Kính gửi : Ban biên tập tạp chí TH&TTGửi bài chuyên mục : Giải bài toán bằng nhiều cách Bất đẳng thức lượng giác Ta xét bài toán lượng giác sau: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC t
Trang 1Kính gửi : Ban biên tập tạp chí TH&TT
Gửi bài chuyên mục : Giải bài toán bằng nhiều cách
Bất đẳng thức lượng giác
Ta xét bài toán lượng giác sau:
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có
1+cosAcosBcosC≥ 3sinAsinBsinC (*)
Cách suy nghĩ thường xuất hiện đầu tiên là sử dụng đẳng thức,bất đẳng thức cơ bản Bằng sự kết hợp khéo léo ta có cách giải khác nhau sau:
Hướng 1: Sử dụng các đẳng thức lượng giác và bất đẳng thức cơ bản
Lời giải 1:
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
(sin A sin B sin C)(sin A sin B sin C) 9sin A sin Bsin C+ + + + ≥
Mặt khác: sin A sin B sin C 3 3
2
(sin A sin B sin C) 9sin A sin Bsin C
2
1
(sin A sin B sin C) 3 sin A sin Bsin C
2
⇔1+cosAcosBcosC≥ 3sinAsinBsinC
⇒ĐPCM
Lời giải 2: â Áp dụng đẳng thức
sin 2A sin 2B sin 2C 4sin A sin Bsin C+ + = và
cos 2A cos 2B cos 2C+ + = − −1 4cos A cos Bcos C
(*)⇔ − −4 1 (cos 2A cos 2B cos 2C)+ + ≥ 3(sin 2A sin 2B sin 2C)+ +
( sin 2A cos 2A) ( sin 2B cos 2B) ( sin 2C cos 2C)
3 cos(2A ) cos(2B ) cos(2C )
Dễ thấy ba góc 2A
3
π
; 2B 3
π
và 2C 3
π
là ba góc của một tam giác nên bất đẳng thức (2) là bất đẳng thức cơ bản của tam giác
⇒ĐPCM
Hướng 2: Đánh giá biểu thức để đưa bà toán về một biến.
Bài toán là bất đẳng thức ba biến, liệu có thể quy về một biến để dễ dàng chứng minh không.từ ý tưởng đó tôi đề xuất tiếp hai lời giải sau.
Lời giải 3:
Khi hoán vị (A,B,C) thì bđt (*) không thay đổi do đó không mất tính tổng quát ta giả
sử A=max(A,B,C)Khi đó A 60≥ o(3)
Xét T 1 cos AcosBcosC = + − 3 sin Asin Bsin C
T 1 cos A[cos(B C) cos(B C)] sin A[cos(B C) cos(B C)]
Từ (3) ta có: 1cos A 3sin A cos(A 60 ) 0
2 − 2 = + o < và cos(B C) 1− ≤ nên
Trang 2T 1 [ cos A 3 sin A cos A] (cos A 3 sin A) (cos A 1)[1 cos(A 60 )] 0
Vì vậy 1 cosAcosBcosC+ ≥ 3sinAsinBsinC
⇒ĐPCM
Lời giải 4: bất đẳng thức (*) tương đương với
1 (cos A cos B cos C)
2
áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
VT(4)
3
3 (cos A cos B cos C) 3 (cos A cos B cos C)
3
đặt t cos A cos B cos C= 2 + 2 + 2 dễ thấy 3 t 3
4
≥ ≥
VT(4) 3 t 3. 3 t 3 (3 t) 1 1 3 t 0
3
3 t
4
≥ ≥
ta có 3 t 0 ;1 1 3 t 1 1 3 3 0
⇒ĐPCM
Hướng 3: Chuyển bài toán lượng giác về bài toán đại số.
Một bài toán đại số ta có thể quy về bài toán lượng giác và ngược lại do đó ta có lời giải thứ năm sau
Lời giải 5: Phương pháp đại số hoá
Đặt x tanA , y tanB , z tanC
Bài toán trở thành : cho xy yz zx 1
x, y, z 0
Ta có : (4)⇔ +(1 x )(1 y )(1 z ) (1 x )(1 y )(1 z ) 8 3xyz2 + 2 + 2 + − 2 − 2 − 2 ≥
Khai triển rút gọn ta có:
(5)⇔x y2 2+y z2 2 +z x2 2+ ≥1 4 3xyz
áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki và côsi ta có
x y y z z x (xy yz zx)
3
xyz xy.yz.zx
Nên x y2 2 y z2 2 z x2 2 1 1 1 4 3 1 4 3xyz
⇒ĐPCM
Để kết thúc bài viết này tôi xin đưa ra một số bài toán để luyện tập
Trang 3Bài 1: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
sin A sin B sin C 1
4 2
Bài 2 : Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
3 3
Bài 3 : Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
cot A cot B 2cot C 2+ + ≥
Bài 4 : Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có
3(cosA+cosB+cosC)≥2(sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA)
Bài 5 : Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì
sin A sin B sin C 2
1 cos A cos B cos C 2
Bài 6: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có
cos A cos B cos C cos A cos B cos C+ + ≥ +2 + +
Bài 7:Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
9 3 8sin A sin Bsin C 16(sin A sin B sin Bsin C sin Csin A)+ ≥ + +
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi tam giác nhọn ABC thì: cosA+cosB+cosC≥ 2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi tam giác nhọn ABC thì:
tan A tan B tan B tan C tan C tan A 1 10 tan A tan B tan C
3 3
Giáo viên : Đậu Thanh Kỳ
Trường THPT Diễn Châu IV Điện thoại : 0972240205