Trong bộ môn Toán học ở trường phổ thông thì chuyên đề Bất đẳng thức đượcxem là một trong những chuyên đề khó và hấp dẫn đối với nhiều người học. Nóiđến bất đẳng thức chúng ta thường quan tâm đến bất đẳng thức đại số mà ở đó cónhiều kỹ thuật để khai thác và chứng minh. Như chúng ta đã biết bất đẳng thứcSchur là một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng, tuy nhiên nó vẫn còn kháxa lạ với nhiều học sinh. Qua bài viết này, tôi muốn giới thiệu cho các bạn việc sửdụng bất đẳng thức Schur và kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc AMGM đểgiải một số bài toán bất đẳng thức, đặc biệt là trong các đề thi chọn học sinh giỏi.
Trang 1Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 1
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ SCHUR
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
A LỜI NÓI ĐẦU:
Trong bộ môn Toán học ở trường phổ thông thì chuyên đề Bất đẳng thức được xem là một trong những chuyên đề khó và hấp dẫn đối với nhiều người học Nói đến bất đẳng thức chúng ta thường quan tâm đến bất đẳng thức đại số mà ở đó có nhiều kỹ thuật để khai thác và chứng minh Như chúng ta đã biết bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng, tuy nhiên nó vẫn còn khá
xa lạ với nhiều học sinh Qua bài viết này, tôi muốn giới thiệu cho các bạn việc sử dụng bất đẳng thức Schur và kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc AM-GM để giải một số bài toán bất đẳng thức, đặc biệt là trong các đề thi chọn học sinh giỏi
B NỘI DUNG:
Trước tiên tôi xin giới thiệu một số kiến thức cơ bản liên quan đến bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Schur
I BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM:
1 Các đại lượng trung bình của các số không âm:
Cho n số không âm a a1, , , , 2 a3 a ta có: n
A
n
là trung bình cộng của n số a a1, , , , 2 a3 a n
1 2 3
n
n
G a a a a là trung bình nhân của n số a a1, , , , 2 a3 a n
Q
n
1, , , , 2 3 n
a a a a
n
n H
là trung bình điều hòa của n số dương
1, , , , 2 3 n
a a a a
Ta cũng có bất đẳng thức Q A G H
Dấu “=” xảy ra khi a1 a2 a3 a n
Chú ý:
A, G, Q, H theo thứ tự là viết tắt của các từ arithmetic mean (trung bình
Trang 2Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 2
cộng), geometric mean (trung bình nhân), quadratic mean (trung bình toàn phương) và harmonic mean (trung bình điều hòa)
2 Bất đẳng thức AM-GM:
Theo phần 1. thì ta đã có mối liên hệ giữa các đại lượng trung bình của các số không âm: Q A G H Trong đó, bất đẳng thức A G thường được sử
dụng hơn cả và được gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (gọi tắt là bất đẳng thức A-G) Cách
gọi tên này khá phổ biến ở nước ngoài, nhất là ở các nước Âu, Mỹ Cách chứng minh này rất hay và nổi tiếng và được dùng nhiều trong nhiều bài toán bất đẳng thức
Nội dung của bất đẳng thức này như sau:
Với n số không âm a a1, , , , 2 a3 a ta có: n 1 2 3
1 2 3
n n
n
a a a a n
Dấu “=” xảy ra a1a2 a3 a n
Hệ quả: Ta có một số bất đẳng thức rất quen thuộc và là hệ quả của bất đẳng thức AM-GM như sau:
2
a b
Dấu “=” xảy ra a = b
3
a b c
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
Dấu “=” xảy ra a = b = c
3 a b 2
b a (ab > 0) Dấu “=” xảy ra a = b
hay a 1 2
a
(a > 0) Dấu “=” xảy ra a = 1
4
2
n
a a a a a a a a
n
n
a a1, , , , 2 a3 a n 0
Dấu “=” xảy ra a1a2 a3 a n
Chú ý:
Bất đẳng thức Cauchy thật ra lại là bất đẳng thức sau:
a b x y axby hay có thể viết là
a b x y axby
Trang 3Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 3
Dấu “=” xảy ra axby và nếu x, y khác 0 thì a b
x y ) Bất đẳng thức này đúng với 2 bộ số thực bất kì (a; b) và (x; y)
Mở rộng ra ta thu được kết quả với 2 bộ n số thực a a1, , , 2 a n và
b b1, , , 2 b n như sau:
a a a b b b a b a b a b
hoặc 2 2 2 2 2 2
a a a b b b a b a b a b
Dấu “=” xảy ra
a kb
a kb
a kb
Bất đẳng thức Cauchy nêu trên còn có nhiều tên gọi khác như bất đẳng
thức Bunyakovsky (Bu-nhi-a-cốp-xki) hay bất đẳng thức Schwarz (Sờ-vác)
hoặc bằng cái tên rất dài Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz Nhiều tài liệu ở
Việt Nam lại viết theo kiểu ngược lại, tức là Bunyakovsky - Cauchy -
Schwarz, do đó bất đẳng thức này được viết tắt là BCS
II BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR:
Với các số thực dương a, b, c và kR bất kì ta luôn có
a a b a c b b c b a c ca c b
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong số chúng bằng
nhau và số còn lại bằng không Khi k là một số nguyên dương chẵn, thì bất
đẳng thức trên đúng với mọi số thực a, b và c
Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k=1 và k=2:
a a b a c b b c b a c ca c b (i)
a a b a c b b c b a c ca c b (ii)
III SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ SCHUR ĐỂ CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
1 VÍ DỤ 1 Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương a, b, c
a b c ab bc ca (*)
Lời giải:
Áp dụng hệ quả 2 của bất đẳng thức AM-GM ta có:
Trang 4Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 4
Dấu “=” xảy ra 1 1 1 a b c
a b c
Nhận xét: Chúng ta có thể mở rộng bất đẳng thức (*) bằng cách nhân cả hai vế
của bất đẳng thức (*) với abc0, ta có bất đẳng thức
Và nếu giả thiết cho thêm dữ kiện
1
a b c thì chúng ta có một bất đẳng thức khá “đẹp” như sau:
a b c abc Cứ tiếp tục như vậy, chúng ta sẽ tìm tòi được nhiều bài toán mới, hay hơn, tổng quát hơn… Đây chính là cách suy nghĩ trên những bài toán giúp ta nắm vững kiến thức, cũng như một cách rèn luyện tư duy, từ đó hình thành một thói quen học toán tốt
2 VÍ DỤ 2 Chứng minh rằng a b c, , 0ta có bất đẳng thức sau:
3 2
b cc a a b
Lời giải:
b c c a a b b c c a a b
3
a b c
3
Áp dụng hệ quả 4 của bất đẳng thức AM-GM ta có:
9 3
b cc a a b
Dấu “=” xảy ra b c c a a b a b c
3 VÍ DỤ 3 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh:
a b cb c a c a b a b c
b a b c b c a c a b abc
Lời giải:
Trang 5Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 5
a Áp dụng hệ quả 4 của bất đẳng thức AM-GM:1 1 4
x y x y
x y, 0
a b cb c a a b c b c a b
(1)
a b cc a b a
b c a c a b c
Cộng vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có đccm
Dấu “=” xảy ra
a b c b c a
Tam giác đó là tam giác đều
b Áp dụng hệ quả 1 của bất đẳng thức AM-GM:
2
2 2
a b
ab
hay 2
4
ab ab (với mọi a, b), ta có:
2
2
2
4
Một cách tương tự, ta cũng chứng minh được:
2
a a b c c a b
2
c b c a c a b
Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
, , 0
0 0 0
a b c
a b c
b c a
c a b
Vì các vế của ba bất đẳng thức trên đều dương nên nhân vế với vế ba bất đẳng thức ta thu được:
2 2
abc a b c b c a c a b (*)
Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh
Dấu “=” xảy ra
a b c b c a
Tam giác đó là tam giác đều
4 VÍ DỤ 4 Cho các số dương a b c d, , , thỏa mãn điều kiện
3
1 a 1 b1 c1 d
1 81
abcd
Trang 6Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 6
Lời giải:
Ta nhận ra 3 = 1 + 1 + 1 nên ta sẽ biến đổi điều kiện của đề bài như sau:
3
3
1
3
3
3
1
3
3
1
3
Nhân vế với vế bốn bất đẳng thức trên, ta có đccm
3
a b c d
Nhận xét: Bằng việc linh hoạt trong phép biến đổi, cộng thêm sử dụng bất đẳng
thức AM-GM, ta đã có một lời giải “nhanh, gọn, đẹp” Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra cho chúng ta sau khi giải, đó là, liệu bất đẳng thức trên có dạng tổng quát hay không, và đó là gì? Nếu có, ta phải chứng minh như thế nào?
Câu trả lời là có Bất đẳng thức tổng quát của nó như sau:
Với n số dương a a1, , , , 2 a3 a n n3, thỏa mãn điều kiện
1
1 a 1 a 1 a 1 a n n
1 2 3
1
1
a a a a
n
Các bạn chứng minh tương tự như ví dụ trên
5 VÍ DỤ 5
Chứng minh rằng với mọi x y z, , 0, ta có:
x y z
yz zx xy
Lời giải:
Trước tiên, ta đi chứng minh bất đẳng thức phụ:
x y z xyz x y z (1)
Trang 7Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 7
Thật vậy, áp dụng hệ quả 2 của bất đẳng thức AM-GM, ta có:
xy yz yz zx zx xy xyz x y z
Dấu “=” xảy ra x y z
Vì xyz 0 nên nhân cả hai vế bất đẳng thức (1) với 1 0
xyz ta có:
x y z
Dấu “=” xảy ra x y z
6 VÍ DỤ 6 Đề thi Việt Nam, 1996
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab bc caabc4.
Chứng minh rằng a b c ab bc ca
Lời giải:
Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử tồn tại các số dương
a, b, c sao cho ab bc caabc4 và a b c ab bc ca.
Khi đó, ta có:
, dẫn đến 4 ( ab bc ca ).1 abc.1
( ab bc ca ).( a b c ) 2 abc.( a b c ) 3
ab bc ca ab bc ca
2
3 ( a b c ) a b c
ab bc ca ab bc ca
Từ đây, ta tìm được
3
2
abc( a b c ) 2( ab bc ca ) ( a b c )
( ab bc ca )
Nhưng mà theo bất đẳng thức Schur bậc 3 ở dạng phân thức thì
2( ab bc ca ) ( a b c )
a b c
Điều này dẫn đến
3 2
9abc abc( a b c )
a b c ( ab bc ca )
Suy ra abc0 và 9( ab bc ca ) 2 ( a b c ) 4 (mâu thuẫn bởi vì ta luôn có
2
( a b c ) 3( ab bc ca ) theo AM-GM Bởi vậy, ta không thể có
a b c ( ab bc ca ) với mọi a, b, c>0 thoả mãn giả thiết của bài
a b c
1
ab bc ca
Trang 8Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 8
Điều này chứng tỏ rằng a b c ab bc ca (Đpcm)
7 VÍ DỤ 7 Đề thi VMO 2015
Cho các số thực a, b, c 0. Chứng minh rằng
3(a b c )(a b c)( ab bc ca)(a b ) (b c) (c a) (a b c)
Lời giải:
Ta đặt x a , y= b , z= c rồi nhân tung hết ra Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại dưới dạng:
x xyz x xy( x y ) 4 x y
Đến đây ta sử dụng bất đẳng thức Schur bậc 4:
x ( x y )( xz ) y ( yz )( yx )z ( zx )( zy ) 0
Dạng khai triển của nó chính là:
x xyz x xy( x y )
Ta dùng (2) để đánh giá (1) Ta thấy (2) cũng có dấu bằng tại x y z và
x y, z0 (cùng các hoán vị) tương ứng với trường hợp đẳng thức (1)
Sau khi đánh giá, ta chỉ cần xét bất đẳng thức:
2xy( x y ) 4 x y xy( x y )2x y
Và nó chỉ là một hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức AM-GM:
xy( x y ) ( xy.2xy ) 2 x y
8 VÍ DỤ 8 Đề thi APMO 2004
Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
( a 2 )( b 2 )( c 2 ) 9( ab bc ca )
Lời giải 1: Khai triển bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh:
a b c 2( a b b c c a ) 4( a b c ) 8 9( ab bc ca )
Ta có:
i) a 2 b 2 c 2 ab bc ca
ii) ( a b 2 2 1) ( b c 2 2 1) ( c a 2 2 1)2( ab bc ca )
iii) a b c 2 2 2 1 1 3 a b c 3 2 2 2 9abc 4( ab bc ca ) ( a b c ) 2
a b c
Trang 9Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 9
(theo BDT Schur)
Áp dụng các BDT trên, ta có:
( a b c 2 ) 2( a b b c c a 3 ) 4( a b c )
2( ab bc ca ) 4( ab bc ca ) 3( a b c )
9( ab bc ca )
(Đpcm)
Lời giải 2:
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
2 2 2
( a 2 )( b 2 )( c 2 ) 9( ab bc ca )
4( a b c ) 2(( a b 1 ) ( b c 1 ) ( c a 1 ))
( a b c 1 ) 1 9( ab bc ca )
4( a b c ) 4( ab bc ca ) 2abc 1 9( ab bc ca )
a b c 2abc 1 2( ab bc ca )
Bất đẳng thức cuối đã rất quen thuộc, ta có đpcm
9 VÍ DỤ 9 VMO 2002- Trần Nam Dũng
Chứng minh rằng với mọi a, b, c 0, ta có:
2( a b c ) abc 8 5( a b c )
Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
12( a b c ) 6abc 48 30( a b c )
12( a b c ) 3( 2abc 1 ) 45 5.2.3( a b c )
12( a b c ) 9 a b c 45 5(( a b c ) 9 )
27
a b c
Mặt khác sử dụng bất đẳng thức Schur, ta có:
9
4( ab bc ca ) ( a b c ) 2( ab bc ca ) ( a b c )
Do đó
27
a b c 7( a b c ) 6( ab bc ca ) 3( a b c ) 10( ab bc ca )
4( a b c ab bc ca ) 0
Bất đẳng thức được chứng minh
Trang 10Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 10
10 VÍ DỤ 10 Moldova TST 2005:
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương và a 4 b 4 c 4 3 thì:
1 1 1 1
4 ab 4 bc 4 ca
Lời giải:
Quy đồng mẫu số rồi khai triển, ta cần chứng minh:
2 2 2
49 8( ab bc ca ) ( a b c )abc 64 16( ab bc ca ) 4( a b c )abc
a b c
2 2 2
16 3( a b c )abc a b c 8( ab bc ca )
Áp dụng bất đẳng thức Schur và giả thiết 4 4 4
a b c 3, ta có:
( a b c 3abc )( a b c ) ( ab( a b ) bc( b c ) ca( c a ))( a b c )
3 3abc )( a b c ) ( ab bc ) ( bc ca ) ( ca ab )
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
( ab bc ) ( bcca ) ( caab ) 128( ab bc ca )
15 3abc( a b c ) 8( ab bc ca )
Mặt khác ta lại có: 2 2 2
1 a b c Vậy ta có đpcm
11 VÍ DỤ 11 Vasile Cirtoaje:
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab bc ca3.
Chứng minh rằng: 3 3 3
a b c 7abc10 Lời giải:
Áp dụng BDT Schur, ta có:
a b c 3abcab( ab ) bc( b c ) ca( c a )
a b c 6abc ( ab bc ca )( a b c ) pq 3 p
và
p( 4q p ) p( 12 p ) r
Ta cần chứng minh:
2 p( 12 p )
9
2
( p 3 ) ( 16 p ) 3( 4 p ) 2
0 9
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi a b c 1.
Trang 11Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 11
IV SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC:
1 VÍ DỤ 12 Cho bốn số thực x y z t, , , thỏa mãn điều kiện
1 1
z t
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 2
P xz yt xz yt
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức: a b 2ab và hằng đẳng thức
2 2 2 2
2
ab ab a b , ta có:
2
x z y t x z y t
2.2.2 2 2
(vì x2 y2 z2 t2 2)
2
x y z t
2 2
2
P x y z t
2 VÍ DỤ 13 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
b c a
với a b c, , 0 và a b c 3
Lời giải:
Ta có:
Tương tự 2
b
c
c
a
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có:
2
3 3
a b c
Dấu “=” xảy ra a b c 1
Trang 12Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 12
3 VÍ DỤ 14 Cho a b c, , là các số thực dương có tích bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a b c b c a c a b H
Lời giải:
Ta có:
3
a b b c b c c a c a a b
a b c
c c a a a a b b b b c c
a b c abc
Do đó H 3 Dấu “=” xảy ra a b c 1
Vậy Min H 3 a b c 1
C KẾT LUẬN:
Qua nghiên cứu trên tôi thấy sử dụng bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Schur là phương pháp mạnh và hiệu quả cho việc chứng minh bất đẳng thức Phương pháp này là phương pháp quen thuộc với các em học sinh và gặp nhiều trong các bài toán bất đẳng thức nên giáo viên cần dạy kỹ cho các em nắm được các ứng dụng và cách vận dụng nó hiệu quả khi giải các bài toán bất đẳng thức Bài viết trong khoảng thời gian ngắn, tuy đã được xem xét kỹ nhưng cũng khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong ý kiến đóng góp của quý thầy cô cho bài viết thêm phong phú và hữu ích hơn
Trang 13Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 13
D TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1 Võ Quốc Bá Cần – Bất đẳng thức tuyển chọn; những bài bất đẳng thức từ các cuộc thi giải toán
2 Phạm Kim Hùng – Sáng tạo Bất đẳng thức
3 Trần Nam Dũng (chủ biên), Nguyễn Tất Thu, lời giải và bình luận đề thi VMO 2015
4 Internet