Mot so pp giai PT vo ti

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔTỈ THÚ VỊ!. Lê Phúc Lữ, lớp 12T, trường THPT Chuyên Bến Tre Phương trình vô tỉ là một dạng toán khó trong các kì thi Toán và chúng ta cũng đã làm q

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ

TỈ THÚ VỊ !

(Lê Phúc Lữ, lớp 12T, trường THPT Chuyên Bến Tre)

Phương trình vô tỉ là một dạng toán khó trong các kì thi Toán và chúng ta cũng đã làm quen nhiều với nó cùng vài phương pháp giải quen thuộc Trong bài này, xin giới thiệu với các bạn thêmhai phương

pháp thú vị khác, xin tạm gọi là phương pháp “nhân lượng liên hợp” và phương pháp “tam thức bậc hai” Hy vọng rằng qua đó, các bạn sẽ

có thêm một vài kiến thức cần thiết, làm phong phú thêm kinh

nghiệm của mình

1) Phương pháp nhân lượng liên hợp:

Tuy phương trình này chỉ chứa các căn thức bậc hai và cũng ở dạng đơn giản nhưng các phương pháp thông thường để giải phương trình vô tỉ như bình phương để khử căn thức hoặc dùng bất đẳng thức đều không có tác dụng, ta sẽ cùng tìm hiểu một cách giải độc đáo dựa vào một kiến thức quen thuộc nhưng cho lời giải khá ấn tượng sau đây

*Ý tưởng chính: Trong nhiều trường hợp, ta đã nhẩm được nghiệm

của một phương trình chứa căn thức và đoán được rằng đây là tất cả các nghiệm của phương trình đã cho nhưng chưa chứng minh được Khi đó,

ta hãy thử dùng phương pháp thêm bớt, nhân lượng liên hợp, đưa phương trình đã cho về một tích, trong đó chắc chắn có một nhân tử dẫn đến nghiệm ta đã nhẩm được (còn nhân tử còn lại thì thường là một phương trình vô nghiệm).

một nghiệm của phương trình, tiến hành biến đổi như sau:

( 1 1) ( 4 2) ( 9 3) ( 16 4) ( 100 10)

0

x

+ − + + − + + − + + − = + −

+ + + + + + + + + +

=





 + + + + + + + + + +



100 10 1 1

+ + > + + ⇒ < ⇒ >

+ + + + , phương trình này vô

nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0

Ta hãy làm tìm hiểu thêm 3 ví dụ sau đây để thấy rõ hiệu quả của phương pháp này:

VD1: Giải phương trình sau: x2+15 3.= 3 x2 + x2+ −8 2

Giải: PT đã cho tương đương với:

3

2 15 4 3( 2 1) 2 8 3

x + − = x − + x + −

3 3

3 3

1

(*)

x

 =

⇔ + + = + + + + + ⇔  = +

 + + + + + +



Xét phương trình (*), ta có: 2 8 3 2 15 4 2 1 2 1

+ + < + + ⇒ <

+ + + + suy ra:

VT<VP

Do đó, (*) vô nghiệm.Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=1, x= -1

-Đôi khi việc chứng minh phương trình thứ hai vô nghiệm cũng không đơn giản, cần kết hợp một vài bất đẳng thức để so sánh các vế:

VD2 : Giải phương trình sau: 3 x2− + =1 x x3−2

2

− − + − = − − ⇔ −  + = −

 − + − +  − +

2

2 2 2 3

3

( 1) 2 ( 1) 4 2 5

x

=



 − + − + − +



Ta sẽ chứng minh ở (*), VP >2 >VT

2

3

4 3 2 2 2 2 2 3

3 9

2 5

x

+ +

= > ⇔ + − > − ⇔ + − − − >

− +

⇔ + + − + > ⇔ + + − + > ∀ ≥

2 2 2

2 2 2

3

( 1) 2 ( 1) 4

x

+

= + < ⇔ < − + − +

− + − +

Đặt t=3(x2−1)> 0 Cần chứng minh: 3 2 4 3 2

t + < + + ⇔ +t t t t + t + > ∀ >t t , đúng

Vậy (*) vô nghiệm hay phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= 3

VD3: Giải phương trình sau:

100

3 2 3 2 2

5049

k

=

+ = +

Giải: Ta nhẩm thấy x= 0 là nghiệm của phương trình nên cũng tiến

hành biến đổi như sau:

(chú ý rằng ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng

100

( 1) 100.(100 1)

1 5049

n

n n

2 3 3

100 100 100

3

2 3 2 2 3 2 3

2 100

2 100 3

2 3 2 2 3 2

3

2

0

1

1 (**)

k

k

x x

x

=

=

+ −

+ + + +

=





 + + + +



Xét phương trình (**), ta có:

100 100 100 2

< < = − = − < =

Suy ra (**) vô nghiệm Vậy (*) có nghiệm duy nhất là x= 0

2

* Bài tập áp dụng: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

1 5 2

4 2

x− + x− = x+ 2/ 3 x2+ + =2 x 3x+49

2

x+ + x+ + x+ = x+ 4/

2 9 2

4

x+ x − = x− x−

5/

 + = − +





+ = − +



2) Phương pháp tam thức bậc hai:

* Ý tưởng chính: Đặt một biểu thức nào đó trong phương trình ban

đầu về một ẩn khác (thường là biểu thức dưới dấu căn) nhưng ta chưa đưa được hết phương trình đã cho về ẩn mới này mà chỉ viết được

phương trình về dạng một tam thức bậc hai theo một ẩn có tham số là ẩn còn lại Khi đó, ta hãy cứ tiếp tục tính ∆ của phương trình này và thông thường∆ tính được hoặc là một hằng số hoặc là bình phương của một biểu thức chứa biến Tiếp tục giải theo công thức tìm ra nghiệm và đi đến các phương trình đơn giản hơn

VD1: Giải phương trình sau: (4x−1) x2+ =1 2x2+2x+1 (*)

Giải: Đặt: t= x2+ ≥1 1

(*) 2( 1) (4 1) 1 2 1 0 2 (4 1) 2 1 0

(4 1) 4.2.(2 1) 16 24 9 (4 3)

(4 1) (4 3)

1 (1)

(4 1) (4 3) 2 1 (2)

4

t

⇔ + − − + + − = ⇔ − − + − =

∆ = − − − = − + = −

− − −

⇒ − + − ⇔



(1) không có nghiệm do điều kiện của t

2 1 2 1 1 (2 1) 3 4 0 4

(2)

3

2 1 0

x

  + = −  − =

 + = −

− ≥



Phương trình đã cho có nghiệm là 4

3

x=

− + = − + −

Giải: Điều kiện: x≥1.Đặt t 1 1 0

x

= − ≥ Phương trình đã cho trở thành:

2 (1 3 1 ) 2 0

t − + +x t+ x=

(1 3 1 x) 8x 9 6 1 x (x 1) ( x 1 3)

∆ = + + − = + + + + = + + Suy ra: 2( 1 1) (*)

1 1 (**)

 = + +



= + −



-Từ (*), suy ra: 1 1 2( x 1 1)

x

− = + + Phương trình này vô nghiệm do:

1

1 1 2( x 1 1)

x

− < < + +

-Từ (**), suy ra: 1 1 x 1 1,x 1 x 1 x 2 2 x 1 2 x 1 x 1 1

−

− = + − ≥ ⇔ = + − + ⇔ + = + +

2

⇔ + + − + = ⇔ − + = ⇔ = + ⇔ =

Do x≥1 nên phương trình đã cho có nghiệm dương là: 1 5

2

x= + .

VD3: Giải phương trình sau: (x3− +3x 1) x2+21+ −x4 3x2+ =x 21 (*)

Giải: Đặt t= x2+21 0>

3 2 4 2 6 4 3 2 3 2

⇔ + − − + + − − + = ⇔ − − + − − + =

∆ = − + + − + = − + + − + = − +

Suy ra phương trình ẩn t có hai nghiệm là:

3

(1) ( 3 1) ( 1)

2 2 1 (2)

t x

t

= −



− + ± − +

⇒ = ⇒  = − +



2 2

2 21 21

(1)

0 0

x x

 + = −

⇔ < ⇔ < Phương trình này vô nghiệm

(2)⇔ x +21= −x 2x+ ⇔1 x +21 5− = −x 2x−4

2

2

2 2

2

2 4

2 2 (3)

21 5

21 5

x x

x

x

=



⇔ = − + + ⇔ + = + +



2 2 5

x

VT ≤VT < + <x + x+ =VP

Suy ra (3) vô nghiệm

Vậy phương trình (*) có nghiệm là x=2

*Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:

]1/ 2x2− −3 3 x2+ +1 x2 x2+ =1 0.

2/ 2x− −1 x x+ +1 x+ =1 0.

3/ x2 − + =3x 12 (3x−2) x2+11

4/ ( 1+ −x 1)( 1− + =x 1) 2x

5/ (x+2)(x+3)(4x− =3) 4 4x− +3 4 (x x+1)

4