Tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng cấp 1

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng cấp 1” không có sự trùng lặp với kết quả củacác đề tài khác... Rất nhiều nhà

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

CHU THỊ THANH THỦY

TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM NHỚT LIÊN TỤC CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đãđộng viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Tác giả

Chu Thị Thanh Thủy

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng.

Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham khảo một số tàiliệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Tính chính quy của nghiệm nhớt liên

tục của phương trình đạo hàm riêng cấp 1” không có sự trùng lặp với kết quả củacác đề tài khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Tác giả

Chu Thị Thanh Thủy

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1 3

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 3

1.1.2 Phép toán trên các nghiệm nhớt 10

1.1.3 Hàm lề 17

1.2 Tính duy nhất và sự so sánh nghiệm 21

Chương 2 Tính chính quy của nghiệm nhớt 31

2.1 Tính liên tục Lipschitz 31

2.2 Tính nửa lõm 36

2.3 Tính khả vi 40

Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 43

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đầu thập kỷ 80, M G Crandall đã đưa ra một khái niệm nghiệm yếu là “nghiệmnhớt” cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (xem [3]) Nói chungnghiệm yếu này cho phép một hàm nói chung chỉ cần liên tục là nghiệm của phươngtrình đạo hàm riêng cấp một Sự phù hợp của khái niệm này thể hiện ở chỗ nó đãgiải quyết được tính đặt chỉnh của nhiều bài toán phi tuyến vốn vẫn chưa có lời giảitrước đó Rất nhiều nhà toán học trên thế giới đã quan tâm đến khái niệm này và

đã phát triển các kết quả liên quan tới nghiệm nhớt liên tục và đã đưa ra khái niệmnghiệm nhớt đo được (không liên tục) cho các phương trình đạo hàm riêng cấp một(xem [1, 4, 2])

Qua quá trình học tập và nghiên cứu, được sự động viên, hướng dẫn của thầygiáo TS Trần Văn Bằng, với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về loại nghiệm suyrộng này nên tôi chọn đề tài:

“Tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng cấp một”.

Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được trìnhbày trong 2 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị: trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản,cần thiết cho nghiên cứu trong chương 2 về nghiệm nhớt liên tục của phương trìnhđạo hàm riêng cấp 1, nguyên lý so sánh nghiệm và tính duy nhất

Chương 2 Tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục: trình bày một số kết quả

về tính liên tục Lipschitz, tính nửa lõm và tính khả vi của nghiệm nhớt liên tục

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàmriêng cấp một

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về khái niệm nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyếncấp một; Tìm hiểu về tính liên tục Lipschitz của nghiệm nhớt; Tìm hiểu về tính nửalõm của nghiệm nhớt; Tìm hiểu về tính khả vi của nghiệm nhớt;

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+) Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng +)Phạm vi nghiên cứu: Xét loại nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêngcấp một

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp tổng hợp, phân tích tài liệu và kiến thức có liên quan

6 Đóng góp mới của luận văn

Trình bày một cách tổng quan về vấn đề nghiên cứu

Ck(Ω), k = 1, 2, là không gian tất cả các hàm thuộc C(Ω) có các đạo hàm riêngđến cấp k liên tục trên Ω.

Với một hàm u ∈ C1(Ω), thì Du(x) là gradient của u tại x ∈ Ω

Xét phương trình ĐHR phi tuyến cấp một (thường gọi là phương trình Jacobi):

Định nghĩa 1.1 Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ)

nếu với mọi ϕ ∈ C1(Ω) ta có:

F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0 (1.1)tại mọi điểm cực đại địa phương x0∈ Ω của u − ϕ

Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ) nếu với mọi

ϕ ∈ C1(Ω) ta có:

F(x1, u(x1), Dϕ(x1)) ≥ 0 (1.2)tại mọi điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω của u − ϕ

Hàm u là một nghiệm nhớt nếu nó vừa là nghiệm nhớt trên vừa là nghiệm nhớt

dưới của phương trình đó

Hàm ϕ(x) trong định nghĩa trên thường được gọi là hàm thử.

Ví dụ 1.1 Hàm số u(x) = |x| là một nghiệm nhớt của phương trình:

− u0(x) + 1 = 0, x∈ (−1, 1)

Thật vậy, ta xét hai trường hợp: nếu x 6= 0 là một cực trị địa phương của u − ϕ thì

ϕ0(x) = u0(x) = ±1 Vì vậy tại những điểm này điều kiện nghiệm nhớt trên, nghiệmnhớt dưới được thỏa mãn

Nếu 0 là cực tiểu địa phương của u − ϕ, thì ta tính được |ϕ0(0)| ≤ 1 nên điềukiện nghiệm nhớt trên vẫn đúng Bây giờ ta chứng minh 0 không thể là cực đại địaphương của u − ϕ với ϕ ∈ C1([0, 1]) Thật vậy, nếu 0 là cực đại địa phương của u − ϕthì ta có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x) trong một lân cận của 0, hay ϕ(x) − ϕ(0) ≥ u(x)trong một lân cận của 0, từ đó ta có:

Vô lý, vậy 0 không thể là cực đại địa phương của u − ϕ

Để ý rằng, hàm số u(x) = |x| không phải là nghiệm nhớt của phương trình:

u0(x) − 1 = 0, x∈ (−1, 1)

Thật vậy điều kiện nghiệm trên không thỏa mãn tại x0 = 0 là điểm cực tiểu địaphương của |x| − (−x2)

Chú ý: Đối với các phương trình tiến hóa có dạng:

ut(t, y) + H(t, y, u(t, y), Dyu(t, y)) = 0, (t, y) ∈ (0, T ) × D

thì ta chỉ việc đặt:

x= (t, y) ∈ Ω = (0, T ) × D ⊆ RN+1, F(x, r, p) = qN+1+ H(x, r, q1, , qN)với q = (q1, , qN, qN+1) ∈ RN+1

Nhận xét 1.1 Trong định nghĩa nghiệm nhớt dưới ta luôn có thể giả sử rằng x0 làđiểm cực đại địa phương ngặt của hàm u − ϕ (nếu không ta có thể thay ϕ(x) bởi

ϕ (x) + |x − x0|2) Hơn nữa do (1.1) chỉ phụ thuộc vào giá trị của Dϕ tại x0, nênkhông mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng u(x0) = ϕ(x0) Đối với định nghĩanghiệm nhớt trên ta cũng có nhận xét tương tự

Về mặt hình học thì điều đó có nghĩa rằng: các hàm thử trong điều kiện nghiệmnhớt dưới (1.1) đối với u là tiếp xúc trên với đồ thị của u

Ta cũng chú ý rằng không gian C1(Ω) các hàm thử trong Định nghĩa 1.1 có thểđược thay thế bằng C∞(Ω)

Mệnh đề sau đây sẽ thể hiện những đặc trưng cơ bản của nghiệm nhớt và mốiquan hệ của nó với nghiệm cổ điển:

Mệnh đề 1.1 (a) Nếu hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt của (HJ) trong Ω, thì u

(b) Giả sử hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm cổ điển của (HJ), tức là u khả vi tại mọi điểm x ∈ Ω và:

F(x, u(x), Du(x)) = 0, ∀x ∈ Ω (1.3)

Chứng tỏ u là nghiệm nhớt dưới của (HJ) trên Ω0 Lập luận tương tự ta cũng có u lànghiệm nhớt trên của (HJ) trên Ω0 Vậy (a) được chứng minh.

(b) Lấy ϕ ∈ C1(Ω) bất kỳ Do u khả vi nên tại điểm cực tiểu hoặc cực đại địaphương của u − ϕ ta có Du(x) = Dϕ(x) Từ (1.3) ta được

0 = F(x0, u(x0), Dϕ(x0) ≤ 0nếu x0 là một điểm cực đại địa phương của u − ϕ, và

0 = F(x1, u(x1), Dϕ(x1) ≥ 0nếu x1 là một điểm cực tiểu địa phương của u − ϕ Theo Định nghĩa 1.1 ta chứngminh được (b)

(c) Nếu u ∈ C1(Ω), thì lấy ϕ ≡ u trong định nghĩa nghiệm nhớt Khi đó mọi

x∈ Ω đều vừa là cực đại vừa là cực tiểu địa phương của hàm u − ϕ Do đó theo(1.1) và (1.2) thì:

F(x, u(x), Du(x)) = 0, ∀x ∈ Ω

Vậy mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề (a) cho thấy khái niệm nghiệm nhớt có tính địa phương Vì vậy ta cóthể lấy các hàm thử trong (1.1) và (1.2) thuộc C1(RN) hoặc thuộc hình cầu bất kỳB(x, r) với tâm x ∈ Ω

Định nghĩa nghiệm nhớt có liên quan chặt chẽ đến hai tính chất được nêu trong

lý thuyết của phương trình eliptic - parabolic đó là nguyên lý cực đại và nguyên lý

Định nghĩa 1.2 Một hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh với các nghiệm

nhớt trên trơn ngặt nếu với mọi ϕ ∈ C1(Ω) và tập mởO ⊂ Ω sao cho

F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0, ∀x ∈O,u ≤ ϕ trên ∂Othì u ≤ ϕ trongO

Ta nói rằng hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý cực đại nếu với mọi ϕ ∈ C1(Ω)

và tập mởO ⊂ Ω sao cho:

F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0, ∀x ∈Othì u − ϕ không thể có cực đại không âm trong O

Dễ thấy rằng nếu hàm u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý cực đại thì nó thỏa mãn

phương trình (HJ) sẽ được trình bày ở mệnh đề sau đây

Mệnh đề 1.2 Nếu hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh thì u là một

thỏa mãn nguyên lý cực đại và nguyên lý so sánh.

nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) thì tồn tại x0 ∈ Ω, ϕ ∈ C1(Ω) mà x0 làđiểm cực đại ngặt của u − ϕ, (u − ϕ)(x0) = 0 và

u− (ϕ + an) ≤ 0 trên ∂ B(x0,1n)u(x0) − ϕ(x0) − an> 0

Theo nguyên lý so sánh, với mọi n tồn tại xn ∈On := B(x0,1n) thỏa mãn

F(xn, ϕ(xn) + an, Dϕ(xn)) ≤ 0

Do an → 0 và xn→ x0 khi n → ∞ nên

F(x0, ϕ(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0mâu thuẫn, vậy u là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ)

Ngược lại, cho u là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) và lấy ϕ ∈ C1(Ω)thỏa mãn:

F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0 ∀x ∈O

Nếu u − ϕ đạt cực đại địa phương tại x0 ∈O nào đó với u(x0) − ϕ(x0) ≥ 0 Khi đó

từ giả thiết đơn điệu của F dẫn đến mâu thuẫn:

0 < F(x0, ϕ(x0), Dϕ(x0)) ≤ F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0

Do đó, u thỏa mãn nguyên lý cực đại và nguyên lý so sánh.

Kết quả tương tự cũng đúng với nghiệm nhớt trên Khi đó ta chỉ cần đổi chiềucác bất đẳng thức trong nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại và thay cực đạikhông âm bởi cực tiểu không dương

Một điều cần lưu ý là nghiệm nhớt không được bảo toàn khi ta đổi dấu củaphương trình Thực tế, vì bất kỳ cực đại địa phương nào của u − ϕ đều là cực tiểuđịa phương của −u − (−ϕ), nên u là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) nếu

và chỉ nếu v = −u là nghiệm nhớt trên của phương trình −F(x, −v(x), −Dv(x)) = 0trong Ω; tương tự u là nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ) nếu và chỉ nếu v = −u

là nghiệm nhớt dưới của phương trình −F(x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω

Bây giờ ta đưa ra một đặc trưng của nghiệm nhớt của phương trình (HJ) thôngqua trên vi phân và dưới vi phân Cho hàm số u ∈ C(Ω) và x ∈ Ω, xét các tập hợp:

Các tập hợp trên được gọi tương ứng là trên vi phân và dưới vi phân (gọi chung là bán vi phân) của u tại x

Ví dụ 1.2 Cho u(x) = |x|, x ∈ R Khi đó ta dễ dàng kiểm tra được:

D+u(0) = /0, D−u(0) = [−1, 1]

Những bổ đề sau đây sẽ mô tả D+u(x) và D−u(x) qua các hàm thử và một sốtính chất của chúng:

Bổ đề 1.1 (xem [2], Lemma 1.7) Cho u ∈ C(Ω) Khi đó:

đạt cực đại địa phương tại x;

đạt cực tiểu địa phương tại x.

Bổ đề 1.2 (xem [2], Lemma 1.8) Cho u ∈ C(Ω), x ∈ Ω Khi đó:

(a) D+u(x) và D−u(x) là các tập con lồi, đóng (có thể là tập rỗng) của RN;

(b) Nếu u khả vi tại x thì {Du(x)} = D+u(x) = D−u(x);

mật trong Ω.

Như một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.1, ta có đặc trưng sau của nghiệm nhớt

Định lý 1.1 Hàm số u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) trong

tại mọi điểm mà u khả vi.

thì:

F(x, u(x), Du(x)) = 0 hầu khắp nơi trong Ω

D−u(x) Do đó theo Định lý 1.1,

0 ≥ F(x, u(x), Du(x)) ≥ 0,vậy (a) được chứng minh

Mệnh đề (b) được suy ra trực tiếp từ định lý Rademacher về tính khả vi hầukhắp nơi của hàm liên tục Lipschitz

Nhận xét 1.2 Phần (b) của Mệnh đề 1.3 thể hiện rằng mọi nghiệm nhớt đều là

F(x, u(x), Du(x)) = 0 h.k.n trong Ω

Ngược lại nói chung là không đúng: có nhiều nghiệm tổng quát không phải lànghiệm nhớt Thật vậy ví dụ sau cho ta điều đó:

Ví dụ 1.3 Ta thấy hàm u(x) = |x| thỏa mãn:

... ý nghiệm nhớt khơng bảo tồn ta đổi dấu củaphương trình Thực tế, cực đại địa phương u − ϕ cực tiểuđịa phương −u − (−ϕ), nên u nghiệm nhớt phương trình (HJ)

và v = −u nghiệm nhớt phương trình. ..

do u nghiệm tổng quát |u0(x)| − = (? ?1, 1) khơng phải

là nghiệm nhớt phương trình (theo Ví dụ 1. 1)

1. 1.2 Phép tốn nghiệm nhớt< /b>

Trong mục ta trình. .. định nghĩa nghiệm nhớt ta có: u ∈ C(Ω) nghiệmnhớt phương trình (HJ) Ωi(i = 1, 2) u nghiệm nhớt phương trình( HJ) Ω1< /sup>∪ Ω2 = Ω \ Γ

Vậy u nghiệm nhớt Ω số