Tập bài giảng phương trình đạo hàm riêng

Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai của hàm hai biến về dạng chính tắc trên một miền.. Trong khuôn khổ của một học phần 3 tín chỉ, tập bài giảng Phương trìnhđạo hàm riêng n

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN VĂN BẰNG

TẬP BÀI GIẢNG

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

(Tài liệu dùng cho sinh viên ngành Sư phạm Toán)

HÀ NỘI - NĂM 2017

Mục lục

Lời nói đầu 5

Một số kí hiệu 8

Chương 1 Giới thiệu về phương trình đạo hàm riêng 9

1.1 Một số kí hiệu chung 9

1.1.1 Về không gian Euclide Rn 9

1.1.2 Không gian các hàm khả vi 10

1.1.3 Một số công thức tích phân cơ bản 11

1.2 Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng 12

1.3 Phân loại PTĐHR tuyến tính cấp hai 15

1.4 Dạng chính tắc của PTĐHR tuyến tính cấp hai 18

1.4.1 Dạng chính tắc tại từng điểm 18

1.4.2 Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai của hàm hai biến về dạng chính tắc trên một miền 20

1.5 Nghiệm tổng quát 27

1.6 Một số hiện tượng tự nhiên dẫn tới phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai 29

1.6.1 Phương trình truyền nhiệt trong thanh một chiều 29

1.6.2 Sự dao động của dây 33

1.6.3 Sự khuếch tán trong không gian ba chiều 36

1.7 Tính đặt chỉnh của bài toán 38

1.8 Bài tập Chương 1 41

Chương 2 Phương trình Laplace - Poisson 50

2.1 Hàm điều hòa - Biểu diễn Green 51

2.1.1 Khái niệm hàm điều hòa - Nghiệm cơ bản 51

2.1.2 Biểu diễn Green của hàm điều hòa 52

2.1.3 Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa 54

2.2 Bài toán biên đối với phương trình Laplace, Poisson 60

2.2.1 Các bài toán biên cơ bản 60

2.2.2 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm 61

2.2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với PT Laplace trong hình cầu 65

2.2.4 Các định lý về sự hội tụ 68

2.2.5 Sự tồn tại nghiệm của BT Dirichlet trong miền bị chặn-Phương pháp Perron 71

2.3 Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên đối với phương trình Laplace 2 chiều 77

2.3.1 Giải bài toán biên trong miền chữ nhật 77

2.3.2 Giải bài toán biên trong miền tròn 82

2.4 Bài tập chương 2 83

Chương 3 Phương trình truyền sóng 88

3.1 Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng 88

3.1.1 Tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy 89

3.1.2 Công thức nghiệm của bài toán Cauchy 91

3.2 Bài toán biên ban đầu đối với PT truyền sóng 99

3.2.1 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm 99

3.2.2 Sự tồn tại nghiệm 102

3.3 Bài tập Chương 3 108

Chương 4 Phương trình truyền nhiệt 115

4.1 Biểu diễn Green của hàm nhiệt 115

4.1.1 Công thức Green đối với toán tử truyền nhiệt 115

4.1.2 Nghiệm cơ bản của toán tử truyền nhiệt 117

4.1.3 Biểu diễn Green của hàm nhiệt 117

4.1.4 Các nguyên lý cực trị 119

4.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt 123

4.2.1 Tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy 124

4.2.2 Công thức nghiệm của bài toán Cauchy 124

4.3 Bài toán biên ban đầu đối với PT truyền nhiệt 127

4.3.1 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán biên ban đầu 128 4.3.2 Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên ban đầu 131

4.4 Bài tập Chương 4 133

Phụ lục 141

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu từ giữa thế kỷ XVIII trongcác công trình của Euler, D’ Alembert, Lagrange và Laplace với vai trò làcông cụ để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học Ngày nay, phương trìnhđạo hàm riêng đã trở thành một lý thuyết không thể thiếu để nghiên cứurất nhiều lĩnh vực như thủy động học, điện học, nhiệt học, quang học, lýthuyết đàn hồi, kinh tế học, sinh thái học, và nhiều lĩnh vực của toán họcnhư hình học đại số, hình học vi phân, giải tích siêu địa phương, giải tíchđiều hòa, tô pô, lý thuyết biểu diễn nhóm nhiều chiều, tính toán khoa học,

Hiện nay đã có khá nhiều tài liệu về Phương trình đạo hàm riêng bằngtiếng nước ngoài (xem [4] - [6] và các tài liệu trong đó) Tài liệu tiếng Việt vềchủ đề này cũng có một số tài liệu tốt (xem [1] - [3] và các tài liệu trong đó).Tuy nhiên để phù hợp hơn với chương trình đào tạo, thời lượng học tập, đốitượng sinh viên, chúng tôi thấy rằng cần phải biên soạn một tài liệu riêngcho sinh viên ngành Sư phạm Toán học

Trong khuôn khổ của một học phần 3 tín chỉ, tập bài giảng Phương trìnhđạo hàm riêng này đề cập tới một số nội dung chính về phương trình đạohàm riêng tuyến tính cấp 2 - một trong những lớp phương trình đạo hàmriêng cơ bản nhưng có vai trò vô cùng quan trọng trong các ứng dụng cũngnhư trong sự phát triển của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Nội dungtập bài giảng được trình bày trong 4 chương:

Với mục đích giúp người học có cái nhìn khái quát về lý thuyết phươngtrình đạo hàm riêng, Chương 1 được dành để giới thiệu các kí hiệu, các khái

niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, các cách phân loại, khái niệmnghiệm, một số hiện tượng tự nhiên dẫn tới phương trình đạo hàm riêngtuyến tính cấp 2, một số bài toán cơ bản đối với phương trình đạo hàm riêng

và khái niệm đặt chỉnh của bài toán

Chương 2 tập trung nghiên cứu một đại diện của lớp phương trình ellipticcấp 2 - phương trình Laplace - Poisson và bài toán biên đối với phương trìnhLaplace - Poisson Qua các bài toán biên, người học làm quen với hai phươngpháp biểu diễn nghiệm bao gồm: phương pháp Green và phương pháp táchbiến Chương này cũng giới thiệu phương pháp Perron để chứng minh sự tồntại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace, nội dungnày dành cho những ai muốn tiếp tục nghiên cứu sâu về phương trình đạohàm riêng

Chương 3 dành để trình bày các kết quả về phương trình truyền sóng đại diện của lớp phương trình hyperbolic cấp 2 Phương pháp nghiên cứutrong chương này gồm: phương pháp năng lượng để chứng minh tính duynhất nghiệm, phương pháp đặc trưng và phương pháp tách biến để biểu diễnnghiệm

-Chương cuối đề cập tới đại diện của lớp phương trình parabolic - phươngtrình truyền nhiệt Các phương pháp sử dụng trong chương này gồm: phươngpháp năng lượng để chứng minh tính duy nhất, phương pháp Green vàphương pháp tách biến để biểu diễn nghiệm

Đây là tập bài giảng được sử dụng cho sinh viên ngành Sư phạm Toánhọc Nội dung của học phần mang tính nhập môn về phương trình đạo hàmriêng tuyến tính cấp 2 với khái niệm nghiệm được hiểu theo nghĩa cổ điển

phạm Vật lý, học viên cao học các chuyên ngành Toán học, Vật lí và những

ai quan tâm tới lý thuyết phương trình đạo hàm riêng

Tác giả xin được cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán

trường ĐHSP Hà Nội 2 và các thành viên Tổ Giải tích đã tạo điều kiện,động viên và đóng góp những ý kiến bổ ích để tập bài giảng được hoànthiện, đặc biệt là ThS Trần Văn Tuấn, CN Nguyễn Phương Đông đã đọc

và chỉnh sửa nhiều lỗi soạn thảo cũng như một số vấn đề về cách trình bàycủa bài giảng

Tác giả

Một số kí hiệu

o

1.1 Một số kí hiệu chung

Để ý rằng, trong Rn, nếu ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn thì ta có

1.1.2 Không gian các hàm khả vi

và gradient của u bởi

Để tiện cho việc kí hiệu các đạo hàm riêng cấp cao hơn, ta đưa vào khái

Nếu biên ∂Ω trơn thì ta gọi ν là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị trên biêncủa Ω và đạo hàm theo véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị của hàm khả vi uxác định bởi:

∂u

Tiếp theo là kí hiệu một số không giạn thường dùng:

cấp k thuộc C(Ω);

Nếu A ⊂ Rn là tập không nhất thiết mở, với phần trong

o

A thì C(A) =

o

A) có thác triển liên tục lên A;

đến cấp k thuộc C(A)

Ta thường sử dụng A = Ω,

o

A = Ω

1.1.3 Một số công thức tích phân cơ bản

Nói chung, để giải các phương trình đạo hàm riêng, chúng ta sẽ phải tíchphân các phương trình đó Ta kí hiệu tích phân bội của hàm u trên Ω (nếutồn tại) bởi:

n − 1 véc tơ độc lập tuyến tính tiếp xúc với ∂Ω là

mặt (loại một) trên ∂Ω của một hàm f (nếu tồn tại) được xác định thôngqua tích phân bội n − 1 :

| ~N |,

với dấu ± chọn thích hợp tùy theo miền Ω.

một số công thức tích phân quan trọng sau đây:

a) Công thức Ostrogradski (còn gọi là định lý Divergence):

Bài tập về nhà: từ Bài tập 1.1 đến Bài tập 1.6

1.2 Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm

Nói chung ta có thể viết một phương trình đạo hàm riêng dưới dạng

F (x1, x2, , xn, u, ux1, , uxn, ux1x1, ) = 0, x ∈ Ω ⊂ Rn, (1.8)

trong đó x = (x1, , xn) là các biến độc lập, u là ẩn hàm của các biến đó.

Một nghiệm của (1.8) trên Ω là một hàm u xác định, khả vi đến cấp cầnthiết trên Ω và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm thuộc Ω

Nói chung một phương trình đạo hàm riêng thường có vô hạn nghiệm Ví

Phương trình đạo hàm riêng thường được phân loại theo các tiêu chí sau:

a) Theo cấp của phương trình (nói chung phương trình có cấp càng caocàng phức tạp)

b) Theo mức độ phi tuyến, tuyến tính (phương trình tuyến tính nói chungđơn giản hơn phương trình phi tuyến, mức độ phi tuyến càng cao thì càngphức tạp)

c) Theo sự phụ thuộc vào thời gian (phương trình biến đổi theo thời gianthì được gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi là phương trìnhdừng) Trong tình huống này người ta thường kí hiệu biến thời gian là t, cácbiến còn lại là biến không gian

Cụ thể hơn ta có các khái niệm sau đây:

Định nghĩa 1.2 Cấp của một phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhấtcủa đạo hàm riêng có mặt trong phương trình

trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng của uvới các hệ số là các hàm của biến độc lập x, tức là

Chẳng hạn phương trình (1.6) là phương trình phi tuyến

Nói chung các phương trình đạo hàm riêng phức tạp hơn các phương trình

vi phân thường vì với phương trình vi phân thường, để tìm một nghiệm riêng

từ nghiệm tổng quát ta chỉ phải tìm các giá trị của các hằng số tùy ý, trongkhi đó với phương trình đạo hàm riêng, việc chọn nghiệm riêng thỏa mãncác điều kiện bổ sung có khi còn khó hơn cả việc tìm nghiệm tổng quát donghiệm tổng quát của các phương trình đạo hàm riêng phụ thuộc vào cáchàm tùy ý (xem ví dụ sau đây) và nó có thể có vô hạn các nghiệm độc lậptuyến tính

Ví dụ 1.1 Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

Tích phân theo ξ (giữ η cố định) ta nhận được

Bài tập về nhà: từ Bài tập 1.7 đến Bài tập 1.11

1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

cấp hai

Trong học phần này, chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu về phương trình đạo hàmriêng tuyến tính cấp hai Loại phương trình này xuất hiện trong nhiều môhình thực tế (xem Mục 1.5 sau đây) Chúng ta sẽ nghiên cứu ba lớp đặc biệtcủa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai là: phương trình elliptic,hyperbolic và parabolic thông qua các đại diện của chúng là phương trìnhLaplace, phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt

Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai tổng quát sau đối vớihàm u(x) = u(x1, x2, , xn):

các đạo hàm riêng cấp hai và được định nghĩa tại từng điểm như sau Gọi

A(x) = [aij(x)]

là ma trận vuông cấp n các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai Tại mỗi

x ∈ Ω cố định, A(x) là một ma trận thực, đối xứng nên A(x) có đúng n giátrị riêng thực Ta nói:

+) phương trình (1.11) thuộc loại elliptic tại x nếu A(x) có n giá trị riêngcùng dấu;

+) phương trình (1.11) thuộc loại hyperbolic tại x nếu A(x) có 1 giá trịriêng trái dấu với n − 1 giá trị riêng còn lại;

+) phương trình (1.11) thuộc loại parabolic tại x nếu A(x) có 1 giá trịriêng bằng 0 còn n − 1 giá trị riêng còn lại cùng dấu;

+) phương trình (1.11) thuộc loại elliptic (hyperbolic, parabolic) trênmiền Ω nếu nó thuộc loại đó tại mọi điểm x ∈ Ω

b) Phương trình truyền nhiệt

Đặc biệt, trong trường hợp hai biến độc lập, phương trình (1.11) có dạng

đã cho, a, b, c không đồng thời bằng không Khi đó tại mỗi (x, y) ma trậncác hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai là

Bài tập về nhà: từ Bài tập 1.12 đến Bài tập 1.14

1.4 Dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng

Trước hết chúng ta xét tác động của phép đổi biến đối với (1.14) Giả

Jacobian

D(ξ1, ξ2, , ξn)D(x1, x2, , xn) 6= 0

J (x) = [bkl(x)], với bkl = ∂ξl

∂xkthì (1.16) có thể viết dưới dạng

˜

có cùng chỉ số quán tính Vậy nếu (1.14) thuộc loại elliptic (tương ứng:

Nói chung trong trường hợp n > 2 chúng ta không tìm được phép đổibiến để đưa (1.14) về dạng chính tắc trong một miền nên ma trận các hệ số

biệt trong trường hợp aij không phụ thuộc x thì ma trận các hệ số của cácđạo hàm cấp hai có dạng đường chéo như trên tại mọi điểm nên (bằng cáchđổi lại thứ tự biến nếu cần) ta có:

+Nếu (1.14) thuộc loại elliptic thì dạng chính tắc của nó là:

1.4.2 Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai của hàm

hai biến về dạng chính tắc trên một miền

Riêng trong trường hợp hai biến, chúng ta có thể đưa được phương trìnhđạo hàm riêng tuyến tính cấp hai về dạng chính tắc trong miền mà dạng củaphương trình đó không đổi Thật vậy, xét phương trình:

Để biến đổi phương trình đạo hàm riêng về dạng chính tắc, trước hếtchúng ta chỉ ra ảnh hưởng của một phép đổi biến đối với phương trình đạohàm riêng (1.17) Giả sử ξ, η là hai hàm khả vi liên tục đến cấp hai của x, y :

ξ = ξ(x, y),

η = η(x, y)

Giả thiết Jacobian của phép đổi biến

J =

ξx ηx

ξy ηy

... được

Bài tập nhà: từ Bài tập 1.18 đến Bài tập 1.20

1.6 Một số tượng tự nhiên dẫn tới phương trình< /h3>

đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

1.6.1 Phương trình truyền... nhận phương trình kết

c) Trường hợp phương trình thuộc loại elliptic miền

Đối với phương trình elliptic ∆ < nên phương trình đặc trưng (1.21)khơng có nghiệm thực Giả sử phương trình. .. khơng gian ba chiều

Bài tốn khuếch tán dẫn tới phương trình đạo hàm riêng tương tựnhư phương trình dẫn nhiệt Để phân biệt đại lượng vô hướng đại lượngvéc tơ, riêng mục dùng kí hiệu có mũi