Năm 1979, Krylov và Safonov đã chứng minh bất đẳng thức Harnackcho nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai có dạngkhông divergence với các hệ số đo được.. để phát triể
Trang 1LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới: T.S Trần Văn Bằng người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trìnhhoàn thành luận văn này
-Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy, cô côngtác và tham gia giảng dạy ở phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 Các thầy, cô đã nhiệt tình giảng dạy cũng như tạo mọi điềukiện thuận lợi nhất cho tôi hoàn thành khóa học tại trường
Đồng thời tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả bạn bè, đồngnghiệp và người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họctập và viết luận văn
Mặc dù đã dành nhiều thời gian nghiên cứu và tìm hiểu song bản luậnvăn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhậnđược ý kiến đóng góp của các quý vị độc giả để luận văn này được hoànthiện hơn
Xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, ngày 10 tháng 12 năm 2011
Học viên
Thân Văn Tài
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Qua quá trình nghiên cứu luận văn với đề tài "Nghiệm nhớt củaphương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F D2u(x), x = 0" tôi
đã hiểu sâu hơn về bộ môn Giải tích hiện đại, đặc biệt về bộ môn phươngtrình đạo hàm riêng phi tuyến
Tôi xin cam đoan luận văn được hoàn thành là do sự cố gắng, nỗ lựctìm hiểu và nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo nhiệttình của thầy giáo: T.S Trần Văn Bằng cũng như các thầy, cô trong
tổ Toán giải tích của trường ĐHSP Hà Nội 2
Tôi cũng xin cam đoan kết qủa của luận văn không trùng lặp với các
đề tài khác và mọi thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõnguồn gốc
Hà nội, ngày 10 tháng 12 năm 2011
Học viên
Thân Văn Tài
Trang 3Mục lục
Mục lục 3
Mở đầu 4
1 Các kiến thức cơ sở 9 1.1 Thuật ngữ và kí hiệu cơ bản 9
1.2 Paraboloid tiếp xúc và tính khả vi cấp hai 10
2 Nghiệm nhớt của phương trình Elliptic, đánh giá Alexan-droff và nguyên lý cực đại 16 2.1 Nghiệm nhớt của phương trình elliptic 17
2.2 Đánh giá Alexandroff và nguyên lý cực đại 27
3 Bất đẳng thức Harnack và tính duy nhất nghiệm 38 3.1 Bất đẳng thức Harnack 38
3.2 Tính duy nhất nghiệm 53
Kết luận 63
Tài liệu tham khảo 64
Trang 4MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, phương trình đạo hàm riêng nói chung vàphương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F D2u(x), x = 0 nóiriêng có ứng dụng rất rộng rãi trong thực tế Có rất nhiều lĩnh vựcnghiên cứu hiện đại mà trong đó phương trình đạo hàm riêng đóng vaitrò hết sức quan trọng như: lý thuyết biểu diễn nhóm nhiều chiều, lýthuyết trường lượng tử, lý thuyết các không gian thuần nhất và vật lýtoán
Mặc dù được đề cập từ rất lâu vào khoảng cuối thế kỉ 18 và đầu thế
kỉ 19, nhưng lý thuyết các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến chotới nay cơ bản vẫn chưa được hoàn thiện Từ đầu thế kỉ 20 cho tới nay,
do nhu cầu nghiên cứu một cách chặt chẽ những phương trình đạo hàmriêng đã kích thích sự phát triển các phương pháp nghiên cứu cơ bảncủa: Giải tích thực, Giải tích hàm và Tôpô
Một bài toán phương trình đạo hàm riêng nếu có ý nghĩa thực tiễnthì chắc chắn phải có nghiệm Vấn đề là nghiệm đó hiểu theo nghĩa nào
mà thôi Có rất nhiều phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là phươngtrình đạo hàm riêng phi tuyến thường không có nghiệm cổ điển Vì vậy
ta phải cố gắng xây dựng lý thuyết các nghiệm suy rộng để bài toán cónghiệmn hơn nữa nghiệm đó cần phải duy nhất
Năm 1979, Krylov và Safonov đã chứng minh bất đẳng thức Harnackcho nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai có dạngkhông divergence với các hệ số đo được Điều đó đã mở ra một cách
Trang 5để phát triển lý thuyết chính quy cho phương trình đạo hàm riêng phituyến hoàn toàn.
Cùng thời gian đó thì Crandall-Lions [5] và Evans [6, 7] đã giới thiệumột khái niệm nghiệm yếu (nghiệm nhớt) cho phương trình đạo hàmriêng phi tuyến hoặc tuyến tính có dạng không divergence, nó thốngnhất với nguyên lý Dirichlet và nghiệm biến phân trong lý thuyết vềphương trình dạng divergence
Vì vậy tôi đã lựa chọn đề tài "Nghiệm nhớt của phương trìnhđạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F D2u(x), x = 0"
Trong luận văn này, tôi sẽ trình bày một số kết quả về lý thuyết chínhquy của nghiệm của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoàn toàn:
W2,p- đánh giá tiên nghiệm trong miền cho nghiệm của (0.0.1) Khi F
là elliptic đều (xem Định nghĩa 2.1.1)
Một trường hợp đơn giản nhất là trường hợp các phương trình tuyếntính, khi đó ta có thể giả thiết rằng (0.0.2) chính là ∆u = 0 Lúc đó ta
có thể đánh giá các đạo hàm của hàm điều hòa (nghiệm của ∆u = 0)trong miền bởi dao độ của chính hàm đó Ý tưởng cơ bản là tính chất đóvẫn đúng đối với các nhiễu tuyến tính nhỏ của Laplace Cụ thể hơn, giả
sử u là nghiệm của phương trình elliptic đều có dạng không divergencesau:
Trang 6Giả sử 0 < α < 1 và kaij − δijkL∞ (B 1 ) ≤ δ = δ(α), với một δ nhỏ Khi
Công cụ cơ bản trong cách tiếp cận mới này là đánh giá Alexandroff
- Bakelman - Pucci và nguyên lý cực đại Chúng được dùng để:
(1) Điều khiển hàm phân bố của một nghiệm; điều khiển này dẫn tớibất đẳng thức Harnack và do đó dẫn tới Cα- chính quy
(2) Xấp xỉ trong L∞ của nghiệm bởi các hàm affine (hay các paraboloid);điều này dẫn tới các đánh giá C1,α (tương ứng C2,α)
Vấn đề cốt lõi ở đây là hiểu các đạo hàm riêng của một hàm thôngqua các xấp xỉ đa thức của nó
Nói một cách nôm na, phương pháp nêu trên về cơ bản là "phi tuyến"theo nghĩa nó không dựa quá nhiều vào cấu trúc của phương trình (0.0.1)
Do vậy, nó có thể áp dụng đối với các phương trình hoàn toàn tổngquát (không nhất thiết trơn) như các phương trình Pucci, Bakelman vàIsaasc Trong đó tính chính quy nhận được bằng cách lấy vi phân củaphương trình (0.0.1)
2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu khái niệm nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêngphi tuyến elliptic F D2u(x), x = 0 và một số tính chất định tính củanghiệm nhớt
Trang 73 Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu cách xây dựng khái niệm nghiệm nhớt cho phương trình
• Đưa ra các ví dụ cụ thể minh họa cho các khái niệm
• Chứng minh các tính chất định tính của nghiệm nhớt
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu:
Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến
• Phạm vi nghiên cứu:
Lớp phương trình phi tuyến dạng F D2u(x), x = 0
5 Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyến bằng cách thu thập thông tin, đọc, phân tích vàtổng hợp tài liệu để có được một nghiên cứu tổng quan về nghiệm nhớtcủa phương trình đạo hàm riêng phi tuyến elliptic F D2u(x), x = 0
6 Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm ba chương:
• Chương 1 Các kiến thức cơ sở
Nhằm giới thiệu một số thuật ngữ và mô tả mối quan hệ giữa cáctính chất khả vi của hàm u và các paraboloid tiếp xúc với đồ thịcủa hàm u
• Chương 2 Nghiệm nhớt của phương trình elliptic, đánh giá droff và nguyên lý cực đại
Alexan-Trong chương này đề cập:
+ Nghiệm nhớt của phương trình (0.0.1), định nghĩa và các tínhchất cơ bản của nghiệm nhớt Khái niệm nghiệm "rất yếu" này cho
Trang 8chúng ta xác định lớp các hàm chứa tất cả các nghiệm cổ điển củaphương trình elliptic tuyến tính và phi tuyến với các hằng số elliptic
cố định và các hệ số đo được (xem mục 2.1.2) Trong mục 2.1.3 tôiđưa ra một số ví dụ quan trọng về các phương trình đạo hàm riêngphi tuyến hoàn toàn
+ Đánh giá Alexandroff-Bakelman-Pucci và nguyên lý cực đại chonghiệm nhớt Vì kết quả này có vai trò chìa khóa trong nguyên lýchính quy sau này
• Chương 3 Bất đẳng thức Harnack và tính duy nhất nghiệm
Trong chương này trình bày:
+ Chứng minh bất đẳng thức Harnack nhờ vào đánh giá droff và kỹ thuật của Crandall-Zygmund Về cơ bản chứng minhgiống với chứng minh lần đầu phát hiện bởi Krylov và Safonov Một
Alexan-hệ quả của bất đẳng thức Harnack là ta có kết quả về Cα - chínhquy trong miền đối với các nghiệm của phương trình (0.0.1) Trongmục 3.1.3 trình bày một kết quả về tính Cα - chính quy toàn cục.+ Nghiệm xấp xỉ Jensen của phương trình (0.0.2) được giới thiệulần đầu tiên trong [8] và sử dụng chúng để chứng minh tính duy nhấtcho bài toán Dirichlet đối với (0.0.2) Các mục 3.2.3 và 3.2.4 dànhcho các ứng dụng khác của nghiệm xấp xỉ Jensen Đó là các tínhchất cơ bản của các đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 của nghiệm củaphương trình (0.0.2) Chẳng hạn ta chứng minh tính C1,α - chínhquy trong miền cho các nghiệm của phương trình (0.0.2)
Trang 9Chương 1
Các kiến thức cơ sở
1.1 Thuật ngữ và kí hiệu cơ bản
Kí hiệu Rn là không gian Euclidear n - chiều với chuẩn
|x| =
q
|x1|2 + |x2|2 + · · · + |xn|2,
|x|∞ = max {|x1| , |x2| , , |xn|} Nếu Br = Br(x0) = {x ∈ Rn : |x − x0| < r} là một hình cầu (mở) thì
với tâm x0 và độ dài cạnh r
Ω là miền bị chặn (tập mở, liên thông, bị chặn) của Rn
λ v`a Λ là hai hằng số cố định sao cho 0 < λ ≤ Λ, được gọi là hằng
số elliptic Một hằng số được gọi là phổ dụng nếu nó chỉ phụ thuộc vào
Trang 10âm của u, ta có u = u+− u− Giá của u kí hiệu là suppu Ta kí hiệu:
Một paraboloid P là một đa thức bậc 2 của (x1, x2, , xn) và có thểviết dưới dạng:
P (x) = L(x) + 1
2x
t
Ax,trong đó L là một hàm affine và A = D2P là ma trận đối xứng
Trong luận văn này, thuật ngữ "trơn" có nghĩa là thuộc lớp C∞
Wk,p(Ω) là không gian Sobolev các hàm có tính chất: các hàm và cácđạo hàm đến cấp k của nó thuộc Lp(Ω)
Ck,α(Ω) và Ck,α(Ω) là không gian H ¨older ( nếu 0 < α < 1) và làkhông gian Lipschitz (nếu α = 1); với k ∈ N+ Chuẩn trong chúng là
kukCk,α (Ω) = kukCk (Ω) +Dk
uα,Ω,trong đó
[v]α,Ω = sup
x,y∈Ω x6=y
|v(x) − v(y)|
1.2 Paraboloid tiếp xúc và tính khả vi cấp hai
Trong phần này tôi dẫn ra một số tính chất về tính khả vi hai lần củahàm u từ các kiến thức về các paraboloid tiếp xúc với đồ thị của hàm
u Các kết quả này sẽ được sử dụng trong lý thuyết về tính chính quy ở
Trang 11Tương tự, ta có khái niệm tiếp xúc dưới.
Cho u là hàm liên tục trên Ω, A ⊂ Ω là tập mở Với x0 ∈ A, ta địnhnghĩa:
là cận dưới của tất cả các hằng số dương M , sao cho có một paraboloidlồi với độ mở M tiếp xúc trên với u tại x0 trong A Ta định nghĩa (1.2.1)bằng ∞ nếu không tồn tại hằng số dương M nào, Có thể thấy θ(u, A)
là một hàm đo được trong A
Sử dụng các paraboloid lõm và tiếp xúc dưới với u, ta có khái niệm
θ(u, A)(x0) ∈ [0, ∞]
Đặt θ(u, A)(x0) = supθ(u, A)(x0), θ(u, A)(x0) ≤ ∞
Với x0 ∈ Ω, ta nói u là C1,1 trên tại x0 [tương ứng C1,1 dưới tại x0, C1,1tại x0] nếu θ(u, A)(x0) < ∞ [tương ứng θ(u, A)(x0) < ∞, θ(u, A)(x0) <
∞] với một lân cận A nào đó của x0 Mệnh đề 1.2.2 dưới đây cho thấytên gọi đó là hợp lý
Nếu u là C1,1 tại x0 thì u khả vi tại x0, vì u nằm giữa 2 paraboloidtiếp xúc trong một lân cận của x0
Xét tỉ sai phân cấp hai của u tại x0:
∆2hu(x0) = u(x0 + h) + u(x0 − h) − 2u(x0)
Trang 12trong đó h ∈ Rn và ta giả thiết rằng x0 + h v`a x0 − h thuộc Ω Chú ýrằng ∆2hP ≡ M (tương ứng: ∆2hP ≡ −M ) khi P là paraboloid lồi (tươngứng: lõm) với độ mở M
D2u Lp(Ω) ≤ 2kθ(u, ε)kLp (Ω) (1.2.6)
Chứng minh
Do 1 < p ≤ ∞, nên ta chỉ cần chứng minh
Z
Ω
uϕij
... triển lý thuyết nghiệm nhớtcho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1, theo ta có tồn tạinghiệm Trong chương ta đưa khái niệm nghiệm nhớt phươngtrình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến hoàn toàn... phương x0< /sub> F (D2ϕ(x0< /sub>), x0< /sub>) ≤ f (x0< /sub>)]
Ta nói u nghiệm nhớt (2.1.1) vừa nghiệm nhớt dướivừa nghiệm nhớt phương trình
Ta nói F. .. số ví dụ phương trìnhelliptic phi tuyến hồn tồn
2.1 Nghiệm nhớt phương trình elliptic
Xét phương trình
Trang 18