ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ① Giải phương trình và bất phương trình 1 Cho hàm số fx đơn điệu trên K đoạn , khoảng hoặc nửa khoảng... V
Trang 1
ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
① Giải phương trình và bất phương trình
1) Cho hàm số f(x) đơn điệu trên K (đoạn , khoảng hoặc nửa khoảng)
Khi đó ∀x1, x2∈K , f(x1) = f(x2) ⇔ x1 = x2
2) Nếu hs f(x) đơn điệu trên K thì pt f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm x0∈K
Từ đó ta có kết quả :
″ Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên K và ∃ x0∈K , f(x0) = 0 thì x0 là nghiệm
duy nhất của pt f(x) = 0 trên K ”
3) Nếu hàm số f(x) đơn điệu , liên tục trên K và f(a).f(b) < 0 với a,b∈ K , a < b thì pt f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x0∈(a ;b)
Bài 1 Giải pt
Giải
b) ĐK : x < 2 Xét hs f(x) = 6 8
- - - 6 trên khoảng (-∞;2)
Ta có f’(x) > 0 ∀x∈(-∞;2) ⇒ f đồng biến trên (-∞;2)
Mà f(3
2) = 0 ⇒ pt f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 3
2
Bài 2 Chứng minh pt 2x2
2
x− = 11 có nghiệm duy nhất
Giải
Xét hs f(x) = 2x2
2
x− = 11 liên tục trên [2;+∞)
Ta có f’(x) = x(5x 8)
x 2
< 0 ∀x∈(2;+∞) ⇒ f đồng biến trên [2;+∞) Mặt khác f(2).f(3) < 0 ⇒ pt f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x0∈(2;3)
Bài 3 Giải pt 2x3+3x2+6x+16 2 3= + 4−x
Giải
Vì 2x3 + 3x2 + 6x + 16 = (x + 2)(2x2 – x + 8) ⇒ đk : -2 ≤ x ≤ 4
Xét hs f(x) = 2x3+3x2+6x+16− 4−x - 2 3 liên tục trên đoạn [-2;4]
Ta có f’(x) > 0 ⇒ hàm số f đồng biến trên [-2 ;4]
Mà f(1) = 0 ⇒ pt f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1
Trang 2
Bài 4 Giải các pt :
a) log(x2 – x – 6) + x = log(x + 2) + 4 b) log2(1 + x ) = log3x
c)∗ log3 log 3
Giải
c) ĐK x > 0 Đặt t = log3x ⇔ x = 3t , ta có pt
æö æö÷ ÷
ç ÷+ç ÷
è ø è ø - 2 = 0 Xét hàm số f(t) =
æö æö÷ ÷
ç ÷+ç ÷
è ø è ø - 2 ⇒ f’’(t) > 0 ∀t ⇒ hàm số f’(t) đồng biến trên
Mà f’(0).f’(1) < 0 ⇒ pt f’(t) = 0 có duy nhất nghiệm t0∈(0 ;1)
Lập BBT ⇒ pt f(t) = 0 có 2 nghiệm t = 0 , t = 1
Bài 5 Giải các pt :
2
log x + 6 = 0
c) 2sin8x + cos42x = 1
2
1 5
x x− −
÷
= 2
Giải
c) Pt ⇔ 2sin8x + (1 – 2sin2x)4 = 1
27 Đặt t = sin2x , 0 ≤ t ≤ 1
Xét hs f(t) = 2t4 + (1 – 2t)4 với t∈[0 ;1]
Lập BBT ⇒ t = 1
3 ⇒ x
Bài 6 Giải các pt :
c) log
2 2
+ + + + = x
x − x − + =x x + −x
d)∗ (x + 1)(2 + x2 +2x+4) + x(2 + x2 +3) = 0
Giải
b) ĐK : cosx ≠ 0
Pt ⇔ esinx-cosx = sin x
cos x
Vì sinx = 0 không thỏa pt và esinx-cosx > 0
nên nếu đặt u = sinx , v = cosx thì u, v∈(-1;1) và uv>0
Ta có
u = v Xét hs f(t) =
t
e
t nghịch biến trên mỗi khoảng (-1;0) và (0;1)
Vì uv > 0 nên u, v∈(-1;0) hoặc u, v∈(0;1)
Trên mỗi khoảng đó ta đều có f(u) = f(v) ⇒ u = v
ĐS : x =
4
p
+ kπ , k∈
c) Đặt u = x2 + 3x + 5 và v = 2x2 + 2x + 3 (u, v > 0) ⇒ v – u = x2 – x – 2
Trang 3
Ta có pt logu
v = v – u ⇔ logu + u = logv + v (1) Xét hs f(t) = logt + t ⇒ f’(t) > 0 ∀t > 0 ⇒ f đông biến trên (0 ;+∞)
Từ (1) : f(u) = f(v) ⇔ u = v
d) Pt ⇔ (x + 1)(2 + x2 +2x+4) = -x(2 + (−x)2 +3) (1)
Xét hs f(t) = t(2 + t2 +3) ⇒ hs đồng biến trên
Đặt u = x + 1 , v = - x thì từ (1) ta có f(u) = f(v) ⇔ u = v
Bài 7 Giải các phương trình :
a) 3x log x3 + (log3x – 1)2 = x2 b) x2 + 3log 2x = log 2 5
x
e)∗ x.21-x + 2log2(1 + x) = xlog2(1 + x) + log2(1 + x)2
f)∗ 2x – 21-x = 2
1
x
−
Giải
b) Đk x > 0 Vì x = 1 không là nghiệm nên với x ≠ 1 : log 2 5
x = (xlog 5x )log 2x =5log 2x
Pt ⇔ x2 + 3log 2x = 5log 2x
Đặt t = log2x ⇔ x = 2t Ta có pt 4t + 3t = 5t
ĐS : x = 4
c) Đk x > 1
5
− Đặt y = log6(5x + 1) ⇔ 6y = 5x + 1
Ta có pt 6x + 3x = 6y + 3y
ĐS : x = 1
e) PT ⇔ x(21-x – log2(1 + x) ) = 0
Hàm số f(x) = 21-x – log2(1 + x) nghịch biến trên (-1;+∞) và f(1) = 0
ĐS : x = 0 , x = 1
Bài 8 Giải các bất phương trình :
log 3 log 1 5 2
x
÷
c) xlog 3 5 + 4log 5x ≥ x d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2
e)∗ x(3log2x – 2) > 9log2x – 2
Giải
b) ĐK 0 < x ≠ 1 Đặt t = log3x ⇒ 2t +
1
1 2
t
÷
≥
5
2 (1) Hàm số f(t) = 2t +
1
1 2
t
÷
đồng biến trên mỗi khoảng (-∞ ;0) và (0 ;+∞)
Từ (1) : f(t) ≥ f(1) ⇒ t ≥ 1
ĐS : x ≥ 3
d) Đặt t = 2x (t > 0) , ta có bpt log2(t + 1) + log3(t2 + 1) ≤ 2
Trang 4
Xét hs f(t) = log2(t + 1) + log3(t2 + 1) đồng biến trên (0 ;+∞) và f(1) = 2
ĐS : x ≤ 0
e) ĐK x > 0
BPT ⇔ 3(x – 3)log2x – 2(x – 1) > 0 (1)
• x > 3 : (1) ⇔ 3log2x - 2( 1)
3
x x
−
− > 0 Hàm số f(x) = 3log2x - 2( 1)
3
x x
−
− đồng biến trên (3;+∞) và f(4) = 0 ⇒ x > 4
• 0 < x < 3 : 3log2x - 2( 1)
3
x x
−
− < 0 Hàm số f(x) đồng biến trên (0;3) và f(1) = 0 ⇒ 0 < x < 1
② Biện luận tính chất nghiệm của phương trình – bất phương trình
∗ Phương pháp chung : lập bảng biến thiên của hàm số và dựa vào bảng biến thiên
xác định giá trị của tham số thỏa mãn yêu cầu của bài toán
• Chú ý giới hạn của hàm số tại các điểm đầu mút của K
∗ Một số kết quả
Cho hàm số f(x) có GTLN , GTNN trên K
1) Pt f(x) = m có nghiệm x∈K ⇔ minf(x) ≤ m ≤ maxf(x)
2) Bất pt f(x) ≥ m có nghiệm x∈K ⇔ maxf(x) ≥ m
Bất pt f(x) ≥ m nghiệm đúng ∀x∈K ⇔ minf(x) ≥ m
3) Bất pt f(x) ≤ m có nghiệm x∈K ⇔ minf(x) ≤ m
Bất pt f(x) ≤ m nghiệm đúng ∀x∈K ⇔ maxf(x) ≤ m
∗ Tương tự đối với pt f(x) = g(m) , bất pt f(x) ≥ g(m) , f(x) ≤ g(m)
∗ Khi đặt ẩn phụ phải xác định chính xác miền biến thiên của ẩn phụ đó
Phương trình
Bài 9 Tìm m để pt sau có nghiệm : 3+ +x 6− −x (3+x)(6−x) = m
Giải
Đk : -3 ≤ x ≤ 6 Đặt t = 3+ +x 6−x > 0
Ta có t2 = 9 + 2 (3+x)(6−x) ≥ 9 ⇒ t ≥ 3
Bđt Côsi t2 ≤ 9 + (3 + x) + (6 – x) ⇒ t ≤ 3 2
Khi đó ta có pt : 1
2
− t2 + t + 9
2 = m Xét hàm số f(t) = 1
2
− t2 + t + 9
2 với t∈[3; 3 2 ] Lập BBT ⇒ kết quả : 3 ≤ m ≤ 3 2 - 9
2
Trang 5
Bài 10 Tìm m để pt sau có hai nghiệm phân biệt : x2 – 2lnx – 2m = 0 Giải Pt ⇔ 1 2x 2 – lnx = m Đặt f(x) = 1 2x 2 – lnx với x∈(0;+∞) ⇒ f’(x) = x2 1 x − ⇒ f’(x) = 0 ⇔ x = 1 Giới hạn : xlim ( )→0+ f x = +∞ và lim ( ) x f x →+∞ = +∞ BBT x 0 1 +∞
f’(x) - 0 +
f(x) +∞ +∞
1
2 Từ đó , pt f(x) = m có 2 nghiệm phân biệt x > 0 ⇔ m > 1 2 ∗ Chú ý : lim (ln )x→+∞ x = +∞ và xlim (ln )→0+ x = −∞ Bài 11 Tìm m để pt sau có đúng một nghiệm : 4 x2 +2x+ −4 x+1 = m (1)
Giải Đk : x ≥ -1 Đặt t = x+1 , t ≥ 0 ta có pt 4 4t +3 - t = m (2)
Với mỗi nghiệm t ≥ 0 của (2) thì có đúng một nghiệm x ≥ -1 của (1)
Do đó pt(1) có đúng một nghiệm x ≥ -1 ⇔ pt(2) có đúng một nghiệm t ≥ 0
Xét hs f(t) = 4 4t +3 - t với t ≥ 0 ⇒ f’(t) =
3
4 3
4( 3)
t
t + - 1 < 0 ∀t ≥ 0 Tính lim ( ) 0t→+∞ f t = , lập BBT ⇒ kết quả 0 < m ≤ 43
Bài 12 Tìm m để pt sau có hai nghiệm phân biệt : x2+mx+2 = 2x + 1
Giải
Pt ⇔
2
1 2
x
≥ −
Vì x = 0 không thỏa mãn nên (1) ⇔ 3x2 4x 1
x
= m
Đặt f(x) = 3x2 4x 1
x
+ − với x ≥ 1
2
− , x ≠ 0 Lập BBT của f(x) ⇒ m ≥ 9
2
Bài 13 Tìm m để đồ thị hs y = x3 – 3mx2 – 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
Trang 6
Giải
Pt hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành : x3 – 3mx2 – 1 = 0 ⇔ 3m = x - 12
x (x ≠ 0) Xét hs f(x) = x - 12
x Lập BBT của hs ⇒ kết quả : m < 31
4
−
∗ Chú ý : có thể dùng tính chất sau để giải :
“ đồ thị hs bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi hs có CĐ, CT và ycđ.yct < 0 ”
Bài 14 Tìm m để hàm số y = 1
3x
3 – (m – 1)x2 + 3(m – 2)x + 1 đồng biến trên [2;+∞)
Giải
Ta có y’ = x2 – 2(m – 1)x + 3(m – 2)
Hàm số đồng biến trên [2;+∞) ⇔ y’ ≥ 0 ∀x ≥ 2 ⇔ 26 2
x
−
− + ≤ m ∀x ≥ 2 Xét hs g(x) = 26 2
x
−
− + với x∈[2;+∞) Lập BBT của g(x) ⇒ m ≥ 2
3
Giải
Đặt t= x- 4³ 0Þ x= +t2 4
Ta có pt : t2+4t+ + + + =4 t2 4 t m Û t2 +2t+ =6 m
Lập BBT của hàm số y=t2 +2t+6, t³ 0 ⇒ m ≥ 6
Bài 16 Chứng tỏ rằng pt
2
2x 1
Giải
1
2
ìï
-
Lập BBT của f(x) = 3x 2
2x 1
có tập giá trị là ¡ Vậy pt luôn có nghiệm thực với mọi m
Bài 17 Xác định giá trị của m để pt x+ 9− = − +x x2 9x m+ có nghiệm thuộc đoạn [0;9]
Kết quả : 9
4
− ≤ m ≤ 10
Bài 18 Tìm m để pt sau có nghiệm : 2(1 + sin2xcos4x) - 1
2(cos4x – cos8x) = m
Kết quả : 129
64 ≤ m ≤ 5
Bài 19 Tìm m để pt sau có nghiệm : 4sin22x + 8cos2x – 5 + 3m = 0
Kết quả : 4 5
− ≤ ≤
Bài 20 Tìm m để pt 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x – m = 0 có nghiệm thuộc đoạn [0;
2 π ]
Trang 7
Giải
Pt ⇔ -3sin22x + 2sin2x + 3 = m
Đặt t = sin2x Với x∈[0;
2
π
] ⇒ t∈[0;1]
Ta có pt -3t2 + 2t + 3 = m Đặt f(t) = -3t2 + 2t + 3
Pt đã cho có nghiệm x∈[0;
2
π ] ⇔ pt f(t) = m có nghiệm t∈[0;1]
Kết quả : 2 ≤ m ≤ 10
3
∗ Chú ý : có thể dùng đồ thị để biện luận
Pt f(t) = m có nghiệm t∈[0;1] ⇔ đồ thị hai hs y = f(t) và y = m có điểm chung trên đoạn [0;1]
Bài 21 Tìm m để pt cos2x = mcos2x 1 tan x+ có nghiệm x∈[0;
3
p ]
Giải
Với x∈[0;
3
p
] ta có cosx > 0 nên pt ⇔ 1 – tan2x = m 1 tan x+ ⇔ (1 – tanx) 1 tan x+ = m Đặt t = tanx , t∈[0; 3 ] Ta có pt (1 – t) 1 t+ = m
Xét hs f(t) = (1 – t) 1 t+ liên tục trên [0; 3 ] và f’(t) < 0 ∀t∈(0; 3 )
⇒ f nghịch biến trên [0; 3 ]
Lập BBT ⇒ kết quả 1 ≤ m ≤ 2( 3 1)
-Bài 22 Xác định m để pt cos4x + 6sinxcosx = m có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0;
4
p ]
Kết quả : 2 ≤ m < 17
8
Bài 23 Tìm m để pt cos3x – sin3x = m có 2 nghiệm phân biệt thuộc [- ;
4 4
p p ]
Giải
Pt ⇔ (cosx – sinx)(1 + sinxcosx) = m (1)
Đặt t = cosx – sinx = 2 cos x
4
æ p÷ö
ç + ÷
çè ø Vì x∈[- ;
4 4
p p] nên t∈[0; 2 ]
Ta có pt -t3 + 3t = 2m (2)
Với mỗi t∈[0; 2 ] có duy nhất
x∈[-4
p
; 4
p ] sao cho 2 cos x
4
æ p÷ö
ç + ÷
çè ø = t
Kết quả 2 ≤ m < 2
Bài 24 Tìm m để pt 12
cos x + cot
2x + m(tanx + cotx) + 2 = 0 vô nghiệm
Kết quả : -5
2 < m <
5 2
Bài 25 Tìm m để pt 2x + 3 = m 4x+1 có nghiệm duy nhất
Giải
Trang 8
Đặt t = 2x , t > 0 Ta có pt 2 1 1 t t + + = m Hàm số f(t) = 2 1 1 t t + + có f’(t) = 0 ⇔ t = 1 3 và lim ( ) 1t f t →+∞ = Lập BBT ⇒ kết quả 1 < m ≤ 3 hoặc m = 10 Bài 26 Tìm m để pt sau có nghiệm : 91 + − 1 x2 - (m + 2) 31 + − 1 x2 + 2m + 1 = 0 Giải Đk -1 ≤ x ≤ 1 Đặt t = 31 + − 1 x2 với x∈[-1;1] ⇒ t∈[3;9] Ta có pt 2 2 1 2 t t t − + − = m ⇒ kết quả 4 ≤ m ≤ 64/7 Bài 27 Tìm m để pt 22 1 2 4 2 2 log x+log x - 3=m(log x - 3) có nghiệm thuộc đoạn [32;+∞) Giải PT ⇔ 2 2 2 2 log - 2log x 3- =m(log x 3) -Đặt t = log2x Với x ≥ 32 ⇒ t ≥ 5 Ta có pt t2- 2t 3- =m(t 3)- ⇔ t 1 t 3 + - = m Xét hs f(t) = t 1 t 3 + - liên tục trên [5;+∞) và f’(t) < 0 ∀t∈[5;+∞) ⇒ f nghịch biến trên [5;+∞) Lập BBT ⇒ kết quả : 1 ≤ m ≤ 3 Bài 28 Tìm m để pt 2log(x + 4) = log(mx) có nghiệm duy nhất Giải Pt ⇔ 2 (x 4) mx (1) x 4 ìï + = ïí ï >-ïî Vì x = 0 không thỏa mãn nên (1) ⇔ (x 4)2 x + = m Đặt f(x) = 2 (x 4) x + , pt đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ pt f(x) = m có nghiệm duy nhất x > -4 Lập BBT của f(x) x -4 0 4 +∞
f’ 0 - - 0 +
f 0 +∞ +∞
-∞ 16
Kết quả : m < 0 hoặc m = 16
Bất phương trình
Bài 29 Tìm m để bất pt sau có nghiệm : mx - x−3 ≤ m + 1
Trang 9
Giải
Đk x ≥ 3 Đặt t = x−3 , t ≥ 0 Ta có bpt m(t2 + 2) ≤ t + 1 ⇔ 2 1
2
t t
+ + ≥ m Xét hs f(t) = 2 1
2
t t
+ + với t ≥ 0 BBT
t 0 -1+ 3 +∞
f’(t) + 0
-f(t) 1+4 3
1
2 0
Bpt có nghiệm x ≥ 3 ⇔ bpt f(t) ≥ m có nghiệm t ≥ 0 ⇔ m ≥ 1 3
4
+
Bài 30 Tìm m để bất pt sau nghiệm đúng với mọi x : m.9x – 3x + 1 ≥ 0
Giải
Đặt t = 3x , t > 0 Ta có bpt t 21 m
t− ≤ Lập BBT của hs f(t) = t 21
t
− trên khoảng (0;+∞)
t 0 2 +∞
f’(t) + 0
-f(t) 14
-∞ 0
Bpt đã cho nghiệm đúng với mọi x ≥ 3 ⇔ bpt f(t) ≤ m nghiêm đúng ∀t > 0
Kết quả : m ≥ 1
4
Giải
Bpt ⇔
2
ïïï
ïïïî
2
1
ì ³ ïï
íï + - £
2
1
2 - + ≤ 1 ⇔ 1 – m ≤ x2 – 2x ≤ 4 – m (∗)
Xét hs f(x) = x2 – 2x trên đoạn [0;2]
Lập BBT ⇒ (∗) đúng ∀x∈[0;2] ⇔ 1 1 m
ì ³ -ïï
íï £
Trang 10
Bài 32 Xác định m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x > 2 :
2 2 2 2
log
x
x− ≥ m
Giải
Đặt t = log x , t > 1 Ta có bpt 22
1
t
t− ≥ m Xét hs f(t) = 1
t
t− với t > 1 Tính f’(t) và các giới hạn lim ( )t→1+ f t = +∞ , lim ( )
→+∞ = +∞
Lập BBT ⇒ m ≤ 1
Bài 33 Tìm m để bất pt sau nghiệm đúng ∀x∈[-2;4] : -4 (x+2)(4−x) ≤ x2 – 2x + m - 8
ĐS : m ≥ 10
Bài 34 Tìm m để bất pt sau có nghiệm : 4x− +2 2 4−x < m
Giải
Xét hs f(x) = 4x− +2 2 4−x , x∈[1
2;4] Ta có f’(x) = 2 4 4 2
4 2 4
f’(x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 9
4 Dấu = xảy ra khi x =
9 4 BBT ⇒ m > 14
Bài 35 Tìm m để bất pt m( x2−2x+2 + 1) + x(2 – x) ≤ 0 có nghiệm thuộc đoạn [0;1 + 3 ]
ĐS : m ≤ 2
3
③ Một số ví dụ đối với hệ phương trình
Bài 36 Giải các hệ pt :
x
x y y
+ +
− = −
4
y x
− =
x
y
+ = +
+ = +
Giải
d)Đặt u = x + 1 ≥ 1 , v = y + 1 ≥ 1 Ta có hpt
t + + t− +t đồng biến trên [1;+∞)
Do đó f(u) = f(v) ⇒ u = v ≥ 1 ⇒ u2+21+ u− =1 u2
u + + u− −u nghịch biến trên [1;+∞) có g(2) = 0
⇒ u = 2 là nghiệm duy nhất của pt g(u) = 0
Kq : (1;1)
Trang 11
Bài 37 Giải hệ pt
3 2
3
x
− <
− + + >
Giải
• Giải (1) ta được 1 < x < 4
• Xét bpt(2) Đặt f(x) =
3
3
x
- 3x2 + 5x + 9 ⇒ f’(x) < 0 ∀x∈(1;4) ⇒ hàm số f nghịch biến trên (1;4) ⇒ f(x) > f(4) = 7
3 ⇒ (2) đúng ∀x∈(1;4) Vậy tập nghiệm của hệ đã cho là S = (1;4)
Bài 38 Giải hệ pt
3 4
− − = −
− =
Giải
Đk : x ≥ 1 , y ≥ 0
Hệ pt ⇔
2 3
4
Xét hs f(x) = x−1 - (x – 1)2 + x3 + 8 liên tục trên [1;+∞)
Ta có f’(x) > 0 ∀x∈(1;+∞) ⇒ f đồng biến trên [1;+∞)
Mà f(2) = 0 ⇒ pt(1) có nghiệm duy nhất x = 2
Kết quả : (x;y) = (2;1)
+ + − =
+ + − =
Giải
Đk : -1 ≤ x, y ≤ 3
Trừ hai pt theo vế : x+ −1 3− =x y+ −1 3−y (3)
Xét hàm số f(t) = t+ −1 3−t liên tục trên [-1 ;3] ⇒ f’(t) > 0 ∀t∈(-1 ;3)
⇒ f đồng biến trên [-1 ;3]
Từ (3) : f(x) = f(y) ⇔ x = y
Thế vào (1) : x+ −1 3−x = m (4)
Hệ pt đã cho có nghiệm ⇔ (4) có nghiệm x∈[-1 ;3]
Đặt g(x) = x+ −1 3−x
Pt g(x) = m có nghiệm x∈[-1 ;3] ⇔ [ 1;3]min ( )g x m max ( )[ 1;3]g x
Trang 12
Bài 40 Tỡm m để hệ phương trỡnh sau cú nghiệm : 3 3 3 3 1 1 5 1 1 15 10 x y x y x y m x y + + + = + + + = − Giải Đk : x, y ≠ 0 Đặt u = x + 1 x và v = y + 1 y thỡ u , v ≥ 2 Ta cú hệ pt : 3 5 3 3 3 15 10 u v u u v v m + = − + − = − ⇔ 5 8 u v uv m + = = − Do đú u, v là nghiệmcủa pt t2 – 5t + 8 – m = 0 (1)
Hệ pt đó cho cú nghiệm ⇔ pt (1) cú nghiệm t thỏa t ≥ 2 Đặt f(t) = t2 – 5t + 8 Lập BBT x -∞ -2 2 5
2 +∞
f’ - - 0 +
f +∞
22
2 +∞
7
4
Kết quả : 7
4 ≤ m ≤ 2 hoặc m ≥ 22
④ Đề thi Đại học
Bài 41 (2002 – A)
Cho phương trỡnh : 2 2
log x+ log x+ −1 2m− =1 0 a) Giaỉ pt khi m = 2
b) Tỡm m để pt cú ớt nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 ] 3
ĐS : a/ x = 3± 3 b/ 0 ≤ m ≤ 2
Bài 42 (2004 – B)
Tỡm m để pt sau cú nghiệm : m( 1+x2 − 1−x2 +2) =2 1−x4 + 1+x2 − 1−x2
Đs : 2 - 1 ≤ m ≤ 1
Bài 43.(2004 – D)
Chứng minh rằng pt sau có đúng một nghiệm x5 – x2 – 2x – 1 = 0
Bài 44 (2006 – B)
Tỡm m để pt sau cú hai nghiệm thực phõn biệt : 2
2
2
≥
Trang 13
Bài 45 (2006 – D)
Chứng minh rằng với mọi a > 0 , hệ pt sau có nghiệm duy nhất : ln(1 ) ln(1 )
y x a
− =
Bài 46 (2007 – A)
Tìm m để pt sau có nghiệm thực : 3 x− +1 m x+ =1 24 x2 −1 Đs : - 1 < m ≤ 1
3
Bài 47 (2007 – B)
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt : x2 + 2x −8 = m x( −2)
Bài 48 (2007 – D)
Tìm m để hệ pt sau có nghiệm :
5
+ + + =
ĐS : 7
4 ≤ m ≤ 2 hoặc m ≥ 22
Bài 49 (2008 – A)
Tìm m để pt sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt : 4 2x+ 2x+2 64 − +x 2 6− =x m
Đs: 4
2 6 2 6 + ≤ <m 3 2 6 +
Bài 50.(2010 – D)
Giải pt 42x+ +x 2 +2x3 =42+ +x 2 +2x3+ −4x 4
Đs : x = 1 , x = 2