Phát triển tư duy cho học sinh thông qua giải bài toán IMO theo nhiều cách và mở rộng bài toán

Mở rộng bài toán trong không gian Trang 20 MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI... 1.1 Lý do chọn đề tài Toán học là môn học có vai trò hết sức quan trọng trong chương trình THPT.Toán họ

MỤC LỤC

2.1 Một số kết quả thường gặp trong tam giác Trang 4

2.3 Mở rộng bài toán trong măt phẳng Trang 152.4 Mở rộng bài toán trong không gian Trang 20

MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

, ,

a, b, c Độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C tương ứng

R Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

r Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

a

h Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A

A

S Diện tích mặt đối diện đỉnh A trong tứ diện ABCD

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn học có vai trò hết sức quan trọng trong chương trình THPT.Toán học không những giúp cho học sinh kỹ năng tính toán mà còn phát triển tưduy cho học sinh, đặc biệt là tư duy sáng tạo, khái quát…

Trong toán học, việc phát triển tư duy cho học sinh là việc hết sức quan trọng.Đối với nhiều học sinh, các em thường hài lòng với việc giải xong một bài toán

mà không xem xét thêm cách giải khác là khá phổ biến Trong quá trình dạy họctôi thường khuyến khích học sinh giải bài toán theo nhiều cách khác nhau, từ đórèn luyện cho học sinh thói quen giải quyết một vấn đề theo nhiều cách khácnhau, tư duy đó rất có ích trong cuộc sống hiện đại ngày nay Trong quá trình dạy

học tôi thấy bài toán IMO sau đây rất thú vị, bài toán đó là: “ Cho tam giác

ABC có độ dài ba cạnh là a b c, , và có diện tích là S Chứng minh rằng:

từ đó ta có thể chứng minh bài toán thú vị này theo nhiều cách khác nhau Mặtkhác, giữa mặt phẳng và không gian có mối liên hệ với nhau, các tính chất trongmặt phẳng có thể mở rộng trong không gian, vì vậy ta có thể mở rộng bài toánnày trong không gian cho tứ diện

Với những lý do trên tôi chọn đề tài “ Phát triển tư duy cho học sinh thôngqua giải bài toán IMO theo nhiều cách và mở rộng bài toán” Trong đề tài này tôitrình bày 16 cách giải khác nhau cho bài toán đã nêu, đồng thời mở rộng bài toántrong mặt phẳng và trong không gian

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh biết cách vận dụng kiến thức để giải quyết vấn đề nhiều cáchkhác nhau

- Rèn luyện kỹ năng mở rộng bài toán theo nhiều hướng

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Là học sinh khá, giỏi lớp 12I, 12K trường THPT Tây Hiếu

1.4 Kế hoạch nghiên cứu

- Từ 20/09/2015 đến 15/10/2015: Chọn đề tài, viết đề cương nghiên cứu

- Từ 16/10/2015 đến 20/12/2015: Đọc tài liệu lý thuyết, viết cơ sở lý luận

- Từ 21/12/2015 đến 16/02/2016: Áp dụng đề tài vào thực tiễn

- Từ 17/02/2016 đến 15/04/2016: Viết báo cáo, trình bày báo cáo trước tổchuyên môn và xin ý kiến đóng góp

- Từ 16/04/2016 đến 10/05/2016: Hoàn thiện báo cáo

1.5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc các tài liệu liên quan để viết cơ sở lý thuyết

- Phương pháp thực nghiệm

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

2 NỘI DUNG

2.1 Một số kết quả thường gặp trong tam giác

KQ1 Công thức diện tích tam giác

1  2 2 2 2 2 2  4 4 4

24

KQ2 Trong mọi tam giác ABC ta có

 tan  tan  tan

r  p a  p b  p c

Chứng minh. Xét tam giác ABC có đường tròn nột tiếp tâm I tiếp xúc 3 cạnh

BC, CA, AB tại M, N, P Khi đó ta có AP AN BP BM CM ,  , CN.

Chứng minh tương tự ta có các kết quả còn lại

KQ3 Trong tam giác ABC ta có

cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A1 (2) tan tan tan tan tan tan 1.

1 cot cot cot cot cot cotcot cot cot cot cot cot 1

KQ4 Trong tam giác ABC ta có

sin sin sin 3 3

Chứng minh (4)

Trước hết ta chứng minh sin sin 2sin

2

x y

x y  với x y, 0; Đẳng thức xảy ra khi x y .

1 tan tan tan tan tan tan 3 tan tan tan

Áp dụng bất đẳng thức cơ bản (x y z  )2 3(xy yz zx  ) ta có

cotAcotBcotC 3

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

2.2 Bài toán [IMO 1961]

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a b c, , và có diện tích là S Chứngminh rằng: a2 b2 c2 4S 3

Cách 1 Ta thấy vế trái là mối liên hệ 3 cạnh, vì vậy ta sử dụng công thức Hê

rông để giải bài toán này Ta có

3

2 2

34

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 2 Sử dụng công thức Hê rông kết hợp bất đẳng thức Côsi Trước hết ta

chứng minh bất đẳng thức quen thuộc 8(p a p b p c )(  )(  )abc. Ta có

Lấy căn bậc hai hai vế ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 3 Theo công thức diện tích Hê rông ta có

16S 2(a b b c c a ) ( a b c )

Với mọi số thực x y z, , ta có x2  y2 z2 xy yz zx 

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 4 Theo định lý cosin c2 a2 b2  2abcosC và công thức diện tích1

Do đó hiển nhiên f a ( ) 0. Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 5 Biến đổi tương đương Ta có

  từ đó ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 6 Theo định lý cosin trong tam giác ta có

Suy ra a2 b2 c2 4 (cotS AcotBcot ) 4C  S 3

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

sinAsinB sinC sinAsinBsinC 

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 8 Ta có a b c  2 (sinR AsinBsin ) 3C  R 3

Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 9 Trước hết ta chứng minh công thức 2 ( )2 4 tan

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 10 Ta có ( ) tan ( ) tan ( ) tan

2 3

1 tan tan tan tan tan tan 3 tan tan tan

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 11 Gọi G là trọng tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 12 Sử dụng tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác

I P

N

B

A

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, M N P, , lần lượt là hình chiếu của I

lên BC, CA, AB Ta có aIM bIN cIP     0.

Thật vậy, đặt u aIM bIN cIP    0.



Ta có .u BC aIM BC bIN BC cIP BC    

     

.sin .sin ( sin sin )

(2 sin sin 2 sin sin ) 0

4 cot 4 cot 4 cot

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 13 Ta sử dụng công diện tích 1

2

S  ah

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 14 Không mất tính tổng quát giả sử a b c  Khi đó ta có BAC 600

D

C B

Do BD 0 nên ta suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 15 Không mất tính tổng quát giải sử A 600 Dựng tam giác BAM

vuông tại M có  BAM 30 ,0 điểm M, C nằm cùng phía với đường thẳng bờ AB

Dựng tam giác NAC vuông tại N có  CAN 30 ,0 điểm N, B nằm cùng phía với với đường thẳng bờ AC

30° 30°

N M

C B

A

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Cách 16 Không mất tính tổng quát giải sử A 600 Dựng phía ngoài tam giác

ABC các tam giác đều ABM và CAN.

N

M

C B

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

2.3 Mở rộng bài toán trong mặt phẳng

Bài toán trên phát biểu cho lũy thừa số mũ bằng 2, ta có thể mở rộng bài toán lũy thừa với số mũ chẵn bất kì lớn hơn 1

Cho tam giác ABC có diện tích S và độ dài các cạnh là a, b, c Với n *chứngminh rằng





 



Bất đẳng thức cuối luôn đúng, từ đó ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.

Quay lại chứng minh bài toán

Trong tam giác ABC ta có

n n

n n

n n

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

2.4 Mở rộng bài toán trong không gian.

Tam giác trong mặt phẳng và tứ diện trong không gian có mối liên hệ biện chứng,nhiều tính chất trong tam giác được mở rộng trong không gian đối với tứ diện

Do đó, bài toán này ta có thể mở rộng trong không gian thành bài toán sau:

Cho tứ diện ABCD, đặt S A SBCD, S B SCDA, S C SDAB, S D SABC, V là

thể tích khối tứ diện ABCD Chứng minh rằng

Mặt khác, ta luôn có OA  OB  OC OA OB OC 

, suy ra điều phải chứng

minh Đẳng thức xảy ra khi OA , OB , OA cùng hướng hay x y z

Quay trở lại bài toán Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng

(ABC) Gọi E, F, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB, BC, CA.

3.2 Kết quả thực nghiệm

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2015 – 2016

Thực nghiệm được tiến hành tại lớp 12I (36 học sinh) và 12K (40 học sinh) trường THPT Tây Hiếu, thị xã Thái Hòa, Nghệ An Trong đó lớp 12I được ápdụng sáng kiến, lớp 12K không áp dụng sáng kiến

Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho 2 lớp làm bài kiểm tra sau

TRƯỜNG THPT TÂY HIẾU ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM

Tổng hợp cách giải của học sinh và mở rộng

Cách 5 Không mất tính tổng quát, giả sử c b a 

Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức

huống, một kỹ năng quan trọng trọng cuộc sống hiện nay Qua quá trình giảngdạy tôi thấy học sinh có hứng thú hơn trong học môn Toán, đặc biệc các emkhông bằng lòng với một cách giải mà luôn cố gắng tìm tòi nhiều cách giải độcđáo.

Đề tài này đã được trình bày, trao đổi và góp ý với tổ Toán – Tin và hội đồngchấm sáng kiến kinh nghiệm trường THPT Tây Hiếu Các thành viên đã đónggóp ý kiến quý báu cho đề tài

Mặc dù đã cố gắng nhưng đề tài không tránh khỏi thiếu sót Mong ban giámkhảo cũng như đồng nghiệp giúp đỡ để đề tài được hoàn thiện hơn

Thái Hòa, ngày 12 tháng 05 năm 2016

Tác giả

Võ Nam Phong

TÀI LIỆU THAM KHẢO