiệm
- Chỉ ra đợc đầy đủ k nghiệm đó (hoặc chứng minh đề không yêu cầu tìm nghiệm mà chỉ dừng lại ở việc xác định số
nghiệm thì ta dùng định lí hàm liên tục để chỉ ra những
khoảng chứa nghiệm của phơng trình rồi kết luận)
Ví dụ 1: Giải PT:
x+ + x+ + x+ + x+ = x+
Lời giải Ta thấy với phơng trình này, cách đặt ẩn phụ hay biến đổi
tơng đơng không còn tác dụng nữa
Ta sẽ giải bài này rất dễ dàng bằng đạo hàm nh sau:
Điều kiện xác định của phơng trình là: x> − 1
Xét hàm số: f x( )= x+ +1 x+ +4 x+ +9 x+16− x+100,x∈ − +∞( 1; )
f x
+ > + > ⇒ >
+ + , suy ra: f x'( ) 0> tức là hàm số
đã cho đồng biến hay phơng trình đã cho có không quá một nghiệm Hơn nữa, ta thấy x=0nghiệm đúng phơng trình
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=0
Ta xét thêm một ví dụ nữa để thấy tác dụng của công cụ này
Ví dụ 2 Giải phơng trình: 2 3 −x = − +x2 7x−8
Lời giải Điều kiện xác định: x≤ 3 Xét hàm số:
( ) 2 x 7 8, ( ;3)
f x = − + −x x+ x∈ −∞ Ta có:
3 1
'( ) 2 ln 2 2 7 0, 3
2 3
x
x
−
−
Suy ra phơng trình đã cho có không quá một nghiệm Ta dễ dàng nhẩm đợc nghiệm đó là x= 2 và lời giải hoàn tất
Ví dụ 3 Chứng minh rằng phơng trình sau có đúng một nghiệm
d-ơng:
x + x −b +a x= với mọi a b, >0.
Trang 3Lời giải Xét hàm số: 9 3 3 2
f x =x + x −b +a x
Ta thấy:
'( ) 9 9 ( ) 0, , 0
f x = x + x x −b +a ≥ ∀a b> , tức là f x( ) là hàm đồng biến hay phơng trình đã cho có không quá một nghiệm
Hơn nữa: f(0)= − <b3 0, (f 3b)= +b3 a2.3b >0nên suy ra phơng trình đã cho
có ít nhất một nghiệm thuộc (0,3b) Rõ ràng nghiệm này là số dơng
Từ hai điều này suy ra phơng trình đã cho có đúng một nghiệm
d-ơng
Ta có đpcm
Ví dụ 4 Giải phơng trình: 4x = +x 1
Lời giải Rõ ràng khi đứng trớc những phơng trình ở dạng hỗn hợp,
vừa có hàm số mũ, vừa có hàm tuyến tính thế này, ta cũng không thể
áp dụng các biến đổi đại số thông thờng Việc sử dụng cách đạo hàm
để khảo sát hàm số là tất yếu
Xét hàm số f x( ) 4= x− +(x 1)
'( ) 4 ln 4 1, ''( ) 4 ln 4x x 0
f x = − f x = > suy ra phơng trình f x( ) 0= đã cho
có không quá hai nghiệm
Hơn nữa, ta nhẩm đợc hai nghiệm này là 0, 1
2
x= x=−
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là 0, 1
2
x= x=−
Ví dụ 5 Giải phơng trình: 4x+10x = +6x 8x
Lời giải Phơng trình đã cho có dạng: 6x−4x =10x−8x
Xét hàm số: ( ) ( 2)x0 x0
f t = +t −t , trong đó x0 là nghiệm của phơng trình trên
Phơng trình đã cho có thể viết lại là: f(4)= f(8).
Rõ ràng hàm số này liên tục trên [4,8] nên theo định lí Lagrange thì
(4) (8)
4 8
f c = − = ⇔ x t+ − =x t −
Phơng trình này có đúng hai nghiệm là x0 =0, x0 =1 nên nếu x0 là
nghiệm của phơng trình đã cho thì nó phải thuộc {0,1} Thử lại, ta thấy thỏa
Trang 4Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x=0, x=1.
Trang 52 Sử dụng đạo hàm để giải hệ phơng trình.
Những ứng dụng của đạo hàm trong việc giải hệ phơng trình xoay quanh một số vấn đề chủ yếu là:
- Tìm đợc một quan hệ giữa các biến trong một phơng trình nào
đó của hệ để thế vào các phơng trình khác rồi giải
- Dùng tính đơn điệu của hàm số để giải các bài toán về hệ lặp
Ví dụ 6 Giải hệ phơng trình:
4 4
1
x y
Lời giải Ta thấy bài toán dạng này rất đặc trng cho phơng pháp đợc
nêu và cách ra đề này cũng thờng hay đợc sử dụng trong các đề thi CĐ - ĐH, thi HSG
Điều quan trọng là cần chứng minh đợc x= ytừ hệ trên
Điều này cũng không khó, từ phơng trình thứ hai của hệ, ta thấy:
0≤x y, ≤1 Khi đó, ta xét hàm số f t( )= −t3 3 ,t t∈ −[ 1,1] thì f t'( ) 3= t2− ≤3 0, suy ra f t( ) là hàm nghịch biến Phơng trình thứ nhất của thực chất là: f x( )= f y( )⇒ =x y.
Thay vào phơng trình thứ hai của hệ, ta đợc: 4
4
1
2 1
2
x = ⇔ = ±x .
Vậy hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm là ( , ) 41 ,41 , 4 1,4 1
x y − −
= ữ ữ.
Ví dụ 7 Giải hệ phơng trình:
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
Lời giải Xét hàm số: f t( )= + − +t3 3t 3 ln(t2− +t 1),t∈Ă Ta có:
2
f t t
Suy ra f t( ) là hàm đồng biến
Trang 6Giả sử x y≥ thì từ hệ phơng trình trên, suy ra:
f x ≥ f y ⇔ ≥ ⇔y z f y ≥ f z ⇔ ≥z x Do đó: z x y z≥ ≥ ≥ hay x= =y z.
Ta thay lại vào hệ trên, quy về việc giải phơng trình:
3 2 3 ln( 2 1) 0
x + x− + x − + =x
( ) 2 3 ln( 1)
g t = + − +t t t − +t Ta có:
2
g t t
này cũng đồng biến
Hơn nữa, ta thấy phơng trình g t( ) 0= có một nghiệm là t=1
Từ đó suy ra hệ đã cho đúng 1 nghiệm là ( , , ) (1,1,1)x y z = .
Trang 7Bµi tËp ¸p dông:
1 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a 4x 2 1, 4x 3 1
b x3+2x+ +3 ln(x2+ + =x 1) 0
2 3 6
2 Gi¶i ph¬ng tr×nh sau:
a 4(x−2) log ([ 2 x− +3) log (3 x−2)]=15(x+1).
b x3−4x2−5x+ =6 37x2+9x−4
3 Gi¶i ph¬ng tr×nh sau:
a 4x+6x =8x+2
5x 4x 3x 2x 10 6
x x
4 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:
2
2
3 ln(2 1)
3 ln(2 1)
5 Gi¶i ph¬ng tr×nh sau:
a 3x+7x =2.5x
b 10x+40x =20x+30x
6 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:
log (1 ) log
2cos 2cos
7 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2
3 2
3 2
3
( 1) 5.log (6 )
( 1) 5.log (6 )
( 1) 5.log (6 )