Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp 1 và bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn

Theo phương pháp đó hàm giá trị của bài toán nếu khảvi sẽ là nghiệm cổ điển của phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman liênkết, đó là một phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một.. Trầ

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, tiến sĩ TrầnVăn Bằng, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo giảng dạychuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình họctập và làm luận văn

Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp

đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bảnluận văn này

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Tác giả

Chu Thanh Vân

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình của nghiên cứu của cá nhântôi, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Tác giả

Chu Thanh Vân

Mục lục

1.1 Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1 6

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 6

1.1.2 Phép toán trên các nghiệm nhớt 12

1.1.3 Hàm lề 16

1.2 Tính duy nhất và sự so sánh nghiệm 20

1.3 Tính chính quy của nghiệm nhớt 23

1.3.1 Tính liên tục Lipschitz 23

1.3.2 Tính nửa lõm 26

1.3.3 Tính khả vi 29

Chương 2 Bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn 32 2.1 Bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn 32

2.1.1 Hệ điều khiển 32

2.1.2 Nguyên lý quy hoạch động 33

2.1.3 Phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman 34

2.1.4 Định lý kiểm định 35

2.2 Ứng dụng của nghiệm nhớt đối với bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn 38

2.2.1 Nguyên lý quy hoạch động và phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman đối với nghiệm nhớt 40

2.2.2 Định lý kiểm định qua nghiệm nhớt 53

Tài liệu tham khảo 57

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán điều khiển tối ưu xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực khoa họccũng như thực tiễn (xem [1, 4, 5]) Một trong những phương pháp tiếp cậnquan trọng của lý thuyết các bài toán điều khiển tối ưu là phương phápquy hoạch động Theo phương pháp đó hàm giá trị của bài toán (nếu khảvi) sẽ là nghiệm cổ điển của phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman liênkết, đó là một phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một Tuy nhiêntrong đa số các tình huống thì hàm giá trị nói chung không khả vi, vì thếmột vấn đề quan trọng đặt ra là: hàm giá trị có thỏa mãn phương trìnhHamilton-Jacobi-Bellman hay không? Nếu có thì thỏa mãn theo nghĩa nào?Đầu những năm 80 của thế kỉ trước, M G Crandall đã đề xuất mộtkhái niệm nghiệm suy rộng mới cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyếncấp một, đó là nghiệm nhớt Cho đến nay khái niệm này đã được chứngminh là đặc biệt hữu dụng đối với lý thuyết điều khiển tối ưu, lý thuyếttrò chơi vi phân, (xem [7, 6, 3])

Xuất phát từ lý do trên và được sự định hướng của TS Trần Văn Bằng

em chọn đề tài:

“Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp 1 vàbài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn”

Nội dung của Luận văn gồm hai chương:

Chương 1, trình bày các kiến thức chuẩn bị về nghiệm nhớt của phươngtrình đạo hàm riêng cấp một, bao gồm: khái niệm, các tính chất, các phéptoán,

Chương 2, tìm hiểu về bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạntrong lý thuyết cổ điển và những ứng dụng của nghiệm nhớt đối với bài

toán đó.

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu Nghiên cứu ứng dụng của nghiệm nhớt liên tục củaphương trình đạo hàm riêng cấp 1 đối với bài toán điều khiển tối ưu thờigian vô hạn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

-Tìm hiểu về nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêngcấp 1;

-Tìm hiểu về bài toán điều khiển tối ưu nói chung;

-Tìm hiểu về bài toán điều khiển tối ưu thời gian vô hạn

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Các điều kiện tối

ưu cho bài toán điều khiển tối ưu thời gian vô hạn

+ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu tấtđịnh với hàm giá trị liên tục số không gian hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, phương trình đạohàm riêng và lý thuyết điều khiển tối ưu

6 Đóng góp mới của luận văn

+ Luận văn là một tài liệu tổng quan về ứng dụng của nghiệm nhớtcủa phương trình đạo hàm riêng cấp 1 vào bài toán điều khiển tối ưu thờigian vô hạn

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Nội dung của chương này chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [3]-[7]

1.1 Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng

phi tuyến cấp 1

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản

Mục này trình bày khái niệm nghiệm nhớt của phương trình đạo hàmriêng (ĐHR) cấp một và một số tính chất cơ bản dựa vào nguyên lý so sánhnghiệm cũng như mối quan hệ với khái niệm nghiệm cổ điển của phươngtrình đó

Cho Ω ⊂ RN là một tập mở, F : Ω × R × RN → R là một hàm liên tụccủa ba biến (x, r, p) Kí hiệu:

C(Ω) là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên Ω;

Ck(Ω), k = 1, 2, là không gian tất cả các hàm thuộc C(Ω) có các đạohàm riêng đến cấp k liên tục trên Ω

Với một hàm u ∈ C1(Ω), thì Du(x) là gradient của u tại x ∈ Ω

Xét phương trình ĐHR phi tuyến cấp một (thường gọi là phương trìnhHamilton-Jacobi):

Định nghĩa 1.1.1 Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt dưới của phươngtrình (HJ) nếu với mọi ϕ ∈ C1(Ω) ta có:

F (x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0 (1.1)tại mọi điểm cực đại địa phương x0 ∈ Ω của u − ϕ

Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ) nếu vớimọi ϕ ∈ C1(Ω) ta có:

F (x1, u(x1), Dϕ(x1)) ≥ 0 (1.2)tại mọi điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω của u − ϕ

Hàm u là một nghiệm nhớt nếu nó vừa là nghiệm nhớt trên vừa lànghiệm nhớt dưới của phương trình đó

Hàm ϕ(x) trong định nghĩa trên thường được gọi là hàm thử

Ví dụ 1.1.2 Hàm số u(x) = |x| là một nghiệm nhớt của phương trình:

− |u0(x)| + 1 = 0, x ∈ (−1, 1)

Thật vậy, ta xét hai trường hợp: nếu x 6= 0 là một cực trị địa phươngcủa u − ϕ thì ϕ0(x) = u0(x) = ±1 Vì vậy tại những điểm này điều kiệnnghiệm nhớt trên, nghiệm nhớt dưới được thỏa mãn

Nếu 0 là cực tiểu địa phương của u − ϕ, thì ta tính được |ϕ0(0)| ≤ 1 nênđiều kiện nghiệm nhớt trên vẫn đúng Bây giờ ta chứng minh 0 không thể

là cực đại địa phương của u − ϕ với ϕ ∈ C1([0, 1]) Thật vậy, nếu 0 là cựcđại địa phương của u − ϕ thì ta có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x) trong một lâncận của 0, hay ϕ(x) − ϕ(0) ≥ u(x) trong một lân cận của 0, từ đó ta có:

Vô lý, vậy 0 không thể là cực đại địa phương của u − ϕ

Để ý rằng, hàm số u(x) = |x| không phải là nghiệm nhớt của phươngtrình:

|u0(x)| − 1 = 0, x ∈ (−1, 1)

Thật vậy điều kiện nghiệm trên không thỏa mãn tại x0 = 0 là điểm cựctiểu địa phương của |x| − (−x2)

Chú ý: Đối với các phương trình tiến hóa có dạng:

ut(t, y) + H(t, y, u(t, y), Dyu(t, y)) = 0, (t, y) ∈ (0, T ) × D

thì ta chỉ việc đặt:

x = (t, y) ∈ Ω = (0, T ) × D ⊆ RN +1, F (x, r, p) = qN +1+ H(x, r, q1, , qN)với q = (q1, , qN, qN +1) ∈ RN +1

Nhận xét 1.1.3 Trong định nghĩa nghiệm nhớt dưới ta luôn có thể giả

sử rằng x0 là điểm cực đại địa phương ngặt của hàm u − ϕ (nếu không ta

có thể thay ϕ(x) bởi ϕ(x) + |x − x0|2) Hơn nữa do (1.1) chỉ phụ thuộc vàogiá trị của Dϕ tại x0, nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằngu(x0) = ϕ(x0) Đối với định nghĩa nghiệm nhớt trên ta cũng có nhận xéttương tự

Về mặt hình học thì điều đó có nghĩa rằng: các hàm thử trong điều kiệnnghiệm nhớt dưới (1.1) đối với u là tiếp xúc trên với đồ thị của u

Ta cũng chú ý rằng không gian C1(Ω) các hàm thử trong Định nghĩa1.1.1 có thể được thay thế bằng C∞(Ω)

Mệnh đề sau đây sẽ thể hiện những đặc trưng cơ bản của nghiệm nhớt

và mối quan hệ của nó với nghiệm cổ điển:

Mệnh đề 1.1.4 (a) Nếu hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt của (HJ)trong Ω, thì u là nghiệm nhớt của (HJ) trong Ω0, với mọi tập con mở

Ω0 ⊂ Ω;

(b) Giả sử hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm cổ điển của (HJ), tức là u khả vitại mọi điểm x ∈ Ω và:

Khi đó u là nghiệm nhớt của (HJ);

(c) Nếu hàm u ∈ C1(Ω) là một nghiệm nhớt của (HJ), thì u là nghiệm cổđiển của phương trình đó

Mệnh đề (a) cho thấy khái niệm nghiệm nhớt có tính địa phương Vìvậy ta có thể lấy các hàm thử trong (1.1) và (1.2) là một C1−hàm trên

RN hoặc trên một hình cầu bất kỳ B(x, r) với tâm x ∈ Ω

Định nghĩa nghiệm nhớt có liên quan chặt chẽ đến hai tính chất đượcnêu trong lý thuyết của phương trình eliptic - parabolic đó là nguyên lýcực đại và nguyên lý so sánh Với phương trình (HJ) hai tính chất nàyđược xây dựng tương ứng như sau

Định nghĩa 1.1.5 Một hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh vớicác nghiệm nhớt trên trơn ngặt nếu với mọi ϕ ∈ C1(Ω) và tập mở O ⊂ Ωsao cho

F (x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0, ∀x ∈ O, u ≤ ϕ trên ∂Othì u ≤ ϕ trong O

Ta nói rằng hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý cực đại nếu với mọi

ϕ ∈ C1(Ω) và tập mở O ⊂ Ω sao cho:

F (x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0, ∀x ∈ Othì u − ϕ không thể có cực đại không âm trong O

Dễ thấy rằng nếu hàm u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý cực đại thì nóthỏa mãn nguyên lý so sánh Mối quan hệ giữa chúng với khái niệm nghiệmnhớt dưới của phương trình (HJ) sẽ được trình bày ở mệnh đề sau đây.Mệnh đề 1.1.6 Nếu hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh thì u

là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) Ngược lại, nếu u là mộtnghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) và r → F (x, r, p) là một hàmkhông giảm với mọi x, p thì u thỏa mãn nguyên lý cực đại và nguyên lý sosánh

Kết quả tương tự cũng đúng với nghiệm nhớt trên Khi đó ta chỉ cầnđổi chiều các bất đẳng thức trong nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại

và thay cực đại không âm bởi cực tiểu không dương

Một điều cần lưu ý là nghiệm nhớt không được bảo toàn khi ta đổi dấucủa phương trình Thực tế, vì bất kỳ cực đại địa phương nào của u − ϕđều là cực tiểu địa phương của −u − (−ϕ), nên u là nghiệm nhớt dưới củaphương trình (HJ) nếu và chỉ nếu v = −u là nghiệm nhớt trên của phươngtrình −F (x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω; tương tự u là nghiệm nhớt trêncủa phương trình (HJ) nếu và chỉ nếu v = −u là nghiệm nhớt dưới củaphương trình −F (x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω.

Bây giờ ta đưa ra một đặc trưng của nghiệm nhớt của phương trình(HJ) thông qua trên vi phân và dưới vi phân Cho hàm số u ∈ C(Ω) và

Các tập hợp trên được gọi tương ứng là trên vi phân và dưới vi phân (gọichung là bán vi phân) của u tại x

Ví dụ 1.1.7 Cho u(x) = |x|, x ∈ R Khi đó ta dễ dàng kiểm tra được:

D+u(0) = ∅, D−u(0) = [−1, 1]

Những bổ đề sau đây sẽ mô tả D+u(x) và D−u(x) qua các hàm thử vàmột số tính chất của chúng:

Bổ đề 1.1.8 Cho u ∈ C(Ω) Khi đó:

(a) p ∈ D+u(x) nếu và chỉ nếu tồn tại ϕ ∈ C1(Ω) thỏa mãn Dϕ(x) = p

và u − ϕ đạt cực đại địa phương tại x;

(b) p ∈ D−u(x) nếu và chỉ nếu tồn tại ϕ ∈ C1(Ω) thỏa mãn Dϕ(x) = p

và u − ϕ đạt cực tiểu địa phương tại x

Bổ đề 1.1.9 Cho u ∈ C(Ω), x ∈ Ω Khi đó:

(a) D+u(x) và D−u(x) là các tập con lồi, đóng (có thể rỗng) của RN;(b) Nếu u khả vi tại x thì {Du(x)} = D+u(x) = D−u(x);

(b) Nếu u là một hàm liên tục Lipschitz địa phương và nó là nghiệm nhớtcủa (HJ) thì:

F (x, u(x), Du(x)) = 0 hầu khắp nơi trong Ω

Nhận xét 1.1.12 Phần (b) của Mệnh đề 1.1.11 thể hiện rằng mọi nghiệmnhớt đều là nghiệm tổng quát (hàm số u liên tục Lipschitz địa phương lànghiệm tổng quát nếu:

F (x, u(x), Du(x)) = 0 h.k.n trong Ω

Ngược lại nói chung là không đúng: có nhiều nghiệm tổng quát khôngphải là nghiệm nhớt Thật vậy ví dụ sau cho ta điều đó:

Ví dụ 1.1.13 Ta thấy hàm u(x) = |x| thỏa mãn:

|u0(x)| − 1 = 0 trong (−1, 1) \ {0}

do đó u là nghiệm tổng quát của |u0(x)| − 1 = 0 trong (−1, 1) nhưng nókhông phải là nghiệm nhớt của phương trình trên (theo Ví dụ 1.1.2).1.1.2 Phép toán trên các nghiệm nhớt

Trong mục này ta sẽ trình bày một vài tính chất quan trọng về các phéptoán trên các nghiệm nhớt Để trình bày các kết quả trong phần này chúng

ta cần tới khái niệm mô đun và mô đun liên tục của một hàm:

Mô đun là một hàm liên tục, đơn điệu tăng bất kì ρ : [0, +∞) → [0, +∞)thỏa mãn ρ(0) = 0

Mô đun liên tục của một hàm u ∈ C(Ω) là một mô đun ρu sao cho

|u(x) − u(y)| ≤ ρu(|x − y|), ∀x, y ∈ Ω

Nếu u(x, y) ∈ C(Ω1 × Ω2) thì mô đun liên tục (địa phương) của u làhàm hai biến liên tục ρ : [0, +∞) × [0, +∞) → [0, +∞) là mô đun theotừng biến và

|u(x1, y1)−u(x2, y2)| ≤ ρ(|x1−y1|, |x2−y2|), ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ Ω1×Ω2

Ví dụ 1.1.14 Nếu u là hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz L (xem Địnhnghĩa 1.1.24) thì ta có thể chọn mô đun liên tục của u là ρu(r) = Lr.Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) Ta ký hiệu:

(u ∨ v)(x) = max {u(x), v(x)},(u ∧ v)(x) = min {u(x), v(x)} Mệnh đề 1.1.15 Ta có các khẳng định sau:

(a) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ).Khi đó u ∨ v cũng là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ)

(b) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt trên phương trình (HJ) thì u ∧ v

cũng là một nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ).

(c) Nếu u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) mà u ≥ vvới mọi nghiệm dưới v ∈ C(Ω) của phương trình (HJ) Khi đó u là nghiệmnhớt trên và do đó là nghiệm nhớt của phương trình (HJ)

Mệnh đề 1.1.16 [Tính ổn định của nghiệm nhớt] Cho un ∈ C(Ω)(n ∈ N)

là một nghiệm nhớt của phương trình:

Fn(x, un(x), Dun(x)) = 0 trong Ω (1.6)Giả sử rằng:

un → u hội tụ đều trong Ω,

Fn → u hội tụ đều trong Ω × R × Rn.Khi đó u là một nghiệm nhớt của phương trình (HJ) trong Ω

Chứng minh Cho ϕ ∈ C1(Ω) và x0 là cực đại địa phương của u − ϕ Khôngmất tính tổng quát ta có thể giả sử:

u(x0) − ϕ(x0) > u(x) − ϕ(x)với x 6= x0 trong một lân cận của x0 Từ tính hội tụ đều ta có với n đủ lớn

un − ϕ đạt cực đại địa phương tại xn → x0 (xem Bổ đề 1.1.18) Khi đó

Ví dụ 1.1.17 Xét dãy hàm răng cưa là dãy hàm un được xác định bởi:

Trong chứng minh Mệnh đề 1.1.16 chúng ta đã sử dụng kết quả cơ bảnsau:

Bổ đề 1.1.18 Cho v ∈ C(Ω) và giả sử rằng x0 ∈ Ω là một điểm cực đạiđịa phương ngặt của v trong B(x0, δ) ⊆ Ω Nếu vn ∈ C(Ω) hội tụ đều địaphương tới v ∈ Ω, thì khi đó tồn tại dãy {xn} thỏa mãn:

xn → x0, vn(xn) ≥ vn(x), ∀x ∈ ¯B(x0, δ) (1.7)Mệnh đề 1.1.19 (Quy tắc đổi biến trong phương trình Hamilton-Jacobi)Cho u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt của phương trình (HJ) và Φ ∈ C1(R) thỏamãn Φ0(t) > 0 Khi đó v = Φ(u) là một nghiệm nhớt của phương trình:

F (x, Ψ(v(x)), Ψ0(v(x))Dv(x)) = 0, x ∈ Ω, (1.8)trong đó Ψ = Φ−1

Một kết quả tổng quát rất hữu dụng khi giải các phương trình (HJ) tiếnhóa đó là:

Mệnh đề 1.1.20 Cho u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt của phương trình (HJ)

và Φ : Ω × R → R thuộc C1 thỏa mãn:

Φr(x, r) > 0, ∀(x, r) ∈ Ω × R

Khi dó hàm v ∈ C(Ω) được xác định bởi

Φ(x, v(x)) = u(x),

là một nghiệm nhớt của phương trình

e

F (x, v(x), Dv(x)) = 0 trong Ω, (1.9)với eF (x, r, p) = F (x, Φ(x, r), DxΦ(x, r) + Φr(x, r)p)

Mệnh đề tiếp theo nêu nên một số dạng của bán vi phân trong cáctrường hợp thông dụng

Mệnh đề 1.1.21 [xem [2], Proposition 2.7] Cho u ∈ C(Ω) Khi đó

(i) với v(x, r) = ϕ(r)u(x) (x ∈ Ω, r ∈ R) và ϕ ∈ C1(R), ϕ(r) ≥ 0, với mọi

r ∈ R; ta có

D+v(x, r) = (q, %) ∈ Rn+1 : q ∈ ϕ(r)D+u(x), % = ϕ0(x)u(x) ;

(ii) với u(x) = v(T (x)), v ∈ C(bΩ); ta có (công thức đổi biến)

p ∈ D+v(y0) nếu và chỉ nếu (DT (x0))tp ∈ D+u(x), trong đó T : Ω → bΩ làmột vi phôi, At là chuyển vị của A và y0 = T (x0);

(iii) với η(r) = u(y(x)), y ∈ C1(R, Ω) ta có (công thức đạo hàm hàm hợp)

D+η(r) ⊇ D+u(y(r)) · ˙y(r)

Nhận xét 1.1.22 Các kết quả tương tự vẫn đúng với D− Từ công thức

“đổi biến” (ii) ta có u là một nghiệm dưới của phương trình (HJ) trong Ωnếu và chỉ nếu v(ˆx) = u(T−1(ˆx)) là một nghiệm dưới của phương trình:

Bổ đề 1.1.23 Ta giả sử rằng

p1 7→ F (¯x, ¯r, p1, ¯p2, , ¯pN) (1.10)

là không giảm với mọi điểm ¯x, ¯r, ¯p2, , ¯pN Cũng giả sử rằng Ω = (a, b]×Ω0,với Ω0 là tập con mở của RN −1 Nếu u ∈ C( ¯Ω) là một nghiệm nhớt dưới(tương ứng nghiệm nhớt trên) của phương trình (HJ) thì

F (¯x, u(¯x), Dϕ(¯x)) ≤ 0, (tương ứng ≥ 0) (1.11)tại mọi điểm cực đại địa phương (tương ứng cực tiểu địa phương) ¯x của

u − ϕ trên (a, b] × Ω0 với mọi ϕ ∈ C1((a, b] × Ω0)

d(x, S) := inf

s∈S|x − s| Trong chương sau ta cũng đề cập đến một ví dụ khác về hàm lề đó là phépchập-inf của một hàm u được xác định bởi:

uε(x) := inf

y∈Ω

hu(y) + |x − y|2/2ε

i, ε > 0,

với mọi |x|, |y| ≤ R, b ∈ B với mô đun ω nào đó.

Một kết quả đầu tiên về hàm lề đó là mối quan hệ giữa các bán vi phâncủa hàm u và các bán vi phân của hàm g theo biến x (ký hiệu là Dx±g)

Bổ đề 1.1.25 Cho giả thiết (1.13) Khi đó u ∈ Ω và

b → g(x, b) nửa liên tục dưới (1.16)

Ta sẽ sử dụng những ký hiệu sau đây:

D−u(x) =

({y} nếu Y (x) = {y}

∅ nếu Y (x) không phải là tập một điểm (1.19)Đặc biệt, u khả vi tại x nếu và chỉ nếu Y (x) là tập một điểm Hơn nữa, u

có đạo hàm theo hướng (một phía) theo mọi hướng q, được cho bởi

là tập một điểm nếu và chỉ nếu ¯S là tập lồi Khi đó ¯S là tập lồi nếu vàchỉ nếu d khả vi trong RN \ ¯S Trong trường hợp này hình chiếu p(x) phụthuộc liên tục trên x do vậy d ∈ C1(RN \ ¯S)

Dễ biết rằng nếu ∂S trơn thì hàm khoảng cách là trơn ở gần ∂S và thỏamãn phương trình eikonal

Một khái niệm khác liên quan mật thiết đến tính chất của hàm khoảngcách đó là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị n(x) của S tại x ∈ ∂S Trongtrường hợp ∂S trơn, hàm n là mở rộng duy nhất của Dd lên ∂S, với x /∈ ¯S

đủ gần ∂S ta có

x = p(x) + s(x)n(p(x)), Dd(x) = n(p(x)), (1.22)trong đó p(x) biểu thị hình chiếu duy nhất của x lên ¯S Điều này dẫn đếnđịnh nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1.31 Cho S ⊆ RN là một tập không rỗng Một vector đơn

vị v là một vector pháp tuyến ngoài (suy rộng) của ¯S tại z ∈ ∂S (ta kýhiệu là v ∈ N (z)) nếu tồn tại x /∈ S thỏa mãn

x = z + d(x)v và {z} = P (x)

Chú ý rằng từ Mệnh đề 1.1.28 thì công thức thứ hai trong (1.22) trởthành

Dd(x) ∈ N (p(x)), P (x) = {p(x)} , (1.23)tại mọi điểm x mà d khả vi

1.2 Tính duy nhất và sự so sánh nghiệm

Trong mục này ta đề cập đến vấn đề tính duy nhất và sự so sánh nghiệmcủa nghiệm nhớt Đây là một vấn đề lớn trong lý thuyết và có mối liên hệvới các điều kiện đủ trong bài toán điều khiển tối ưu

Xét hàm F có dạng F (x, r, p) = r + H(x, p)

Định lý 1.2.1 [Sự so sánh nghiệm trên tập bị chặn] Cho Ω là một tậpcon mở bị chặn của RN Giả sử u1, u2 ∈ C(Ω) tương ứng là nghiệm nhớttrên và dưới của

Nhận xét 1.2.2 Nếu u1, u2 đều là nghiệm nhớt của (1.24), theo Định

lý 1.2.1 thì điều kiện u1 = u2 trên ∂S sẽ kéo theo u1 = u2 trên S

Nhận xét 1.2.3 Khẳng định trong Định lý 1.2.1 cũng đúng với phươngtrình

λu(x) + H(x, Du(x)) = 0 x ∈ Ω,với λ > 0 Mặt khác đối với phương trình H(x, Du(x)) = 0 thì kết quảtrên không đúng Thật vậy, với phương trình H(x, p) = 0 với mọi x và pthì hàm u ∈ C(Ω) bất kỳ đều là nghiệm nhớt

Bây giờ ta xét trường hợp Ω = RN và chứng minh kết quả về sự so sánhnghiệm trong không gian BC(RN) của các hàm liên tục bị chặn trong RN

Ta giả sử điều kiện sau trên H:

H(y, λ(y − x) + p) − H(x, λ(y − x) + q) ≤ ω2(|x − y| + λ |y − x|2, R)

+ ω3(|p − q|), (H2)

với mọi λ ≥ 1, p, q ∈ B(0, 1), x, y ∈ B(0, R), ∀R > 0, trong đó ω2, ω3 làcác mô đun Dễ thấy rằng (H1) và (H3) xác định bởi

|H(x, p) − H(x, q)| ≤ ω(|p − q|) ∀x, p, q ∈ RN (H3)thỏa mãn (H2) với ω3 = ω và ω2(r, R) = ω1(2r) với mọi r, R > 0

Định lý 1.2.4 [Sự so sánh nghiệm trên toàn không gian] Giả sử rằng

u1, u2 ∈ BC(RN) tương ứng là nghiệm nhớt dưới và nghiệm nhớt trên củaphương trình

u(x) + H(x, Du(x)) = 0, x ∈ RN, (1.26)với H thỏa mãn (H2) Khi đó u1 ≤ u2 trong RN

Định lý 1.2.4 có thể được khái quát cho trường hợp tập mở Ω ∈ RNkhông bị chặn Thật vậy, ta có thể chứng minh được rằng nếu u1, u2 ∈BC(Ω) tương ứng là nghiệm nhớt dưới, nghiệm nhớt trên của phươngtrình

u(x) + H(x, Du(x)) = 0, x ∈ Ω,với H thỏa mãn H2 và u1 ≤ u2 trên ∂Ω thì u1 ≤ u2 trong Ω

Nhận xét 1.2.5 Một biến thể rất hữu dụng của Định lý 1.2.4 có đượckhi ta thay giả thiết về tính bị chặn của u1, u2 bằng tính liên tục đều củachúng Người ta có thể chứng minh được rằng nếu u1, u2 ∈ U C(RN) tươngứng là nghiệm nhớt dưới, trên của phương trình (1.26) với H thỏa mãn H1

và H3 thì u1 ≤ u2 trong RN,

Một kết quả về sự so sánh nghiệm tiếp theo liên quan phương trình tiếnhóa Nó cũng dẫn đến một kết quả về tính duy nhất nghiệm của bài toán

(

ut(x, t) + H(t, Du(t, x)) = 0 (t, x) ∈ [0, T ] × RN

với điều kiện ban đầu u0 ∈ U C(RN)

Định lý 1.2.6 [Sự so sánh nghiệm của phương trình tiến hóa] Giả sử

H ∈ C([0, T ] × RN) Cho u1, u2 ∈ U C([0, T ] × RN) tương ứng là nghiệmnhớt dưới, nghiệm nhớt trên của phương trình

ut(x, t) + H(t, Dxu(t, x)) = 0 trong [0, T ] × RN.Khi đó

ut + H(t, x, Du) = 0nếu hàm Hamilton H ∈ U C([0, T ] × RN × B(0, R)) với mọi R > 0 và Hthỏa mãn (H1) với một mô đun ω độc lập của t ∈ [0, T ]

Nhận xét 1.2.8 Nguyên lý so sánh có thể được sử dụng để chỉ ra khoảng

bị chặn của nghiệm nhớt của phương trình (HJ) Để chỉ ra điều này ta xét

un ∈ BC(RN

), n ∈ N là nghiệm nhớt của phương trình

un(x) + Hn(x, Dun(x)) = 0, x ∈ RN, (1.27)trong đó Hn thỏa mãn (H1), (H3) với mỗi n ∈ N Cũng giả sử rằng

1.3 Tính chính quy của nghiệm nhớt

Trong mục này ta giới thiệu hai kết quả (Mệnh đề 1.3.2 và Mệnh

đề 1.3.3) Chúng chỉ ra rằng với những giả thiết thích hợp trên H thìnghiệm nhớt của phương trình

xỉ đều từ dưới bởi một nghiệm dưới nửa lõm uε của một phương trình xấpxỉ

1.3.1 Tính liên tục Lipschitz

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử u là một hàm số xác định trên tập mở Ω ∈ RN

u được gọi là hàm Lipschitz (hay hàm liên tục Lipschitz ) trên lân cận

V ⊂ Ω (với hằng số Lipschitz K ≥ 0) nếu

|u(x) − u(y)| ≤ K |x − y| , ∀x, y ∈ V

Hàm u được gọi là hàm Lipschitz địa phương (hay liên tục Lipschitz địaphương) trên Ω nếu với mỗi x ∈ Ω tồn tại lân cận mở Ux của x trong Ωsao cho u là hàm Lipschitz trên Ux

Ta giả sử rằng H thỏa mãn điều kiện sau

điều kiện đủ để (H4) đúng là tính bị chặn của l cùng với giả thiết

∃r > 0 : B(0, r) ⊆ cof (x, A), ∀x ∈ RN (1.29)Mệnh đề 1.3.2 Cho điều kiện (H4) Khi đó mọi nghiệm nhớt dưới u ∈BC(RN) của phương trình (HJ) là liên tục Lipschitz

Một điều kiện khác trên H đảm bảo tính liên tục Lipschitz của nghiệmnhớt đó là

f, l thỏa mãn

(f (x, a) − f (y, a)).(x − y) ≤ L |x − y|2, L ≥ 1,

|l(x, a) − l(y, a)| ≤ M |x − y| , ∀x, y, a

Mệnh đề 1.3.3 Cho các điều kiện (H1), (H3), (H5), λ > 1 và u ∈ U C(RN)

là nghiệm nhớt của phương trình (HJ) Khi đó

|u(x) − u(y)| ≤ C |x − y|

Bây giờ ta nêu một cách ngắn gọn một số tính chất khả vi của hàmliên tục Lipschitz địa phương Theo định lý Rademacher, mọi hàm liêntục Lipschitz địa phương đều khả vi hầu khắp nơi với gradient bị chặnđịa phương Do đó, nếu u ∈ Liploc(Ω) (tập các hàm liên tục Lipschitz địaphương trong Ω), thì tập hợp

là tập không rỗng và đóng với mọi x ∈ Ω Ký hiệu coD∗u là bao lồi của

nó Một kết quả khá nổi tiếng trong giải tích không trơn đó là

trong đó ∂u(x) là gradient tổng quát hay gradient Clarke của u tại x đượcxác định bởi

∂u(x) := p ∈ RN : u0(x; p) ≥ p.q, ∀q ∈ RN

= p ∈ RN : u0(x; p) ≤ p.q, ∀q ∈ RN Với u0(x; p) và u0(x; p) là các đạo hàm theo hướng tổng quát được xác địnhbởi

Một khái niệm liên quan nữa đó là đạo hàm Dini theo hướng, cụ thể là

∂+u(x; q) : = lim sup

và điều này có nghĩa là với u ∈ Liploc(Ω),

D−u(x) ∪ D+u(x) ⊆ ∂u(x), ∀x ∈ Ω (1.32)Cũng thấy rằng D+u(x), D−u(x) là các tập bị chặn

Kết quả tiếp theo về sự tồn tại của đạo hàm theo hướng cổ điển (mộtphía) của các hàm liên tục Lipschitz địa phương, đó là

Mệnh đề trên cho phép ta chứng minh một biến thể rất hữu ích củaMệnh đề 1.1.27 đối với các bán vi phân và đạo hàm theo hướng của hàm

Điều này dẫn đến tính lõm của hàm x 7→ u(x) −12C |x|2 Nếu u liên tụcthì ta có một điều kiện tương đương với (1.34) đó là

u(x + h) − 2u(x) + u(x − h) ≤ C |h|2, (1.35)với mọi x ∈ Ω và h ∈ RN, với |h| đủ nhỏ Tất nhiên hàm lõm là hàm nửalõm Một lớp các hàm nửa lõm không tầm thường đó là lớp các hàm khả

vi liên tục với gradient Lipschitz địa phương Một lớp các hàm nửa lõmkhông khả vi đó là các hàm u(x) = infb∈Bg(x, b) với x 7→ g(x, b) thỏa mãn(1.34)

Ví dụ 1.3.7 Cho S ⊆ RN, S 6= ∅,

d(x) = dist(x, S) = inf

s∈S|x − s| Khi đó d2 là hàm nửa lõm trong RN vì x 7→ |x − s|2 thuộc C∞ với các đạohàm cấp hai là hằng số Mặt khác, bản thân d cũng là hàm nửa lõm trongmọi tập compact có khoảng cách dương đối với S, bởi vì x 7→ |x − s| cóđạo hàm cấp hai bị chặn trong tập như vậy

Những tính chất chính của hàm nửa lõm sẽ được trình bày trong Mệnh

Trong Mục 1.3.1 ta biết rằng D+u(x) ⊆ ∂u(x) = coD∗u(x) với mọi

u ∈ Liploc(Ω) Nếu thêm giả thiết u là hàm nửa lõm thì D+u(x) = ∂u(x).Điều này và một số tính chất khả vi khác của các hàm nửa lõm được trìnhbày trong mệnh đề sau

Mệnh đề 1.3.9 Cho u là hàm nửa lõm trong Ω Khi đó với mọi x ∈ Ωthì

(a) D+u(x) = ∂u(x) = coD∗u(x);

(b) hoặc D−u(x) = ∅ hoặc u khả vi tại x;

(c) nếu D+u(x) là tập một điểm thì u khả vi tại x;

(d) ∂u∂p(x) = minp∈D+ u(x)p · q với mọi vector đơn vị q

Mệnh đề 1.3.10 Cho u là một hàm nửa lõm và thỏa mãn

F (x, u(x, Du(x))) ≥ 0 h.k.n trong Ω, (1.36)trong đó F liên tục Khi đó u là nghiệm nhớt trên của phương trình

F (x, u(x, Du(x))) = 0 trong Ω (1.37)Kết quả tiếp theo là về tính nửa lõm của nghiệm nhớt của phương trình(HJ)

Định lý 1.3.11 Cho u ∈ BC(RN) ∩ Lip(RN) là một nghiệm nhớt củaphương trình

với hằng số Lipschitz Lu Giả sử H thỏa mãn

|H(x, p) − H(x, q)| ≤ ω |p − q| , ∀x, p, q ∈ RN (H3)với C > 0 và L0 > 2Lu, (H6) xác định bởi

H(x + h, p + Ch) − 2H(x, q) + H(x − h, p − Ch) ≥ −C |h|2 (H6)đúng với mọi x, h ∈ RN, p ∈ B(0, L0) Khi đó u là hàm nửa lõm trên RN.Một cách rất thuận tiện để xấp xỉ nửa lõm của một hàm cho trước làdựa vào phép chập-inf, đây là một công cụ rất cơ bản trong giải tích lồi

và giải tích không trơn Cho Ω là một tập con của RN và u là một hàm bịchặn Với mọi ε > 0, đặt

uε(x) := inf

u(y) + 1

2ε |x − y|2 : y ∈ Ω



(1.38)hàm uε được gọi là ε−chập-inf của u Tương tự,

uε(x) := sup

u(y) − 1

2ε |x − y|2 : y ∈ Ω



(1.39)

là ε−chập-sup của u

Bổ đề 1.3.12 Cho u liên tục và bị chặn trong Ω Khi đó

(a) uε và uε là nửa lõm trong Ω;

(b) uε % u, uε & u, khi ε → 0+, hội tụ đều địa phương trong Ω;

(c) inf và sup trong (1.38) và (1.39) đạt được nếu ε < d2(x, ∂Ω)/(4 kuk∞)

Từ Bổ đề 1.3.12 (c) với ε > 0 đủ nhỏ ta có thể đặt

Mε(x) := arg min

y∈Ω

nu(y) + |x − y|2/2ε

o,

Mε(x) := arg max

y∈Ω

nu(y) − |x − y|2/2ε

o