Phương pháp biến phân giải phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào thếkỉ XVIII trong các công trình của những nhà toán học như Euler,Dalambert, Lagrange và Laplace như là một công cụ quan trọng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng

Hà Nội - 2012

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới các thầy cô giáo,đặc biệt là TS Trần Văn Bằng, những người đã tận tình hướng dẫn đầyhiệu quả, thường xuyên dành cho tôi sự chỉ bảo, giúp đỡ và động viêngiúp tôi hoàn thành luận văn đúng thời hạn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Sau Đại học trườngĐại học sư phạm Hà Nội 2, cũng như toàn thể các thầy cô giáo trongtrường đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập và nghiêncứu

Tôi trân trọng cảm ơn Sở giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc, TrườngTHCS và THPT Hai Bà Trưng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thờigian tôi theo học lớp sau đại học

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh em, bạn bè vàngười thân trong gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện để luận vănnày có thể được hoàn thành

Hà Nội, tháng 06 năm 2012

Tác giả

Trần Quang Tuyến

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những nghiên cứu, thànhtựu của các nhà khoa học, đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Tác giả

Trần Quang Tuyến

Lời cảm ơn 3

Lời cam đoan 4

Bảng kí hiệu 7

Mở đầu 8

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Không gian Sobolev W1,p(Ω) 11

1.2 Phương pháp biến phân 14

1.2.1 Biến phân cấp một Phương trình Euler - Lagrange 14 1.2.2 Biến phân cấp hai 17

1.3 Cực tiểu của phiếm hàm - Nghiệm của phương trình 18

1.3.1 Điều kiện bức, tính nửa liên tục dưới 18

1.3.2 Tính lồi 21

1.3.3 Nghiệm yếu của phương trình Euler - Lagrange 21

Chương 2 Điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu, Định lí biến dạng và ứng dụng 24 2.1 Điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu 24

2.1.1 Bài toán cực tiểu 24

2.1.2 Ứng dụng đối với bài toán Dirichlet phi tuyến 29

2.2 Định lí biến dạng và ứng dụng 33

2.2.1 Định lí biến dạng 33

2.2.2 Ứng dụng 39

Chương 3 Định lí qua núi, định lí điểm yên ngựa và ứng dụng 44 3.1 Định lí qua núi 44

3.1.1 Điểm tới hạn kiểu minimax 44

3.1.2 Định lí qua núi 46

3.1.3 Ứng dụng đối với bài toán Dirichlet 48

3.2 Định lí điểm yên ngựa 52

3.2.1 Bậc tôpô 52

3.2.2 Định lí điểm yên ngựa 54

3.2.3 Ứng dụng đối với bài toán cộng hưởng 56

Kết luận 61

Tài liệu tham khảo 62 Tài liệu tham khảo 62

C0∞(Rn) lớp các hàm khả vi vô hạn trên Rn và triệt tiêu ở bên ngoài biên.

C0p(Rn) tập của các hàm trong Cp(Rn) có giá compact

Dk đạo hàm riêng thứ k

S(x0, r) mặt biên của hình cầu B(x0, r)

dist(ω, B) khoảng cách từ ω tới B

h.k.n hầu khắp nơi

JacH ma trận Jacobi ∂Hi

∂yj .supp u giá của u

Cc∞(I) là C∞(I) ∩ Cc(I)

L1(I) không gian các hàm khả tích trên I lấy giá trị trên R

Lp(Ω) không gian các hàm đo được khả tích trên Ω và |u|p ∈ L1(Ω).kukX chuẩn của u trên tập X

Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào thế

kỉ XVIII trong các công trình của những nhà toán học như Euler,Dalambert, Lagrange và Laplace như là một công cụ quan trọng để

mô tả các mô hình của vật lý và cơ học Chỉ đến thế kỉ XIX và đặc biệt

là công trình nghiên cứu của Riemann, phương trình đạo hàm riêngmới trở thành công cụ mạnh dùng trong nhiều lĩnh vực toán học khác

Từ khi xuất hiện cho đến ngày nay, phương trình đạo hàm riêng đóngvai trò là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng, thúc đẩy sự pháttriển các ý tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực toán học lý thuyết khácnhau

Các phương trình đạo hàm riêng nói chung là rất phức tạp Mỗi mộtphương pháp tiếp cận chỉ phù hợp đối với một lớp phương trình cụ thể.Trong chương trình Thạc sĩ chuyên ngành giải tích mà chúng tôi đã đượccác thầy giới thiệu một số phương pháp giải các bài toán đối với phươngtrình đạo hàm riêng như: Phương pháp đặc trưng, Phương pháp táchbiến, Phương pháp biến đổi tích phân, Phương pháp biến đổi phươngtrình phi tuyến thành tuyến tính, Phương pháp biến phân, Tuy nhiên

do điều kiện thời gian của môn học có hạn nên chúng tôi chưa có điềukiện nghiên cứu kĩ tất các các phương pháp trên Được sự giúp đỡ và sựhướng dẫn tận tình của TS Trần Văn Bằng, tôi chọn đề tài

"Phương pháp biến phângiải phương trình đạo hàm riêng"

Với mong muốn được tìm hiểu kĩ hơn về phương pháp biến phân cũngnhư những khả năng ứng dụng của nó đối với giải phương trình đạo hàmriêng Luận văn được chia làm ba chương (ngoài phần mở đầu, kết luận

và tài liệu tham khảo)

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này được bắt đầu bằng việc giới thiệu một số các khái niệm vàđưa ra một số kết quả quan trọng về không gian Sobolev, cần thiết choquá trình sử dụng sau này Tiếp theo bằng cách tiếp cận ngắn gọn chúngtôi sẽ giới thiệu về phương pháp biến phân và cực tiểu của phiếm hàm

- nghiệm của phương trình

Chương 2 Điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu, định lí biến dạng vàứng dụng

Với mục tiêu trọng tâm là nghiên cứu vấn đề điểm tới hạn thông quabài toán cực tiểu để giải bài toán Dirichlet phi tuyến, định lí biến dạng

và ứng dụng vào bài toán Neumann phi tuyến

Chương 3 Định lí qua núi, định lí điểm yên ngựa và ứng dụng.Với mục tiêu trọng tâm là nghiên cứu định lí qua núi và ứng dụng vàobài toán Dirichlet phi tuyến, định lí điểm yên ngựa và ứng dụng vào bàitoán cộng hưởng

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về phương pháp biến phân

Áp dụng phương pháp biến phân vào để giải một số phương trìnhđạo hàm riêng Dirichlet phi tuyến, Neumann phi tuyến và cộng hưởng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệ thống, làm rõ lý thuyết vềứng dụng của phương pháp biến phân vào trong việc giải phương trìnhđạo hàm riêng phi tuyến (Dirichlet, Neumann và cộng hưởng)

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu khả năng ứng dụng của phương pháp biến phân đối vớimột số phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cụ thể

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo

- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Đóng góp mới của luận văn

- Trình bày những vấn đề cơ bản của phương pháp biến phân

- Trình bày điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu, định lí biến dạng và ứngdụng

- Trình bày định lí qua núi, định lí điểm yên ngựa và ứng dụng

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1.1 Không gian Sobolev W1,p(Ω)

Không gian H1(Ω) được trang bị tích vô hướng

Lưu ý: Có thể viết W1,p(Ω) bởi W1,p.

Tính chất 1.1 Không gian W1,p là một không gian Banach với 1 ≤

p ≤ +∞; Không gian W1,p là phản xạ với 1 < p < +∞ và tách được với

1 ≤ p < +∞ Không gian H1 là không gian Hilbert tách được

Chú ý 1.1 Cho một phiếm hàm f xác định trên Ω Kí hiệu f là tháctriển của f bởi 0 ở bên ngoài Ω, tức là

Kết luận trên vẫn đúng nếu thay vì giả sử α ∈ Cc1(Ω) ta lấy α ∈ C1(RN)∩

L∞(RN) với ∇α ∈ L∞(RN) và suppα ⊂ RN\Γ (Γ là biên của C1

c (Ω)).Tính chất 1.2 (Định lí Friedrichs)

Cho u ∈ W1,p(Ω) và 1 ≤ p < ∞ Khi đó, tồn tại một dãy {un} trong

Cc∞(RN) sao cho

i) un|Ω → u trong Lp(Ω),

ii) ∇un|ω → ∇u|ωtrong Lp(ω)N, ∀ ω ⊂⊂ Ω

(Kí hiệu ω ⊂⊂ Ω có nghĩa là ω là tập mở sao cho ω ⊂ Ω và ω compact.)

Tính chất 1.3 Cho u ∈ Lp(Ω) và 1 < p ≤ ∞, các tính chất sau đây làtương đương:

iii) ∃ C : mọi tập mở ω ⊂⊂ Ω và ∀, h ∈ RN : |h| < dist(ω, RN\Ω), ta

có ||τhu − u||Lp (ω) ≤ C|h| Hơn nữa, chọn C = ||∇u||Lp (Ω) trong ii)

Cho Ω và Ω0 là tập mở của RN và H : Ω0 → Ω là một song ánh, x = H(y),sao cho

H ∈ C1(Ω0), H−1 ∈ C1(Ω), J acH ∈ L∞(Ω0), J acH−1 ∈ L∞(Ω).Giả sử u ∈ W1,p(Ω) Khi đó, u ◦ H ∈ W1,p(Ω0) và

1.2 Phương pháp biến phân

Xét các phương trình đạo hàm riêng có dạng

trong đó A [·] là một toán tử đạo hàm riêng cho trước, u là nghiệm cầntìm Xét phương trình đạo hàm riêng A [u] = 0, với A [·] là "đạo hàm"của một phiếm hàm "năng lượng" I [·] tương ứng Kí hiệu

1.2.1 Biến phân cấp một Phương trình Euler - LagrangeGiả sử U ⊂ Rn là một tập mở, bị chặn với biên ∂U trơn và L là mộthàm trơn cho trước L : U × R × Rn → R Gọi L là hàm Lagrange Kíhiệu L(x, z, p) = L(x1, , xn, z, p1, , pn) với x ∈ U, z ∈ R, p ∈ Rn Ởđây, ”z” là biến sẽ thay thế cho ω(x) và ”p” là biến thay thế cho Dω(x)

Cuối cùng, vì v có giá compact, bằng cách lấy tích phân từng phần tađược

(Lpi(x, u, Du))xi + Lz(x, u, Du) = 0 trên U, (1.9)

gọi là phương trình Euler - Lagrange tương ứng với phiếm hàm nănglượng I [·] được cho bởi (1.4), (1.9) là phương trình đạo hàm riêng bậchai tựa tuyến tính trong dạng phân kì

Vậy, một điểm cực tiểu trơn của I [·] là nghiệm của phương trình đạohàm riêng Euler - Largrange (1.9) và ta có thể tìm được nghiệm của(1.9) bằng cách xét các điểm cực tiểu của (1.4)

Ví dụ 1.1 (Nguyên lí Dirichlet)

Cho L(x, z, p) = 12|p|2 Khi đó, Lpi = pi (i = 1, , n) , Lz = 0 và vìvậy, phương trình Euler - Lagrange tương ứng với phiếm hàm I [ω] =

là phương trình tuyến tính với cấu trúc phân kì

1.2.2 Biến phân cấp hai

Ta tính biến phân cấp hai của I [·] tại hàm u Với u là điểm cực tiểu của

I [·], cho nên i00(0) ≥ 0, trong đó i(·) được xác định bởi (1.6) Từ (1.8)suy ra

thỏa mãn với mọi hàm thử v ∈ Cc∞(U )

Ta thấy (1.10) đúng với mọi hàm v liên tục Lipschitz và triệt tiêu trên

∂U Cố định ξ ∈ Rn và đặt

v(x) = ερ x.ξ

ε

ζ(x) (x ∈ U ) , (1.11)

ở đây ζ ∈ Cc∞(U ) và ρ : R → R là hàm tuần hoàn "zig - zag" được xácđịnh bởi ρ(x) =

(

x nếu 0 ≤ x ≤ 12

1 − x nếu 12 ≤ x ≤ 1 , ρ(x + 1) = ρ(x) (x ∈ R)

ξiζ + O(ε) khi ε → 0 và bằng cách thế (1.11)vào (1.10) ta được

0 ≤Z

Ta thấy rằng điều kiện này cần cho sự tồn tại nghiệm

1.3 Cực tiểu của phiếm hàm - Nghiệm của phương trình.1.3.1 Điều kiện bức, tính nửa liên tục dưới

(chẳng hạn như f = ex hoặc (1 + x2)−1) Ta đặt giả thiết I [ω] với cáchàm ω "đủ lớn" Giả sử

1 < p < ∞ là một số cố định (1.16)Khi đó, hàm L thỏa mãn điều kiện

(tồn tại các hằng số α > 0, β ≥ 0L(x, z, p) ≥ α|p|q− β ∀ x ∈ U, z ∈ R, p ∈ Rn (1.17)Suy ra

I [ω] ≥ α kDωkqLq (U ) − γ (1.18)với γ = β |U | Vì thế I [ω] → ∞ khi kDωkLq → ∞ Khi đó (1.18) đượcgọi là điều kiện bức của I [·] (hoặc (1.17) là điều kiện bức của L)

Tìm cực tiểu của phiếm hàm I [·], từ bất đẳng thức (1.18) ta thấy sẽhợp lí hơn, nếu I [ω] được xác định không chỉ với các hàm liên tục ω,

mà còn các hàm ω trong không gian Sobolev W1q(U ) thỏa mãn điều kiệnbiên (1.15) theo nghĩa vết Bởi vì, lớp các hàm ω càng rộng thì càng cónhiều khả năng tìm được cực tiểu của I [ω]

Kí hiệu A = ω ∈ W1

q(U )|ω = g trên ∂U theo nghĩa vết A được gọi làlớp các hàm chấp nhận được Theo (1.17) thì I [·] được xác định (có thể+∞) với mỗi ω ∈ A

b) Nửa liên tục dưới

Hàm liên tục f : R → R thỏa mãn điều kiện bức sẽ đạt cực tiểu, nhưngđối với phiếm hàm tích phân I [·] thì tính chất đó nói chung là khôngđúng Đặt

m = inf

và chọn dãy hàm uk ∈ A (k = 1, , n) sao cho

I [uk] → m khi k → ∞ (1.20)

Gọi {uk}∞k=1 là dãy cực tiểu Lấy ra một dãy con của {uk}∞k=1 hội tụ tớimột cực tiểu của I [·] Muốn vậy ta cần có điều kiện compact Nếu dùngbất đẳng thức (1.18), ta kết luận được rằng dãy cực tiểu nằm trong mộttập con bị chặn của W1q(U ) Nhưng không suy ra được sự tồn tại của mộtdãy con nào hội tụ trong W1q(U ) Vì 1 < q < ∞ nên Lq(U ) là phản xạ,khi đó, tồn tại một dãy con ukj ∞

j=1 ⊂ {uk}∞k=1 và một hàm u ∈ Wq1(U )sao cho

I [u] = lim

j→∞I ukj

(1.23)

và do đó không chứng minh u là cực tiểu Vì Dukj * Du không kéo theo

Dukj → Du h.k.n Nhiều bài toán không cần điều kiện mạnh (1.23) mà

là những điều kiện yếu hơn, như sau

I [u] ≤ lim

j→∞inf I ukj (1.24)Khi đó, từ (1.20) suy ra I[u] ≤ m Nhưng từ (1.19) ta có m ≤ I[u] Vậy

u thực sự là điểm cực tiểu của I[·] Như vậy, điều kiện (1.24) là quantrọng đối với sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm I[·]

Định nghĩa 1.2 Ta nói phiếm hàm I[·] là nửa liên tục dưới yếu trên

Wq1(U ), nếu

I[u] ≤ lim

k→∞inf I[uk]khi mà uk * u trong W1q(U )

1.3.2 Tính lồi.

Định lý 1.1 (Tính nửa liên tục dưới yếu)

Giả sử hàm Lagrange L(x, z, p) là bị chặn dưới và lồi theo p với mỗi

x ∈ U, z ∈ R Khi đó I[·] là nửa liên tục dưới yếu trên W1q(U )

Định lý 1.2 (Sự tồn tại của điểm cực tiểu)

Giả thiết rằng L thỏa mãn điều kiện bức (1.17) và lồi theo biến p, còntập chấp nhận được A là không rỗng Khi đó, tồn tại ít nhất một hàm

u ∈ A thỏa mãn I [u] = min

ω∈A I [ω]

Xét vấn đề duy nhất nghiệm Nói chung, có nhiều điểm cực tiểu, do đó

để đảm bảo tính duy nhất ta cần thêm giả thiết Xét hàm Lagrange

L = L(x, p) không phụ thuộc vào z (1.25)và

Giả sử (1.25) - (1.26) thỏa mãn Khi đó điểm cực tiểu u ∈ A của I[·] làduy nhất

1.3.3 Nghiệm yếu của phương trình Euler - Lagrange

Ta chứng minh mọi điểm cực tiểu u ∈ A của I[·] thỏa mãn phương trìnhEuler -Lagrange ta cần các điều kiện tăng của L và các đạo hàm của nó

Ta giả sử

|L(x, z, p)| ≤ C (|p|q + |z|q+ 1) (1.27)và

với C là hằng số và ∀p ∈ Rn, z ∈ R, x ∈ U Xét bài toán biên đối vớiphương trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange tương ứng với hàm L(

−Pn

i=1(Lpi(x, u, Du))x

i + Lz(x, u, Du) = 0 trong U

u = g trên ∂U (1.29)Nhân (1.29) với một hàm thử v ∈ Cc∞(U ) và lấy tích phân từng phần,

Định nghĩa 1.3 (Nghiệm yếu.)

Hàm u ∈A được gọi là một nghiệm yếu của bài toán biên (1.29) đối vớiphương trình Euler-Lagrange nếu

Định lý 1.4 (Nghiệm của phương trình Euler-Lagrange)

Giả thiết L thỏa mãn điều kiện tăng (1.27),(1.28) và u ∈ A sao cho

I [u] = min

ω∈A I [ω] Khi đó u là một nghiệm yếu của (1.29)

Chú ý 1.2 Trong trường hợp tổng quát, phương trình Euler-Lagrange(1.29) có những nghiệm khác mà không phải là điểm cực tiểu của I[·].Tuy nhiên, trong trường hợp đặc biệt khi ánh xạ (z, p) → L(x, z, p) làlồi với mỗi x, thì mỗi nghiệm yếu chính là điểm cực tiểu

Tóm lại, phương pháp biến phân đặt ra hai hướng nghiên cứu quan trọngtrong giải phương trình đạo hàm riêng:

• Nghiên cứu điểm tới hạn (đặc biệt là điểm cực tiểu) của một phiếmhàm

• Tìm những ứng dụng của các kết quả về tối ưu của phiếm hàm đốivới phương trình đạo hàm riêng

Mà hai chương sau chúng ta sẽ đề cập tới hai vấn đề đó một cách đầy

đủ hơn

ĐIỂM TỚI HẠN QUA BÀI TOÁN CỰC TIỂU, ĐỊNH LÍ BIẾN DẠNG VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu

2.1.1 Bài toán cực tiểu

"Cho không gian Hilbert E, tập đóng C ⊂ E và một phiếm hàm ϕ : E →

R trong đó ϕ bị chặn dưới Tìm u0 ∈ C sao cho

ϕ(u0) = inf

u∈Cϕ(u)”

Bài toán này tổng quát, ta phải thêm giả thiết Vì phiếm hàm ϕ : E → R

bị chặn dưới trên đoạn C ⊂ R chưa chắc đạt giá trị nhỏ nhất, để đạtđược giá trị nhỏ nhất phiếm hàm ϕ liên tục (Định lý Weierstrass).Vậy tính cực tiểu của phiếm hàm ϕ gắn chặt với tính “liên tục” của ϕ

và tính “compact” của tập C

Kết quả cơ bản của lý thuyết tôpô

• Trong không gian tôpô X Phiếm hàm ϕ : E → R là nửa liên tụcdưới nếu ϕ−1(a, ∞) mở trong X, ∀a ∈ R (tức là ϕ−1(−∞, a] đóngtrong X, ∀ a ∈ R)

• Nếu X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất (chẳng hạn X làkhông gian metric) thì ϕ : E → R là nửa liên tục dưới ⇔ ϕ (bu) ≤lim infϕ(un), ∀bu ∈ X, ∀ un → bu

Định lý 2.1 Cho X là không gian tôpô, compact và ϕ : X → R là mộtphiếm hàm nửa liên tục dưới Khi đó ∃ u0 ∈ X : ϕ (u0) = inf

Chứng minh Ta có X =

∞

S

n=1

ϕ−1(−n, ∞) Theo giả thiết, có ϕ−1(−n, ∞)

là tập mở và X là compact nên tồn tại một phủ hữu hạn

pô yếu trên E Tức là ∀ u ∈ E : ϕ(u) ≤ lim inf ϕ(un), ∀ un : un * u, (un

hội tụ yếu tới u hay ub n * bu tức là hun, hi → hu, hi , ∀ h ∈ E).b

Định lý 2.2 Cho E là không gian Hilbert (hoặc E là không gian Banachphản xạ) và ϕ : E → R là phiếm hàm có tính chất

i) Nửa liên tục dưới yếu,

ii) Điều kiện bức (tức là ϕ(u) → +∞ khi kuk → ∞)

Khi đó, ϕ bị chặn dưới và ∃ u0 ∈ E sao cho ϕ(u0) = inf

Chứng minh

Theo ii) ta chọn R > 0 sao cho ϕ(u) ≥ ϕ(0), ∀ u ∈ E : kuk ≥ R Vìhình cầu BR là compact trong tô pô yếu và theo i) ϕ : BR → R là nửaliên tục dưới yếu Theo Định lý 2.1 suy ra ∃ u0 ∈ BR : ϕ(u0) = infB

Rϕ

Vì thế ∃ u0 ∈ E : ϕ(u0) = inf

Nhận xét 2.1 Nếu trong Định lý 2.2 có thêm giả thiết phiếm hàm

ϕ : E → R khả vi thì mọi cực điểm u0 của ϕ đều là điểm tới hạn của ϕ,tức là ϕ0(u0) = 0 ∈ E∗

Định lý 2.3 Cho E là không gian Hilbert (tổng quát hơn E là khônggian Banach phản xạ) và ϕ : E → R thỏa mãn

i) Nửa liên tục dưới yếu,

ii) Điều kiện bức,

iii) C ⊂ E, là tập con lồi, đóng

epi(ϕ) = {(u, a) ∈ E × R|ϕ(u) ≤ a}

Rõ ràng

Hình 2.1

i) ϕ lồi (nửa liên tục dưới) ⇔ epi(ϕ) là lồi (đóng);

ii) ϕ lồi (nửa liên tục dưới yếu) ⇔ epi(ϕ) là lồi (đóng yếu);

Một tập lồi, đóng trong không gian Banach phản xạ E × R là đóng yếu.Theo giả thiết và i) thì epi(ϕ) là lồi đóng trong E × R, nên theo ii) nó

kh − uk , ∀ u ∈ C

Ví dụ 2.2 Nếu K : E → E là toán tử hoàn toàn liên tục (compact)trong không gian Hilbert E thì phiếm hàm ϕ : E → R xác định bởi

ϕ(u) = hku, ui , u ∈ E là nửa liên tục dưới yếu

Lời giải Thật vậy, ta có khẳng định mạnh hơn là ϕ liên tục yếu ⇒ ϕ nửaliên tục dưới yếu Vì

Kun → Ku khi un * u do đó ϕ(un) → ϕ(u) khi un * u

Thật vậy

ϕ(un) − ϕ(u) = hKun, uni − hKu, ui

= hKun, uni − hKu, uni + hKu, uni − hKu, ui

= hKun− Ku, uni − hKu, un − ui

|hKun − Ku, uni| ≤ kKun− Kuk kunk

≤ kKun− Kuk C → 0

Kun → Ku hội tụ yếu nên bị chặn

Với giả thiết, K là toán tử đối xứng dương (không nhất thiết hoàn toànliên tục) thì phiếm hàm ϕ(u) lồi và nửa liên tục theo tôpô yếu ϕ(u) nửaliên tục dưới yếu

Ví dụ 2.3 Giả sử Ω ⊂ RN (N ≥ 1) là một miền bị chặn và F : Ω × R →

R là hàm thỏa mãn điều kiện Carathéodory, tức là

i) F (., s) đo được trên Ω, ∀ s ∈ R cố định,

ii) F (x, ) liên tục trên R, ∀ x ∈ Ω

Khi đó, toán tử Nemytskii u(x) 7→ F (x, u(x)) liên kết với F là hoàn toànxác định trên không gian các hàm đo được u : Ω → R ([24], chương 2.2).Bây giờ, xét với giả thiết về độ tăng thích hợp, như sau ∃ a, b > 0 và 1 ≤

F (x, u(x))dx hoàn toàn xác định

và liên tục yếu trên không gian Sobolev H01(Ω)

Lời giải

Không gian H01(Ω) được nhúng compact vào LP với 1 ≤ p ≤ 2N

N − 2(theo định lí nhúng Sobolev [4]) và điều kiện độ tăng (F1) nên toán tử

Nemytskii liên tục từ không gian LP vào không gian LPα,với p ≥ α ( theoĐịnh lí Vainberg [24]).

Do đó, nếu un * u trong H01 thì un → u trong LP với 1 ≤ p ≤ 2N

N − 2 vàtheo tính liên tục của toán tử Nemytskii Ta có F (., un) → F (., u) trong

LPα suy ra hội tụ mạnh trong L1 (vì ω là miền bị chặn) Nói cách khácψ(un) → ψ(u) khi un * u trong H01

2.1.2 Ứng dụng đối với bài toán Dirichlet phi tuyến

Xét phương trình Dirichlet phi tuyến sau

ϕ0(u).h =

Z

Ω

[∇u.∇h − f (x, u)h]dx = 0, ∀ u, h ∈ H01(Ω) (2.2)(Do vậy, u ∈ H01 là một nghiệm yếu của (P) ⇔ u là điểm tới hạn của ϕ.)

Chứng minh Ta xét không gian Sobolev H01(Ω) với kuk =

R

Ω|∇u|2dx

12,chuẩn này tương đương với chuẩn

kuk2L2 + k∇uk2L2

12

vì theo bất đẳngthức Poincaré,

kuk2L2 ≤ λ−11 k∇uk2L2, ∀ u ∈ H01,trong đó λ1 > 0 là giá trị riêng đầu tiên của bài toán

Do f là hàm Carathéodory thỏa mãn (f1), nên F cũng là hàm Carathéodory

và nó thỏa mãn điều kiện (F1) trong Ví dụ 2.3 Suy ra ψ : H01 → Rhoàn toàn xác định và nửa liên tục dưới yếu

Chứng minh tính khả vi của ψ, giả sử u ∈ H01 cố định

Z

Ω

[f (x, u + th) − f (x, u)] h dx

dt,nên theo bất đẳng thức H¨older, ta có

|δ(h)| ≤

Z 1 0

kf (., u + th) − f (., u)kLrkhkLsdt, (2.4)

kf (., u + th) − f (., u)kLrdt → 0, khi khk → 0,

theo định lí hội tụ Lebesgue (ta đã sử dụng khkLs ≤ c khk) Vậy ta đãchứng minh được ψ : H01 → R là hàm khả vi (Fréchet) tại u ∈ H1

0 vàđạo hàm ψ0(u) cho bởi (2.3)

Kiểm tra tính liên tục của ψ0 : H01 → H1

0

∗

= H−1 sử dụng bất đẳngthức H¨older, định lí nhúng Sobolev và định lí Vainberg có

0 là gradient của ϕ, theo định

lí Riesz - Fréchet, ∇ϕ(u) ∈ H01 là phần tử duy nhất sao cho ϕ0(u).h =

hh, ∇ϕ(u)i , ∀ h ∈ H1

0.Khi đó, từ (2.2),(2.3) ta có ∇ϕ(u) = u − T (u) trong đó T : H01 → H1

Tiếp theo ta chứng minh sự tồn tại của nghiệm của bài toán (P ).

Định lý 2.4 Cho f : Ω × R → R là hàm Carathéodory thỏa mãn điềukiện (f1) và

∃ β < λ1sao cho lim

|s|→∞supf (x, s)

s ≤ β, đều ∀ x ∈ Ω (f2)Khi đó, bài toán (P ) có một nghiệm yếu u ∈ H01(Ω)

Chứng minh

Theo Mệnh đề 2.1 ta có một điểm tới hạn của phiếm hàm ϕ ∈

C1(H01, R) xác định bởi ϕ(u) = 12kuk2− ψ(u), ψ(u) = RΩF (x, u) dx, tabiết q(u) = 1

2kuk2 là một nửa liên tục dưới yếu và ψ liên tục yếu (theo