SSKN PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN

Toán học là môn học có vai trò hết sức quan trọng trong chương trình THPT. Toán học không những giúp cho học sinh kỹ năng tính toán mà còn phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là tư duy sáng tạo, khái quát… Trong toán học, việc phát triển tư duy cho học sinh là việc hết sức quan trọng. Đối với nhiều học sinh, các em thường hài lòng với việc giải xong một bài toán mà không xem xét thêm cách giải khác là khá phổ biến. Trong quá trình dạy học tôi thường khuyến khích học sinh giải bài toán theo nhiều cách khác nhau, từ đó rèn luyện cho học sinh thói quen giải quyết một vấn đề theo nhiều cách khác nhau, tư duy đó rất có ích trong cuộc sống hiện đại ngày nay. Trong quá trình dạy học tôi thấy bài toán IMO sau đây rất thú vị, bài toán đó là: “ Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a b c , , và có diện tích là S . Chứng minh rằng: a b c S 2 2 2 + + ≥ 4 3.” Tôi thấy rằng có rất nhiều cách để tính diện tích tam giác, từ đó ta có thể chứng minh bài toán thú vị này theo nhiều cách khác nhau. Mặt khác, giữa mặt phẳng và không gian có mối liên hệ với nhau, các tính chất trong mặt phẳng có thể mở rộng trong không gian, vì vậy ta có thể mở rộng bài toán này trong không gian cho tứ diện. Với những lý do trên tôi chọn đề tài “ Phát triển tư duy cho học sinh thông qua giải bài toán IMO theo nhiều cách và mở rộng bài toán”. Trong đề tài này tôi trình bày 16 cách giải khác nhau cho bài toán đã nêu, đồng thời mở rộng bài toán trong mặt phẳng và trong không gian.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT TÂY HIẾU

   

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH

THƠNG QUA GIẢI BÀI TỐN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TỐN

Họ tên: Võ Nam Phong

Tổ: Tốn Tin Nhĩm: Tốn

S ố điện thoại: 0986.718.703

Năm học 2015 - 2016

MỤC LỤC

MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

, ,

a

A

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn học có vai trò hết sức quan trọng trong chương trình THPT Toán học không những giúp cho học sinh kỹ năng tính toán mà còn phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là tư duy sáng tạo, khái quát…

Trong toán học, việc phát triển tư duy cho học sinh là việc hết sức quan trọng Đối với nhiều học sinh, các em thường hài lòng với việc giải xong một bài toán

mà không xem xét thêm cách giải khác là khá phổ biến Trong quá trình dạy học tôi thường khuyến khích học sinh giải bài toán theo nhiều cách khác nhau, từ đó rèn luyện cho học sinh thói quen giải quyết một vấn đề theo nhiều cách khác nhau, tư duy đó rất có ích trong cuộc sống hiện đại ngày nay Trong quá trình dạy học tôi thấy bài toán IMO sau đây rất thú vị, bài toán đó là: “ Cho tam giác ABC có độ dài ba c ạ nh là a b c và có di, , ệ n tích là S Ch ứ ng minh r ằ ng:

a +b +c ≥ S ” Tôi thấy rằng có rất nhiều cách để tính diện tích tam giác,

từ đó ta có thể chứng minh bài toán thú vị này theo nhiều cách khác nhau Mặt khác, giữa mặt phẳng và không gian có mối liên hệ với nhau, các tính chất trong mặt phẳng có thể mở rộng trong không gian, vì vậy ta có thể mở rộng bài toán này trong không gian cho tứ diện

Với những lý do trên tôi chọn đề tài “ Phát triển tư duy cho học sinh thông qua giải bài toán IMO theo nhiều cách và mở rộng bài toán” Trong đề tài này tôi trình bày 16 cách giải khác nhau cho bài toán đã nêu, đồng thời mở rộng bài toán trong mặt phẳng và trong không gian

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Là học sinh khá, giỏi lớp 12I, 12K trường THPT Tây Hiếu

1.4 Kế hoạch nghiên cứu

- Từ 20/09/2015 đến 15/10/2015: Chọn đề tài, viết đề cương nghiên cứu

- Từ 16/10/2015 đến 20/12/2015: Đọc tài liệu lý thuyết, viết cơ sở lý luận

- Từ 21/12/2015 đến 16/02/2016: Áp dụng đề tài vào thực tiễn

- Từ 17/02/2016 đến 15/04/2016: Viết báo cáo, trình bày báo cáo trước tổ chuyên môn và xin ý kiến đóng góp

- Từ 16/04/2016 đến 10/05/2016: Hoàn thiện báo cáo

1.5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc các tài liệu liên quan để viết cơ sở lý thuyết

- Phương pháp thực nghiệm

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

2 NỘI DUNG

2.1 Một số kết quả thường gặp trong tam giác

KQ1 Công thức diện tích tam giác

=2(a b2 2+b c2 2+c a2 2) (− a4 +b4 +c4)

1 ( 2 2 2 2 2 2) ( 4 4 4)

24

KQ2 Trong mọi tam giác ABC ta có

Chứng minh Xét tam giác ABC có đường tròn nột tiếp tâm I tiếp xúc 3 cạnh BC,

CA, AB tại M, N, P Khi đó ta có AP AN BP BM CM= , = , =CN

KQ3 Trong tam giác ABC ta có

cot cotA B+cot cotB C +cot cotC A=1 (2) tan tan tan tan tan tan 1

1 cot cot cot cot cot cotcot cot cot cot cot cot 1

KQ4 Trong tam giác ABC ta có

sin sin sin 3 3

1 tan tan tan tan tan tan 3 tan tan tan

Chứng minh (7)

Ta có cot cotA B+cot cotB C +cot cotC A=1

Áp dụng bất đẳng thức cơ bản (x y z+ + )2 ≥3(xy yz zx+ + ) ta có

cotA+cotB+cotC≥ 3

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

2.2 Bài toán [IMO 1961]

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là , , a b c và có diện tích là S Chứng minh rằng: a2 +b2 +c2 ≥4S 3

rông để giải bài toán này Ta có

3

2 2

34

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 2 Sử dụng công thức Hê rông kết hợp bất đẳng thức Côsi Trước hết ta

chứng minh bất đẳng thức quen thuộc 8(p a p b p c− )( − )( − )≤abc Ta có

Lấy căn bậc hai hai vế ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

16S =2(a b +b c +c a ) (− a +b +c )

Với mọi số thực , , x y z ta có x2 + y2 + z2 ≥ xy yz zx+ +

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 6 Theo định lý cosin trong tam giác ta có

Suy ra a2 +b2 +c2 =4 (cotS A+cotB+cot ) 4C ≥ S 3

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

sinA+sinB +sinC ≥sinA+sinB+sinC ≥

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

2

A

a = b c− + S Ta có

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

2 3

1 tan tan tan tan tan tan 3 tan tan tan

1tan tan tan

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 12 Sử dụng tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác

I P

N

B

A

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, M N P, , lần lượt là hình chiếu của I lên BC, CA, AB Ta có aIM bIN cIP+ + =0.





 

Thật vậy, đặt u aIM bIN cIP= + + =0








 

Ta có .u BC aIM BC bIN BC cIP BC= + +






















.sin .sin ( sin sin )

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

D

C B

Do BD ≥0 nên ta suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

vuông tại M có BAM =30 ,0 điểm M, C nằm cùng phía với đường thẳng bờ AB Dựng tam giác NAC vuông tại N có CAN = 30 ,0 điểm N, B nằm cùng phía với với đường thẳng bờ AC

N M

C B

A

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

ABC các tam giác đều ABM và CAN

N

M

C B

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

2.3 Mở rộng bài toán trong mặt phẳng

Bài toán trên phát biểu cho lũy thừa số mũ bằng 2, ta có thể mở rộng bài toán lũy

Bất đẳng thức cuối luôn đúng, từ đó ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Quay lại chứng minh bài toán

Trong tam giác ABC ta có

n n

n n

n n

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

2.4 Mở rộng bài toán trong không gian

Tam giác trong mặt phẳng và tứ diện trong không gian có mối liên hệ biện chứng, nhiều tính chất trong tam giác được mở rộng trong không gian đối với tứ diện

Do đó, bài toán này ta có thể mở rộng trong không gian thành bài toán sau:

Cho tứ diện ABCD, đặt S A =S∆BCD, S B =S∆CDA, S C =S∆DAB, S D =S∆ABC , V là

Mặt khác, ta luôn có OA + OB + OC ≥ OA OB OC+ +


















, suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi OA


, OB


, OA


 cùng hướng hay x y z

Quay trở lại bài toán Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng

(ABC) Gọi E, F, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB, BC, CA

3.2 Kết quả thực nghiệm

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2015 – 2016

Thực nghiệm được tiến hành tại lớp 12I (36 học sinh) và 12K (40 học sinh)

trường THPT Tây Hiếu, thị xã Thái Hòa, Nghệ An Trong đó lớp 12I được áp

dụng sáng kiến, lớp 12K không áp dụng sáng kiến

Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho 2 lớp làm bài kiểm tra sau

TRƯỜNG THPT TÂY HIẾU ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM

Nhận xét kết quả khảo sát: Lớp 12K không dạy thực nghiệm nên hầu hết các em

chỉ giải được một cách và không mở rộng được bài toán Ngược lại, lớp 12I được

dạy thực nghiệm nên hầu hết các em giải được hai cách trở lên và mở rộng được bài toán

Tổng hợp cách giải của học sinh và mở rộng

Việc bồi dưỡng tư duy cho học sinh là việc làm cần thiết và thường xuyên

Đặc biệt là giải bài toán theo nhiều cách khác nhau, qua đó học sinh rèn luyện

được cách tiếp cận bài toán theo nhiều hướng khác nhau Điều này không những

tạo hứng thú cho học sinh trong học tập mà còn trau dồi khả năng xử lý tình

huống, một kỹ năng quan trọng trọng cuộc sống hiện nay Qua quá trình giảng

dạy tôi thấy học sinh có hứng thú hơn trong học môn Toán, đặc biệc các em không bằng lòng với một cách giải mà luôn cố gắng tìm tòi nhiều cách giải độc

đáo

Đề tài này đã được trình bày, trao đổi và góp ý với tổ Toán – Tin và hội đồng

chấm sáng kiến kinh nghiệm trường THPT Tây Hiếu Các thành viên đã đóng góp ý kiến quý báu cho đề tài

Mặc dù đã cố gắng nhưng đề tài không tránh khỏi thiếu sót Mong ban giám

khảo cũng nhưđồng nghiệp giúp đỡđểđề tài được hoàn thiện hơn

Thái Hòa, ngày 12 tháng 05 năm 2016

Tác giả

Võ Nam Phong

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Hình học 10 nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục

2 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

3 Tài liệu trên Internet

4 Phan Huy Khải, 500 BÀI TOÁN CH ỌN LỌC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC tập 1, Nhà xuất bản Hà Nội, 1997