Tuyển chọn một số bài toán bất đẳng thức thức hay

Như vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.. tự ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh... Bất đẳng thức đã cho tương đương với 3 3 3Vậy b

TUYỂN CHỌN VÀ GIỚI THIỆU MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HAY

Bài 1 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 a b c

a+ +  + + Tìm giá trị lớn b cnhất của biểu thức: T 1 2 1 2 1 2

 + +  + +  Như vậy bất đẳng thức được chứng minh Vậy giá trị lớn nhất của T là 1, xẩy ra tại a b c 1= = =

Bài 2 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn a b c 1+ + = Chứng

Trở lại bài toán Do a b c 1+ + = nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 3 Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ Chứng minh rằng:

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có (a b a c+ )( + ) +a bc Do đó ta được

Dễ thấy theo bất đẳng thức AM – GM thì ta luôn có

a b c+ + b c a+ + c a b+ 2 a bc 2 b ca 2 c ab+ + =6 abc

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh, đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Bài 4 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2+b2+c2= Tìm giá trị nhỏ nhất 3của biểu thức:

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y z 0= = =

Với y 0; x= = − hoặc z 0;xz = = − chứng minh hoàn toàn tương tự y

• Xét trường hợp xyz 0 , khi đó do x y z 0+ + = nên tồn tại hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là y và z, khi đó ta có yz 0 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

5x y 10x y 10x y 5xy 5xy x 2x y 2xy y

Bài 7 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Đặt x a b c; y ab bc ca; z abc= + + = + + = , theo cách chuẩn hóa trên ta có x 1= Khi đó

bất dẳng thức trên được viết lại thành

= = = , khi đó giả thiết

của bài toán được viết lại thành x2+y2 +z2  Ta có biểu thức P trở thành 1

4 n

   Ta đi chứng minh n=2 là giá trị cần tìm

Thật vậy với n=2 bất đẳng thức trên được viết lại thành

Để ý ta viết lại giả thiết thành ab bc ca abc ab bc ca+ +  ( + + )

Như vậy bất đẳng thức được chứng minh xong Vậy n=2 là giá trị cần tìm

Bài 10 Cho a, b, c là các số thực không âm Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi (a; b; c) (= 1;1; 0) và các hoán vị

Bài 11 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2+b2+c2= Tìm giá trị nhỏ nhất 3của biểu thức:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 768, xẩy ra khi a b c 1= = =

Bài 12 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1+ + = Chứng minh rằng:

tự ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Bài 14 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn

Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 12abc 15 ab bc ca+ ( + + )3

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho giả thiết ta có

Như vậy 5y 3z 2x+  3+xy, tức là bất đẳng thức 5y 4z 1+  đươc chứng minh

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c d 1= = = =

Bài 17 Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức đã cho tương đương với 3 3 3

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Bài 18 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 ( )2

a +b + + + +c a b c  Chứng 4minh rằng:

Dễ thấy bất đẳng thức trên luôn đúng theo bất đẳng thức AM – GM

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

31

Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh

Không mất tính tổng quát ta giả sử a b c 0  

Bất đẳng thức cần chứng minh quy về chứng minh hai bất đẳng thức sau

Bài toán được chứng minh xong

Bài 22 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn c c a c( − − )= + +a b 1 Tìm giá trị lớn nhất của:

4 4

3

a bP

4 , đạt được tại a= =b 3; c 7=

Bài 23 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 12 12 12 1

a +b +c = Tìm giá trị lớn nhất của:

 , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a= = =b c 3

Vậy giá trị lớn nhất của P là 3

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y z 1= = = hay a b c= =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3

Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh và chú ý đến a b c 3+ + = ta

Do a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên a b c 0; b c a 0; c a b 0+ −  + −  + − 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz các các số dương ta được

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Bài 28 Cho x, y, z là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

= = =    Khi đó ta được abc 1= và bất đẳng thức cần

chứng minh được viết lại thành

Dễ thấy ab bc ca 3 a b c+ +  3 2 2 2 = nên bất đẳng thức cuối cùng trên luôn đúng 3

Vậy bài toán được chứng minh xong Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = = hay

9x 16 4y+ +z −16y 8z 4yz− + 9x +6y +3z 10y −16y 16 4z y z 2+ + + −

Do y,z 1 suy ra y z 2+  nên từ bất đẳng thức trên suy ra

16 c

c 22

c =  = hay ta được z y 2 2x= = Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 20, đạt được tại z=y 2 =2x

Bài 31 Cho a, b, c là các số thực khác nhau đôi một thỏa mãn a b c 0+ + = Chứng

+

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Bài 33 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Đến đây ta có hai hướng chứng minh bất đẳng thức trên

+ Hướng 1: Xét các hiệu sau

Cộng theo vế các bất đảng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh

Vậy bài toán được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

+ Hướng 2: Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả

Cộng theo vế các bất đảng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh

Vậy bài toán được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Bài 34 Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 0 a, b,c 2  và a b c 3+ + = Chứng minh rằng:

3 3 3

a +b +  c 9

Lời giải Cách 1: Đặt A a= 3+b3+ và kết hợp với giả thiết của bài toán ta được c3

Giải hệ trên ta được a 2; b 1; c 0= = = và các hoán vị của nó

Cách 2: Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là số lớn nhất Khi đó ta được

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2; b 1; c 0= = = và các hoán vị của nó

Bài 35 Cho a, b, c là các số thực bất kì thỏa mãn các điều kiện a b c 2+ + = và

−  Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2 3; b 2; c 2 3

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xẩy ra khi a b c 1= = = hoặc a b 2; c 0= = = và các hoán vị

Bài 37 Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

Bài 38 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1= Chứng minh rằng:

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức x y z 1+ + 

Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

3 2 2 2 ( 2)( 2)( 2) ( ) (2 ) (2 )2

8 x y z = −1 x 1 y− 1 z−  x y+ y z+ z z+

Hay 8xyz(x y y z z x+ )( + )( + ), rõ ràng bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức

sai Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh

Bài 39 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 3

28

Lời giải

Bất đẳng thức có tính đối xứng giữa các biến, do đó không mất tính tổng quát ta giả

sử a b c  , Khi đó a b c 0+ −  và a c b 0+ − 

+ Nếu b c a 0+ −  , bất đẳng thức hiển nhiên đúng

+ Nếu b c a 0+ −  Khi này ta đặt x b c a; y c a b; z a b c= + − = + − = + −

Khi đó ta viết lại giả thiết là x; y; z 0 và x y z 2 2 2

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xyz 1

Ta chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp phản chứng

Thật vậy, giả sử xyz 1 Khi đó theo bất đẳng thức Cauchy ta được

Nhận xét: Ta có thể sử dụng phương pháp phản chứng theo hướng như sau

Giả sử xyz 1 , khi đó từ giả thiết của bài toán suy ra

x y z+ + xy yz zx+ + =2 x y z+ + +2 xy yz zx+ + +xyz x y z+ +

Theo bất đẳng thức Cauchy và kết hợp với giả sử ta lại có

2 2 2 3

xy yz zx 3 x y z+ +  3; x y z 3+ + 

Do đó

2 x y z3

2 xy yz zx9

xyz x y z9

c 4c, từ đây ta suy ra

Cũng từ đây ta suy ra a b c 4   Ta chứng minh a 1 Thật vậy, giả sử a 1

Khi đó ta được 1 a b c 4    , suy ra

(a 1 a 4− )( − )0; b 1 b 4( − )( − )0; c 1 c 4( − )( − )0

Hay a25a 4; b− 25b 4; c− 2 5c 4−

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 2 2 2 ( )

a +b +c 5 a b c+ + −12 18= Điều này mâu thuẫn với điều kiện a2+b2+c2 =18 Do đó a 1 Vậy 0 a 1 

Như vậy bài toán được chứng minh xong

Bài 42: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c 3+ + = Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

Bài 43 Cho a, b, c là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng:

Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3 2 2 2

a b c+ + 3 abc ; ab bc ca+ + 3 a b c

Suy ra (a b c cb bc ca)( )

abc9

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

Bài 45 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 a b c a2 b2 6

Bài 46 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c= =

Bài 47 Cho a, b, c là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng:

Dễ dàng chọn được m 1; n 2= =

Khi đó ta có thể giải được bài toán như sau:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có

Như vậy đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng

Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c= =

Bài 48 Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2+b2+c2= Chứng minh rằng: 2

3 3 3

a +b + −c abc 2 2

Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành ( 3 3 3 )2

a +b + −c abc  8 Quan sát giả thiết và chiều bất đẳng thức cần chứng minh ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức không xẩy ra dấu đẳng thức tại a b c= = mà lại xảy ra tại a= =b 0; c=  2 Do đó ta có đánh giá bất đẳng thức trên theo hướng giảm biến Vì vai trò của a, b, c như nhau nên ta giả sử c là số lớn nhất, khi đó ta có đánh giá

2 2 2 2 2

a +b a +b +c = 1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

( ) ( )

2 2

t 1 t+ − +2t 2  2 t t 1−  0Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ra tại a= =b 0; c=  2 và

Phân tích và lời giải

Quan sát bất đẳng thức trên thì suy nghĩ đầu tiên là áp dụng bất đẳng thức

Đến đây ta cũng nghĩ đến bất đẳng tức Bunhiacopxki dạng phân thức nhưng áp

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

a b c 1= = =

Bài 51 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+ b+ c=1 Chứng minh rằng:

Bài 53 Giả sử x, y, z là những số thực thoả mãn các điều kiện 0 x, y, z 2  và

x y z 3+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:

Do đó suy ra M 3 hay giá trị nhỏ nhất của M là 3

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 0= = = hay x y z 1= = =

b + = + =c b c a

Đến đây ta có M 14 a + 3 17 hay giá trị lớn nhất của M là 17 Đẳng thức xẩy ra khi

và chỉ khi a 1; b= = −1; c 0= và các hoán vị hay x 2; y 0; z 1= = = và các hoán vị

Bài 54 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

a b b c c a ab+ + +bc +ca abc+ a +abc b +abc c +abc

Lời giải Cách 1 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bài toán được chứng minh xong Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Cách 2 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

Bài 55 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= a2+abc+ b2+abc+ c2+abc 9 abc+

Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 3

3 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

1

3

= = =

Bài 56 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b 3 c; c b 1; a b c    + + 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( )

2ab a b c ab 1Q

 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 5

12 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

a 1; b 2; c 3= = =

Cách 2 Nhận thấy a b c b 1+   +   do đó ta được c 3 b a 1a 1    

Khi đó (a 1 b 1− )( −  ) 0 ab a b 1 c 1 + −  −

Tương đương với 7abc 7 a b+ ( + )+19ab 5c a b− ( + )−17c 5 0− 

Đặt A 7abc 7 a b= + ( + )+19ab 5c a b− ( + )−17c 5− khi đó ta có

A 7abc 7 a b 19ab 5c a b 17c 55abc 2abc 7 a b 19ab 5c a b 17c 55c a b 1 6 c 1 7c 19 c 1 5c a b 17c 510c 30 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 5

12 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 1; b 2; c 3= = =

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 5

12 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 1; b 2; c 3= = =

Bài 58 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn ab bc ca 3+ + = Chứng minh rằng:

Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Hoàn toàn tương tự ta được 21 1 c; 21 1 a

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 59 Cho a, b, c ,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c d 3+ + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là 3

16 a +b + +c d 9 a +b + +c dHay 4 a( 4+b4+ +c4 d4) (3 a3+b3+ +c3 d3)

Bài 60 Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn abc bcd cda dab 1+ + + =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 a= ( 3+b3+c3)+9c3

Lời giải

Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại

a b c kd= = = , với k là số dương

Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được

Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được

Hay bất đẳng thức trên được chứng minh

Bài 62 Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện ( )3

a b+ +4ab 12 Chứng minh rằng:

Bài 63 Cho a, b,c là các số thực bất kỳ Chứng minh rằng:

2a +2 2b +2 2c +2 3 2a+ 2b+ 2cĐặt x a 2; y b 2; z c 2.= = = Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bài toán được chứng minh

Bài 64 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1 1 1

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =