MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG BIÊN TRỊ

MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG BIÊN TRỊ MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG BIÊN TRỊ MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN PHƯƠNG TRÌNH đạo hàm RIÊNG BIÊN TRỊ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN TOÁN -oOo -

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

LỜI CẢM ƠN

********

Trước tiên cho tôi được gởi lời cảm ơn tới Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Cần Thơ, Ban Chủ Nhiệm Khoa Sư Phạm đã tạo điều kiện để tôi được làm luận văn tốt nghiệp, đã quan tâm và đôn đốc tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Xin cảm ơn sâu sắc nhất tới các thầy cô trong Tổ Bộ Môn Toán, đặc biệt là cô Dương Thị Xuân An đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong thời gian làm luận văn

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 4 U

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Mục đích nghiên cứu 4

3 Đối tượng nghiên cứu 4

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

5 Phương pháp nghiên cứu 5

6 Cấu trúc luận văn 5

PHẦN NỘI DUNG 6

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

1.1 Chuỗi Fourier 6

1.2 Phép biến đổi Fourier 12

1.3 Phép biến đổi Laplace 16

1.4 Bài toán Sturm – Liouville Hàm đặc biệt 18

CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BIÊN TRỊ 30

2.1 Phương pháp tách biến (Phương pháp Fourier) 30

2.2 Phương pháp dùng phép biến đổi Fourier 42

2.3 Phương pháp dùng phép biến đổi Laplace 43

2.4 Phương pháp dùng công thức tích phân Poisson 46

2.5 Phương pháp D’Alembert 52

CHƯƠNG III: BÀI TẬP 57

3.1 Dùng phương pháp tách biến để giải các bài toán 57

3.2 Dùng phương pháp phép biến đổi Fourier để giải các bài toán 74

3.3 Dùng phép biến đổi Laplace để giải các bài toán 80

3.4 Dùng công thức tích phân Poisson để giải các bài toán 86

3.5 Dùng phương pháp D’Alembert để giải các bài toán 91

PHẦN KẾT LUẬN 98

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng là một chuyên ngành quan trọng và rất phát triển trong toán học Lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng được phát triển đầu tiên bởi nhiều nhà toán học có tên tuổi như: Leonard Euler và Joseph-Louis Lagrange, những người đã nghiên cứu về phương trình sóng trên sợi dây; Daniel Bernoulli và Euler, những người đã xem xét về lý thuyết thế vị Sau đó, nó được phát triển bởi Adrien-Marie Legendre và Pierre-Simon Laplace cũng như nhà toán học nổi tiếng Joseph Fourier từ việc khai triển thành chuỗi cho nghiệm của phương trình truyền nhiệt

Phương trình đạo hàm riêng cũng là một môn học khá thú vị đối với tôi Trong quá trình học, tôi đặc biệt chú ý tới các bài toán biên trị Nhưng nhìn chung, các sách lý thuyết thường ít đề cập đến các phương pháp giải các loại bài toán này hoặc chỉ đề cập trong một khía cạnh nào đó Chính vì thế, tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải bài toán phương trình đạo hàm riêng biên trị” nhằm tập trung chủ yếu vào một số phương pháp giải bài toán biên giúp người đọc dễ dàng tham khảo hơn

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các phương pháp giải bài toán biên trị được đưa ra trong

đề tài

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

ƒ Nghiên cứu cơ sở lý thuyết có liên quan

ƒ Sắp xếp hệ thống lý thuyết theo trình tự

ƒ Lựa chọn đưa ra một số ví dụ ứng với từng phương pháp giải cụ thể

ƒ Giải bài tập và sắp xếp theo hệ thống

5 Phương pháp nghiên cứu

ƒ Đọc sách và tham khảo tài liệu

ƒ Phương pháp toán học

ƒ Phương pháp phân tích

ƒ Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên

6 Cấu trúc luận văn

PHẦN MỞ ĐẦU

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Chuỗi Fourier

1.2 Phép biến đổi Fourier

1.3 Phép biến đổi Laplace

1.4 Bài toán Sturm-Liouville Hàm đặc biệt

CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BIÊN TRỊ

2.1 Phương pháp tách biến

2.2 Phương pháp dùng phép biến đổi Fourier

2.3 Phương pháp dùng phép biến đổi Laplace

2.4 Phương pháp dùng công thức tích phân Poisson

2.5 Phương pháp D’Alembert

CHƯƠNG III: BÀI TẬP

PHẦN KẾT LUẬN

và khả vi mọi cấp Nếu chuỗi (1.1) hội tụ thì tổng của nó là hàm tuần hoàn với chu

kỳ 2π Vấn đề đặt ra là ta có thể khai triển hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ

2π thành chuỗi lượng giác (1.1) hay không? Và giả sử hàm số f(x), tuần hoàn với

chu kỳ 2π , khai triển được thành chuỗi lượng giác (1.1)

0 1

thì các hệ số được xác định như thế nào? Các hệ số này có tính

được theo f(x) hay không?

0, , ,n n 1,2,

a a b n=Trước hết, bằng cách tính trực tiếp, chúng ta thấy rằng

−

=

∫

0,sin sin

Từ đó, nếu chuỗi lượng giác (1.1) hội tụ đều đến hàm số f(x) trên đoạn

[−π π, ] thì các hệ số được tính bởi công thức sau

0

1( ) ,1

( )cos ,1

π π π

π

−

=

∫Suy ra a n 1 f x( )cosnx

π π

n

π π

π −

Trên đây, ta đã giả sử hàm f(x) khai triển được thành chuỗi Fourier và luôn

lấy tích phân được chuỗi ở vế phải theo từng số hạng Tuy vậy, chúng ta cũng nhận

thấy rằng chỉ cần f(x) khả tích trên đoạn [−π π, ] thì có thể tính được các hệ số ở

(1.3) Vì vậy, ta cũng có chuỗi Fourier tương ứng của hàm f(x)

Định nghĩa 1.2 Cho f(x) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π Chuỗi lượng giác (1.1) với các hệ số a a b n0, , ,n n =1,2, được tính bởi công thức (1.3) được gọi là

chuỗi Fourier tương ứng của hàm f(x) trên đoạn [−π π, ] Các hệ số

được gọi là hệ số Fourier của hàm f(x)

1.1.2 Điều kiện đủ để chuỗi Fourier của hàm số f(x) hội tụ

Như đã biết, mọi hàm f(x) khả tích trên đoạn [−π π, ]đều có chuỗi Fourier tương ứng Tuy nhiên, chuỗi Fourier thu được trong trường hợp này có thể không

hội tụ và nếu chuỗi hội tụ thì chưa chắc tổng của chuỗi là f(x) Ta có kết quả cơ bản

sau đây (không chứng minh)1:

Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Dirichlet) Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn [−π π, ] thì chuỗi Fourier của nó hội tụ từng điểm trên đoạn này và tổng của chuỗi bằng f(x) nếu f(x) liên tục tại

2( 1)n sin

n

nx n

2 0

ππ

Bởi vì hàm số f(x) liên tục trên đoạn [−π π, ] nên chuỗi Fourier của nó sẽ hội

tụ về x tại mọi điểm, tức là chúng ta có

1 1

2( 1)n sin

1.1.3 Khai triển Fourier trên đoạn [ ]0,π

Để tìm khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [ ]0,π , ta có thể thác triển

f(x) thành hàm F(x) trên đoạn [−π π, ] sao cho trên đoạn [ ]0,π thì ( )f x ≡F x( ) Sau

đó, ta tìm khai triển Fourier của hàm số F(x) trên đoạn [−π π, ] Khi đó, khai triển

Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [ ]0,π chính là khai triển Fourier của hàm F(x)

trên đoạn [ ]0,π Thông thường, chúng ta thác triển theo hai cách:

(i) Thác triển f(x) thành hàm số chẵn F(x)

[ ]

( ), 0,( )

1.1.4 Khai triển Fourier hàm có chu kỳ 2l

Cho hàm số f(x) có chu kỳ 2l , l > 0 Giả sử chúng ta cần tìm chuỗi Fourier tương

ứng của F(x) trên đoạn [−l l, ] Ta sẽ dùng phép biến đổi t x

1 ( )cos 1 ( ) os

l n

với các hệ số được tính bởi (1.4)

1.1.5 Chuỗi Fourier sin và cosin

Định nghĩa 1.3 Cho f là hàm số liên tục từng đoạn xác định trên (0, ) L

Chuỗi Fourier cosin của f trên (0, ) L là

0 1

a = f x c ⎛ π ⎞dx

ỗi Fourier sin của f trên (0, ) L

L n

2( ) 2

1.2 Phép biến đổi Fourier

Một hàm f(x) liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2π có thể được biểu diễn bởi chuỗi

1( )sin , 0,1, 2,

Chúng ta có thể nhìn các phương trình (1.5), (1.6) dưới các quan điểm như sau:

Với mỗi f(x) chúng ta cho tương ứng một tập các số thực { , n=0,1,2…bởi ánh

F được gọi là phép biến đổi Fourier hữu hạn của hàm f(x)

Từ (1.5) ta lại thấy rằng {a b n, n}⎯⎯→F−1 f x( ), F -1 gọi là phép biến đổi Fourier đảo

hữu hạn

Cặp công thức (1.5), (1.6) được gọi là công thức Fourier thuận nghịch

Nếu biết f(x) thì từ (1.6) ta được và ta gọi là biến đổi Fourier hữu hạn của

f(x) Ngược lại, nếu có { thì từ (1.5) ta được f(x) và gọi là biến đổi Fourier đảo

1

21

n

π π

π −

Vế bên trái là phép biến đổi Fourier hữu hạn của f x'( ), vế bên phải là phép

biến đổi Fourier hữu hạn của f(x) nhân với hệ số -in Áp dụng công thức (1.7), ta

Như vậy đạo hàm theo x của f(x) có được bằng cách nhân hệ số Fourier của

f(x) với –in Tương tự nếu f '( )π = f '(−π) thì

Đặt x’=(π /L)x thì trong khoảng (−L L, ) chúng ta có thể biểu diễn f(x) dưới

dạng chuỗi Fourier như sau:

L L

(1.10) và (1.11) là cặp biến đổi Fourier thuận nghịch trên (−L L, )

Nếu f(x) được xác định trên (−∞ +∞ thì ta sẽ tìm cách biến đổi cặp công , )

thức thuận nghịch (1.10), (1.11) bằng cách cho ta sẽ được một cặp Fourier

thuận nghịch ở trên khoảng vô hạn

là biến đổi Fourier của f

Thay vì có hàm ( )L xác định với mỗi trị giá của số nguyên n bây giờ ta có

Tính chất này tương tự như phép biến đổi Fourier hữu hạn đã nói ở trên, đưa phương trình đạo hàm riêng về phương trình vi phân thường Điều khác biệt ở đây là phép biến đổi Fourier dùng ở miền −∞ < < ∞ x

D Công thức biến đổi Fourier đảo

1.3 Phép biến đổi Laplace

Cho hàm f(t) được xác định trên khoảng [0,∞ Biến đổi Laplace (còn gọi là )

ảnh Laplace) của f(t) là hàm F(p) được xác định bởi tích phân:

với điều kiện tích phân này hội tụ, p là một số phức Phép biến đổi từ f(t) sang F(p)

theo (1.13) được gọi là phép biến đổi Laplace

Điều kiện để tích phân (1.13) hội tụ là tồn tại các hằng số M và α sao cho

0, 0( )

● Ảnh laplace của tích chập hai hàm

Tích chập của hai hàm liên tục ( ), ( )ϕ t f t với 0 t≤ < ∞ là hàm

1.3.2 Biến đổi Laplace ngược

Phép biến đổi từ hàm F(p) sang hàm f(t)

Định lý 1.3

Nếu f(t) là một hàm gốc có chỉ số tăng là và F(p) là hàm ảnh của f(t) thì tại mọi

điểm liên tục của hàm f(t), ta có

1.4 Bài toán Sturm – Liouville Hàm đặc biệt

1.4.1 Bài toán Sturm – Liouville

Bài toán Sturm – Liouville là bài toán biên tuyến tính cấp hai thuần nhất chứa

r(x) > 0 với mọi điểm trong 0≤ ≤ ; x 1 a b a b1, , ,1 2 2 là các hằng số, λ là tham số

Người ta bảo bài toán biên thuần nhất (1.14), (1.15), (1.16) là bài toán Sturm

– Liouville kỳ dị nếu các hàm p p q, ', và r chỉ liên tục trong khoảng hở 0< < và x 1

không thỏa các điều kiện trên ở một hoặc hai điểm biên

Ta có định lý sau (không chứng minh)2:

Nếu φ1 và φ2 là các hàm riêng của bài toán Sturm – Liouville (1.14), (1.15),

(1.16) ứng với các trị riêng λ1 và λ2 Nếu λ λ1 ≠ thì 2 φ1 và φ2 trực giao đối với hàm

trọng lượng r ở trên 0 < < nghĩa là x 1

1

1 2 0

2 Người đọc có thể tham khảo chứng minh trong tài liệu tham khảo [4]

2 2

2 1

2 2 0

2 2

a m a

a a

= (hằng số tuỳ ý) lúc đó ta được một nghiệm của

(1.19) giải tích tại t = 0 gọi là J t m( )

2 0

( 1) ( / 2)( )

!( )!

m k

(1.21) được gọi là hàm Bessel loại 1 cấp m

Hàm Bessel thông dụng nhất là hàm Bessel bậc 0 và bậc 1

Ta nhận thấy J t0 '( )= − t J1( )

Phép thử tỷ số cho thấy chuỗi nguyên (1.21) hội tụ, khi t→ ∞, thì J t m( ) có

dáng điệu như t

1.4.2.1 Đạo hàm và công thức truy hồi

Nhân chuỗi (1.21) với t−m , đạo hàm từng số hạng theo t rồi thu gọn thì được

1.4.2.2 Zero của hàm Bessel J t m( )

Trở lại phép đổi biến t= λx

Nghiệm giải tích tại x = 0 của phương trình

Suy ra

Giải phương trình (1.25) ta được các trị riêng của bài toán (1.17), (1.18)

Người ta chứng minh được rằng, với m thực thì phương trình có vô

số nghiệm dương kí hiệu là

k

Các ( )m

k

j được gọi là zero của hàm Bessel J t m( )

1.4.2.3 Họ trực giao đầy đủ Bessel

Các trị riêng của bài toán Sturm – Liouville (1.17), (1.18) gọi là ( )m

k

λ được cho bởi các zero của hàm Bessel J t m( )

2 ( )m ( )m

λ = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤Suy ra

( )m ( )m

j = λCác hàm riêng tương ứng là ( ( )m )

dx d

1( m ) ( m ) [ '(1) (1) (1) '(1)]

( ) 2

( ) 0

J λ x đầy đủ ở trên 0≤ ≤ Điều này có nghĩa là: Giả sử có hàm f x 1

bất kì trên [0,1] khá tốt, thì người ta có thể khai triển f thành chuỗi Fourier theo các

hàm riêng ( ( )m

J λ x Thật vậy, giả sử ta có thể khai triển

( ) 0

( ) 0

( ) 0

2 ( ) 1

J

λλ

+

= ∫

(1.28)

(1.27) và (1.28) là chuỗi Fourier – Bessel

Người ta chứng minh được rằng chuỗi Fourier – Bessel (1.27) và (1.28) hội tụ

trung bình về hàm f ở trên khoảng (0,1) Điều này có nghĩa là

y ∞ a

=

=∑Thay (1.30) vào (1.29) ta được

các hệ số của x thoả công thức truy hồi (1.32) Trong đó a 0 , a 1

ới n là số nguyên thì từ (1.32) ta thấy khi k = n thì a n+2 = 0 và do đó

0,1,2,

=

Chuỗi (1.31) là một nghiệm của phương trình Legendre (1.29) trên khoảng

hội tụ của nó, miễn là

Hàm P n (x) là một đa thức bậc n chỉ chứa các lũy thừa chẵn của x nếu n chẵn

hay lẻ quanh x = 0 tuỳ theo n chẵn hay lẻ Nghĩa là ta có

( 1) (2 2 )!

( )

2 !( )!( 2 )!

k m

Lưu ý rằng đa thức Legendre P n (x) cho bởi (1.35) chỉ là một trường hợp đặc

biệt của hàm Legendre

1.4.3.1 Hàm sinh của P n (x)

1 2xz z− + − , 1− ≤ ≤ x 1Với x∈ −[ 1,1] thì hàm này và các đạo hàm mọi cấp của nó tồn tại khi z < 1

Hàm này trở thành (∞ ) khi

1 2− xz z+ = ⇔ = ±0 z x x − =1 cosθ +isinθTrong đó viết osc θ thay cho x

Điều này cho thấy z = Với 1 z < khai triển hàm này thành chuỗi Mac 1

( )

n n

n n

z x z z

x z z

x z

)2(

!.2

)12 (

5.3.1

)2(

!2

3.2

1)2(2

11)

2(

2 2

/ 1

−

−+

+

−+

−+

1.3 (2 5) ( 2)( 3)

(2 )

n n

x n

Hàm này gọi là hàm sinh của P n (x)

Lấy đạo hàm của (1.37) theo z rồi nhân phương trình kết quả với

Đây là công thức truy hồi của P n (x)

Tích phân đa thức Legendre cho bởi (1.34) n lần từ 0→ x

các điều kiện biên tại x= ± thì được thay bởi (1.41) Chúng ta thấy rằng đa thức 1

Legendre cho bởi (1.36) thì thoả bài toán này, tức là thoả (1.40) và các điều kiện liên

tục (1.41)

Theo tính chất các hàm riêng của bài toán Sturm – Liouville chúng ta có

(i) Các hàm P n (x) hợp thành họ trực giao trên [-1,1] với hàm trọng lượng r(x) = 1

1 1

(ii) Họ {P n (x)}; n = 0,1,2,…đầy đủ trên 1− < < đối với hàm trọng lượng ( ) 1x 1 r x =

theo nghĩa hội tụ trung bình bình phương Giả sử có hàm f định nghĩa trên 1− ≤ ≤ x 1

khá tốt Có thể khai triển theo {P n (x)}

2 1

( ) ( )( )

n n

n

f x P x dx C

2 0

( )

1 2

n n n

1 1

2 1

( ) ( )2

CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BIÊN TRỊ

Trong luận văn này, những kiến thức cơ bản về các khái niệm của phương

trình đạo hàm riêng được xem như đã biết, người đọc có thể tham khảo trong tài liệu

tham khảo [1] Sau đây tôi sẽ trình bày về bài toán phương trình đạo hàm riêng biên

trị và một số phương pháp giải

2.1 Phương pháp tách biến (Phương pháp Fourier)

Phương pháp phân li biến số còn được gọi là phương pháp Fourier Phương

pháp này chỉ áp dụng được cho một lớp các bài toán với các điều kiện biên thích

hợp Tuy nhiên, lớp các bài toán này chứa một số khá lớn các bài toán thường dùng

trong vật lý

Trong phương pháp này, người ta giả sử nghiệm của bài toán là tích của các

hàm theo các biến độc lập của phương trình đạo hàm riêng

Hệ quả của việc đặt một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là tích của

các hàm theo chỉ một biến độc lập là người ta rút phương trình đạo hàm riêng về

một hệ thống các phương trình vi phân thường tương đương Như thế, thay vì phải

giải bài toán biên với phương trình đạo hàm riêng, người ta chỉ phải giải một số bài

toán biên với phương trình vi phân thường

aX ''Y bX Y+ ' '+cXY'' AX '+ Y BXY+ '+CXY =0Chia hai vế phương trình cho XY, ta được

Chúng ta thấy rằng hàm X chỉ phụ thuộc vào biến x, hàm Y chỉ phụ thuộc vào

biến y nên nếu chọn tham số λ thích hợp, ta sẽ được phương trình vi phân cấp hai

Giải phương trình này, chúng ta sẽ suy ra nghiệm của phương trình (2.1)

Chú ý thêm rằng, số λ nói trên là hằng số tuỳ ý nên theo nguyên lý chồng

chất nghiệm, về mặt hình thức, nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là chuỗi

hàm lượng giác mà các số hạng chính là nghiệm của phương trình vi phân ở trên

Vì các hàm ở vế trái chỉ tuỳ thuộc vào x và các hàm ở vế phải chỉ tuỳ thuộc

vào t, nên cả hai phải bằng hằng số − , do đó λ

X(0) = X(l) = 0 Bài toán trị riêng hàm riêng là:

Áp dụng điều kiện biên tại x = 0, x = l ta được A = B = 0 Như vậy X(x) = 0,

điều này dẫn tới u = 0, trái với (2.5), do đó giả thuyết λ = bị loại 0

Tới đây chúng ta tiên đoán được trường hợp λ > là dùng được 0

πλ

2 2 2 2

là các nghiệm của phương trình sóng (2.2) thoả các điều kiện biên thuần nhất (2.3)

Để thoả điều kiện (2.4) ta lập chuỗi

Chuỗi (2.13) với các hệ số (2.14) gọi là chuỗi Fourier sin của f(x) Chuỗi

(2.12) với các hệ số (2.14) được gọi là nghiệm hình thức của bài toán (2.2), (2.3),

(2.4)

2.1.2 Phương trình truyền nhiệt

Là bài toán biên trị có dạng:

2

(0, ) ( , ) 0, 0( ,0) ( ), 0

Vì các hàm ở vế trái chỉ tuỳ thuộc vào x và các hàm ở vế phải chỉ tuỳ thuộc t,

nên cả hai phải bằng một hằng số λ; đó là:

2

sin −λπ = ⇒ = −0 λ n n, =1,2, (2.23)

Các trị riêng của bài toán (2.22) được cho bởi (2.23) là một tập vô hạn các số

nguyên âm { }−n2 ,n=1,2, Các hàm riêng tương ứng với các trị riêng này là

( ) sin , 1, 2,

X x = nx n=Với λ cho bởi (2.23), phương trình thứ hai trong (2.20) bây giờ là

Chuỗi (2.26) với hệ số (2.27) được gọi là chuỗi Fourier của f(x) Hàm u cho

bởi (2.25) với hệ số (2.27) gọi là nghiệm hình thức của bài toán (2.15), (2.16),

(2.17)

2.1.3 Phương trình Laplace – Bài toán Dirichlet trong hình vuông

Cho bài toán:

(1, ) (0, ) 0, ( ,1) 0( ,0) ( )

Vế trái của phương trình (2.32) chỉ tuỳ thuộc vào biến độc lập x và vế phải

chỉ tuỳ thuộc vào biến độc lập y Người ta bảo phương trình Laplace (2.28) được

phân ly

Lấy đạo hàm theo x của phương trình (2.32):

''( )

0( )

X x

X x = − (hằng số thực) λ

Và theo (2.32)

''( )( )

Y y

Y y = λ

Như vậy, u = XY là một nghiệm của phương trình Laplace (2.28) nếu và chỉ

nếu X và Y thoả các phương trình vi phân thường

''( ) ( ) 0''( ) ( ) 0

λλ

⎧

Mỗi phương trình vi phân của (2.33) được gọi là phương trình phân ly và

hằng số thực λ gọi là hằng số phân ly

Với λ thực bất kỳ, mỗi phương trình vi phân cấp hai của (2.33) có hai

nghiệm độc lập tuyến tính Tích của chúng hợp thành bốn họ nghiệm chứa một tham

Để xác định hằng số λ ta xét bài toán với điều kiện biên thuần nhất Điều

kiện (2.29) buộc rằng tại x = 0 và x = 1 thì u = 0 Bởi (2.31) thì ta suy ra được rằng

X(0) = X(1) = 0 Vậy bài toán để xác định λ là:

''( ) ( ) 0(0) (1) 0

{ }n2π2 ,n=1, 2, để cho bài toán (2.34) có nghiệm không tầm thường ( ( ) 0X x ≠ )

Các trị giá λcho bởi (2.35) được gọi là các giá trị riêng của bài toán (2.34) và các

nghiệm riêng của (2.34) tương ứng với các λnày là

( ) sin

được gọi là các hàm riêng của bài toán (2.34)

Với λcho bởi (2.35) và điều kiện cuối cùng trong (2.29) chúng ta xét bài toán

2 2

''( ) ( ) 0(1) 0

(sinh cosh ) cosh sinh

sinh

n

A C

nπ

=Phối hợp (2.36) và (2.40) theo (2.31) ta được:

( , ) sin sinh (1 )

Các hàm , n = 1,2,…cho bởi (2.41) hợp thành một dãy hàm u n {u n} Các hàm

này thoả phương trình (2.28) và điều kiện thuần nhất (2.29) Để thoả điều kiện biên

không thuần nhất (2.30) ta lập chuỗi

2

( )sinsinh

Hàm u(x,y) cho bởi chuỗi (2.42) [hội tụ hoặc không] với các hệ số cho bởi

(2.47) được gọi là nghiệm hình thức của bài toán (2.28), (2.29), (2.30) Nếu chuỗi

(2.42) hội tụ đều về hàm u và nếu u này thoả tất cả điều kiện của bài toán thì u được

gọi là một nghiệm (cổ điển) của bài toán

2.1.4 Ứng dụng của Hàm Bessel và đa thức Legendre trong việc giải bài toán

biên trị

Ví dụ 2.1.4.1

Cho bài toán:

2 2

1

(1, ) 0, 0( ,0) ( ), 0 1

Ta muốn tìm nghiệm dạng

( , ) ( ) ( ) 0

u r t =R r T t ≠Khi đó, phương trình (2.48) trở thành

Nghiệm riêng của phương trình Bessel này là

0

R r =J λr

Dùng điều kiện biên R(1) 0= suy ra J0( λ) 0 =

Phương trình này cho các trị riêng λ:

2 (0) (0)

(0) 0 0

n

n

rf r J r dr A

λλ

2 (0) 1

n

n

rf r J r dr A

J

λλ

( , ) ( ) ( ) 0

Thay vào phương trình (2.55) thì được

2 2